4.6. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ КОЭФФИЦИЕНТАМИ МНОЖЕСТВЕННОЙ И ЧАСТНОЙ КОРРЕЛЯЦИИ, РЕГРЕССИИ И ДЕТЕРМИНАЦИИ

Далее мы покажем, что между коэффициентами множественной и частной корреляции, регрессии и детерминации существуют соотношения, позволяющие производить вычисления одних коэффициентов по известным другим. Ограничимся наиболее важными соотношениями. Разделим числитель и знаменатель правой части формулы (3.26) из раздела 3.4 на Путем простого преобразования с учетом (2.72) из раздела 2.8, а также (4.53) и (4.54) получим следующее соотношение:

Сравнивая (4.67) с (4.55), можно сделать вывод, что

или

Таким образом, мы получили такое же соотношение между коэффициентами частной корреляции и частной детерминации, как и в случае простой регрессии (см. раздел 4.3). Пользуясь этим соотношением

и не прибегая к дополнительным вычислениям по исходным данным, по коэффициенту частной детерминации мы можем сделать вывод о коэффициенте частной корреляции и наоборот. Аналогичное соотношение существует между коэффициентами множественной корреляции и детерминации. Сравнивая (3.12) и (4.40), легко увидеть следующее соотношение:

или

В разделе 4.4 было показано, что при некоррелированности объясняющих переменных имеется равенство

С учетом (4.69) и (4.13) его можно записать в виде

или, обобщая на произвольное число переменных,

Итак, коэффициент множественной детерминации равен сумме коэффициентов парной детерминации, если объясняющие переменные попарно не коррелированы.

Приведем теперь соотношения между частными корреляциями и регрессиями различных порядков. Некоторые из них были получены в предыдущих разделах, например (4.46) и (4.63). Из (4.63) и (4.68) получим

Связь между коэффициентами частной и множественной корреляции можно представить в таком виде:

или

Соотношения (4.72) легко доказать. Для этого преобразуем (4.36) из раздела 4.3:

Это равенство подставим в (4.43) из раздела 4.5. После соответствующих выкладок получим

Вычтем левую и правую часть этого равенства из 1:

В соответствии с (4.33) из раздела 4.3 получим

Подставим выражение в предыдущее равёнство:

Преобразуем (4.58) из раздела 4.5:

Подставляя это выражение в предыдущее равенство, в итоге получим

что и требовалось доказать. Обобщим это соотношение на объясняющих переменных:

С помощью (4.73) можно вычислить коэффициент множественной корреляции по коэффициентам парной и частной корреляции. Коэффициент указывает долю влияния на у, а — долю влияния на у при фиксировании Из (4.72) получаем следующее соотношение:

Это равенство можно использовать для контроля Вычислений коэффициентов корреляции.