8.2. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЕ ИНТЕРВАЛЫ ДЛЯ ПАРАМЕТРОВ РЕГРЕССИИ И ГЕНЕРАЛЬНОГО КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ

В предыдущих главах обсуждались точечные оценки параметров регрессии и коэффициента корреляции генеральной совокупности. Знание точных или асимптотических распределений оценок параметров регрессии и выборочного коэффициента корреляции позволяет произвести

вести оценку значимости перечисленных статистических характеристик и построить интервальные оценки. Точечная оценка определяется одним числом, интервальная — двумя числами: концами интервала, или его границами.

Надежность оценки определяется вероятностью, с которой утверждается, что построенный по результатам выборки доверительный интервал содержит неизвестный параметр генеральной совокупности. Вероятность интервальной оценки параметра называют доверительной и обозначают Р. Доверительную вероятность обычно выбирают близкой к единице: и т. д. Тогда можно ожидать, что при серии наблюдений параметр генеральной совокупности будет правильно оценен (т. е. доверительный интервал покроет истинное значение этого параметра) приблизительно в случаев и лишь в случаев оценка будет ошибочной. Если Р близка к единице, то риск ошибки ничтожен. Риск ошибки определяется уровнем значимости а, называемым также доверительным уровнем, соответствующим данному интервалу: В экономических исследованиях чаще всего доверительная вероятность выбирается равной 0,95, или 95%. Тогда риск ошибки составляет При этом также говорят о -ном доверительном интервале.

Обозначим параметр генеральной совокупности через а его оценку — через Приведенное определение доверительного интервала записывается в виде следующей формулы:

где — так называемый доверительный множитель. Он указывает долю стандартного отклонения, которая должна быть учтена, чтобы с заранее заданной вероятностью Р доверительный интервал покрывал параметр генеральной совокупности. Как видно из (8.9), значение зависит от доверительной вероятности Р или от уровня значимости а. Кроме того, зависит от объема выборки. Обычно значения табулированы. Если при построении доверительного интервала используется статистика, имеющая нормальное распределение, то —квантиль нормального распределения (см. раздел 1.7). Так, при по табл. 2 приложения находим значение

Если используется статистика, имеющая -распределение, то — квантиль распределения Стьюдента с соответствующим числом степеней свободы, Так, при по табл. 3 приложения находим

Доверительный интервал для 6 мы можем указывать в виде

или

где называется точностью оценки. Чем «лучше» оценка выбрана для параметра генеральной совокупности при прочих равных условиях, тем меньше ширина доверительного интервала.

Теперь перейдем от общих рассуждений к построению доверительных интервалов для параметров линейной регрессии. Заменим в оценкой параметра регрессии Согласно формуле (8.2) доверительный множитель будет квантилем -распределения, определяемым заданным уровнем значимости а и числом степеней свободы наконец, вместо стандартного отклонения подставим его оценку раздел 3.6). В результате получим доверительные границы, внутри которых на заданном уровне значимости а или при доверительной вероятности а содержится неизвестный параметр регрессии генеральной совокупности:

или доверительный интервал:

Из (8.13) видно, что при заданном уровне значимости а ширина доверительного интервала для параметра регрессии зависит:

от числа степеней свободы и тем самым от объема выборки Чем больше объем выборки (или число степеней свободы), тем меньше при прочих равных условиях значение и, следовательно, уже доверительный интервал;

от величины стандартной ошибки оценки параметра регрессии Чем меньше тем меньше при прочих равных условиях ширина доверительного интервала. В разделе 3.6 было показано, что зависит От стандартной ошибки остатков и стандартного отклонения объясняющей переменной Отсюда мы можем сделать вывод: чем меньше и чем больше тем меньше при прочих равных условиях и уже доверительный интервал для параметра регрессии.

Пример

Определим доверительные границы для параметров регрессии генеральной совокупности по данным примера из раздела 2.4 (зависимость производительности труда от уровня механизации работ). Точечные оценки параметров: В разделе 3.6 были вычислены стандартные ошибки оценок параметров регрессии: Зададимся уровнем значимости Число степеней свободы для нашего примера По табл. 3 приложения находим, что В соответствии с формулой (8.12) получаем следующие доверительные границы для

или

и доверительные границы для

или

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что неизвестное значение параметра регрессии содержится в интервале

а соответствующий доверительный интервал для другого параметра регрессии имеет вид:

Таким же образом могут быть построены доверительные интервалы для параметров частной регрессии по данным примера из раздела 2.7.

При построении доверительного интервала для коэффициента корреляции генеральной совокупности прибегают к преобразованию Фишера (см. раздел 8.1). Подставляя выборочный коэффициент корреляции в (8.3), получим значение вычисляем по (8.5). Доверительный множитель в этом случае является квантилем стандартного нормального распределения Доверительные границы для величины на заданном уровне значимости а определяются как

а доверительный интервал — по формуле

Доверительные границы для коэффициента корреляции находят путем обратного пересчета величины по (8.6).

Пример

В разделе 4.1 был вычислен коэффициент корреляции между производительностью труда и уровнем механизации работ По (8.3) найдем значение соответствующее данному коэффициенту корреляции:

По (8.5) вычислим

При уровне значимости квантиль нормального распределения Доверительные границы для величины при будут следующими:

или

и доверительный интервал

С помощью (8.6) производим обратный пересчет в

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что коэффициент корреляции генеральной совокупности содержится в интервале