1.2. ПОНЯТИЕ РЕГРЕССИИ

Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями и процессами: а) функциональная и б) стохастическая. В случае функциональной зависимости имеется однозначное отображение множества А в множестве В. Множество А называют областью определения функции, множеством значений функции. Если — отображение, причем — элемент множества В, а — элемент множества А, то это записывается в виде равенства называется значением функции в точке Приведенное равенство указывает правило соответствия независимой переменной х зависимой переменной у. Для каждого допустимого значения х можно указать вполне определённое значение у. Примером такой однозначной математической функции является Если, положим, то соответственно

Примеры функциональной зависимости можно привести из области физических явлений. Например, в физике известен закон свободного падения. В условиях безвоздушного пространства скорость падения является произведением ускорения свободного падения на время падения. Закон Ома указывает функциональную связь между электрическим сопротивлением, силой тока и напряжением. Для законов классической механики характерно то, что они справедливы для каждой отдельно взятой единицы совокупности и не содержат никаких элементов случайности. В экономике примером функциональной связи может служить зависимость производительности труда от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени.

Совсем по-другому обстоит дело в закономерностях, проявляющихся только в массовом процессе, только при большом числе единиц совокупности. Такие закономерности называются стохастическими (вероятностными). При стохастической закономерности для заданных значений зависимой переменной можно указать ряд значений объясняющей переменной, случайно рассеянных в интервале. Каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенное статистическое распределение значений функции. Это обусловливается тем, что зависимая переменная, кроме выделенной переменной, подвержена влиянию ряда неконтролируемых или неучтенных факторов, а также тем, что измерение переменных неизбежно сопровождается некоторыми случайными ошибками. Поскольку значения зависимой переменной подвержены случайному разбросу, они не могут быть предсказаны с достаточной точностью, а только указаны с определенной вероятностью. Появляющиеся значения зависимой переменной являются реализациями случайной величины. Под случайной величиной следует понимать функцию, отображающую пространство элементарных событий в множество действительных чисел. В экономике приходится иметь дело со многими явлениями, имеющими вероятностный характер. В качестве примеров таких случайных величин можно назвать следующие: число бракованных изделий, получающихся в процессе изготовления за определенные промежутки времени; количество простоев оборудования за смену; стоимость продукции предприятий; полная себестоимость товарной продукции.

Обратимся теперь к понятию регрессии. Регрессия — это односторонняя стохастическая зависимость. Она устанавливает соответствие между случайными переменными. Например, при изучении потребления энергии в зависимости от объема производства речь идет об определении односторонней связи, следовательно, о регрессии. Обе переменный являются случайными. Каждому значению х соответствует множество значений у и, наоборот, каждому значению у соответствует множество значений х. Таким образом, мы имеем дело со статистическими распределениями значений х и значений у. Исходя из этих распределений мы и должны находить стохастическую зависимость между х и у.

Односторонняя стохастическая зависимость выражается с помощью функции, которая, для отличия ее от строгой математической функции, называется функцией регрессии или просто регрессией. Далее мы более подробно остановимся на этом понятии. Здесь мы хотим лишь подчеркнуть характер функции регрессии, показав тем самым разницу между функциональной зависимостью и регрессией. При функциональной зависимости факторный признак х полностью определяет результативный признак у. Кроме того, при функциональной зависимости функция обратима. Так, функция является обратной по отношению к функции Задаваясь значением получим Задаваясь для обратной функции значением получим Функция регрессии этим свойством не обладает. Только в предельном случае, когда стохастическая зависимость переходит в функциональную, переход из одного уравнения регрессии в другое становится возможным, т. е. начинает проявляться свойство обратимости.

Разумеется, функция регрессии будет обратима, если за стохастической связью скрывается подлинная функциональная зависимость. Например, это будет иметь место при определении эмпирическим путем суммы углов Многоугольников в зависимости от числа их сторон. Итак, если между явлениями отсутствует функциональная связь, а существует только стохастическая, то функция регрессии необратима. Это обусловлено, во-первых, самой структурой явления, определяющей направление связи; во-вторых, постановкой задачи исследования, когда преследуется вполне определенная цель: как по значениям одной переменной, выбранной в качестве аргумента, предсказать соответствующие значения другой (функции); в-третьих, способом измерения отклонений эмпирических точек. Вследствие этого, если исследуют стохастическую зависимость переменной у от х, то устанавливают регрессию У на х. Если же изучают стохастическую зависимость х от у, то определяют регрессию х на у. Конкретный практический смысл приводит к одной из двух видов регрессий. Например, при исследовании потребления энергии в зависимости от объема производства разыскивают регрессию у на х. Если же, наоборот, изучается механизм влияния объема производства на величину потребления энергии, что может представлять интерес при планировании народного хозяйства, то определяют регрессию х на у. В исследованиях связи между стоимостью товара и спросом при капиталистической форме ведения хозяйства практическое

содержание, имеют две постановки задачи: зависимость стоимости товара от спроса, а также обратная зависимость — спрос от стоимости товара, так как изменение цен на товары отражается на спросе населения. Хотя в данном случае исходя из логически-профессиональных соображений зависимость обратима, функция регрессии, подлежащая определению, не обладает свойством, обратимости.

Нередко между двумя и более переменными возникают связи, для которых логическое истолкование возможно только в одном направлении, а следовательно, имеет смысл находить только одну функцию регрессии, Так, вполне очевидно, что существует зависимость урожайности сельскохозяйственных культур от количества осадков и количества внесенных удобрений Следовательно, нужно устанавливать регрессию у на Другое направление зависимости не представляет практического интереса в силу того, что, например, на количество выпавших осадков не влияет урожайность и количество внесенных удобрений. Итак, в некоторых случаях проблема обратимости регрессии может и не возникнуть.

Проблема обратимости теряет свою остроту также в случае взаимодействия причины и следствия, зависимой и объясняющей переменной, на чем мы более подробно остановимся в главе 12.

Функция регрессии формально устанавливает соответствие между переменными, хотя они могут не состоять в причинно-следственных отношениях. Однако задача научного исследования заключается в определении причинных зависимостей. Только понимание истинных причин явлений придает нашему знанию действенный характер, позволяет предвидеть явления, учитывать или надлежащим образом изменять их, чтобы вызвать новые, желаемые следствия в исследуемой области. В противном случае легко могут возникнуть так называемые нонсенс-регрессии (ложные, абсурдные), которые не имеют практического смысла. Так, например, число преподавателей вузов не зависит от числа онкологических заболеваний. К проблеме выбора причинно обусловленных влияющих величин мы вернемся в следующих разделах. А сейчас рассмотрим различные виды регрессии.

а) Относительно числа явлений (переменных), учитываемых в регрессии, различают:

простую регрессию. Она представляет собой регрессию между двумя переменными. Например, между затратами на производство (зависимая, результативная переменная, или переменная, подлежащая объяснению) и объемом продукции, произведенной промышленным предприятием (объясняющая, независимая, или предсказывающая переменная). В качестве другого примера можно назвать зависимость прибыли предприятия (зависимая переменная) от производительности труда (объясняющая переменная);

множественную или частную регрессию. Это регрессия между зависимой переменной у и несколькими причинно обусловленными объясняющими (независимыми, или предсказывающими) . Так, имеется множественная регрессия между производительностью труда (зависимая переменная) и уровнем механизации производственных процессов, фондом рабочего времени, материалоемкостью и квалификацией

рабочих (Объясняющие переменные). При экономических исследованиях может быть охвачен весь причинно-следственный комплекс явлений.

б) Относительно формы зависимости различают:

линейную регрессию, выражаемую линейной функцией. При этой форме зависимости между исследуемыми переменными объективно существуют линейные соотношения;

нелинейную регрессию, выражаемую нелинейной функцией. В этом случае между исследуемыми экономическими явлениями объективно существуют нелинейные соотношения.

в) В зависимости от характера регрессии различают:

ва) положительную регрессию. Она имеет место, если с увеличением или уменьшением значений объясняющей переменной значения зависимой переменной также соответственно увеличиваются или уменьшаются. Например, регрессия между прибылью и объемом произведенной продукции;

вб) отрицательную регрессию. В этом случае с увеличением или уменьшением значений объясняющей переменной значения зависимой переменной соответственно уменьшаются или увеличиваются. Например, регрессия между размером прибыли на единицу продукции и затратами на производство.

Положительная и отрицательная регрессии являются понятиями регрессионного анализа. Из названия этих регрессий вовсе не следует делать вывод о том, что положительная регрессия желательна, а отрицательная нежелательна.

Следует заметить, что понятия положительной и отрицательной регрессии, в общем, приобретают смысл только для простой регрессии, где четко определена причинная связь между явлениями. В случае же множественной регрессии предполагается существование множества одновременно развивающихся не зависимых друг от друга цепей причинно-следственных связей, среди которых часть может соответствовать прямой зависимости, а часть — обратной. Зависимая переменная находится под соединенным действием нескольких причин (объясняющих переменных), и мы не можем, как правило, четко отделить одни явления от других.

г) Относительно типа соединения явлений различают:

непосредственную регрессию. В этом случае явления соединены непосредственно между собой. Причина оказывает прямое воздействие на следствие, т. е. зависимая и объясняющая переменные связаны непосредственно друг с другом;

косвенную регрессию. Косвенная регрессия имеет место, если объясняющая и зависимая переменные не состоят непосредственно в причинно-следственных отношениях, а детерминируются общей для них причиной, т. е. объясняющая переменная действует через какую-то третью или ряд других переменных на результативную переменную;

нонсенс-регрессию (ложная или абсурдная регрессия). Она возникает при формальном подходе к исследуемым явлениям, без уяснения того, какие причины обусловливают данную связь. В результате можно прийти к установлению ложных и даже бессмысленных зависимостей

которые не будут иметь практического значения, так как с их помощью нельзя предвидеть явления или влиять на их ход развития. Пример такой ложной зависимости уже приводился, а именно зависимость числа преподавателей вузов от числа онкологических заболеваний.

Приведенная классификация служит доказательством разнообразия и многочисленности видов регрессии. Однако на практике все виды регрессии чаще всего встречаются комбинированно. Так, существует простая линейная и простая нелинейная регрессия, множественная линейная регрессия и т. д.

Далее мы увидим, что корреляция и регрессия тесно связаны между собой. Это привело к тому, что иногда регрессию рассматривают как частный случай корреляции, считая тем самым корреляцию более широким понятием. Однако мы придерживаемся того мнения, что ход рас-суждений и постановка задач в регрессионном и корреляционном анализе различны. Это дает нам право обсуждать проблемы регрессии и корреляции раздельно.