5.2. ПРОСТАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ ПРИ СГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ

Если исследователь располагает большим числом наблюдений, то путем рациональной группировки эмпирических данных можно облегчить вычислительную процедуру. Чаще всего данные группируются по объясняющей переменной. В образованных группах вычисляются частные средние Процедура нахождения оценок параметров аналогична описанной в разделе 2.6. Ограничимся квазилинейными функциями. Для регрессии (5.3) при сгруппированных данных получим следующие нормальные уравнения:

При этом — частная средняя; — середина интервала значений объясняющей переменной; — частота интервала;

(см. раздел 2.6). Решая систему нормальных уравнений, находят оценки параметров регрессии (5.3).

Рассмотрим зависимость логарифмического типа

В соответствии с правилом, приведенным в разделе 5.1, получим нормальные уравнения для сгруппированных данных:

В качестве примера исследуем зависимость товарной продукции от введенных в действие основных фондов на 663 предприятиях по исходным данным из табл. 11. Выразим эту зависимость с помощью регрессий (5.3) и (5.27). Решая системы нормальных уравнений найдем оценки параметров этих регрессий. Подобранные модели имеют вид:

По расчетным значениям регрессии в табл. 11 видно, что функция (5.3) для нашего примера при достигает своего максимума, в то время как функция (5.27) непрерывно возрастает. Какая из двух функций регрессий лучше всего отражает зависимость товарной продукции от основных фондов, сразу решить трудно. Если бы мы вычислили коэффициент детерминации для обеих регрессий, то тогда смогли бы убедиться, что функция (5.3) больше соответствует эмпирическим данным, чем функция (5.27). Таким образом, если бы возникла необходимость прогноза товарной продукции по основным фондам, и то на указанном диапазоне изменения переменных дует воспользоваться регрессией (5.3). Однако нужно еще проверить, поддается ли

Таблица 11. Товарная продукция и основные фонды на 663 предприятиях (см. скан)

содержательной интерпретации максимальное значение товарной продукции при данных основных фондах. Только после выяснения этого вопроса можно окончательно решить, какой из функций регрессии отдать предпочтение.

Оценки параметров нелинейных регрессий можно найти также при группировке наблюдений по обеим переменным, т. е. по корреляционной таблице. Процедура вычислений аналогична описанной в разделе 2.6 для простой линейной регрессии. При построении нормальных уравнений следует обращать внимание на то, что середины интервалов умножаются на частоты середины интервалов — на частоты а произведения — на условные частоты