11.2. АВТОКОРРЕЛЯЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Временные ряды, а при особых обстоятельствах и данные одновременных исследований, необходимо проверить на автокорреляцию, чтобы установить, выполняется ли требование стохастической независимости

результатов наблюдений. Члены одного и того же ряда взаимосвязаны друг с другом, т. е. ряд автокоррелирован, если существует корреляция между последовательными уровнями ряда. При этом следует рассматривать также корреляцию между значениями, смещенными на в одном и том же ряду. Итак, корреляция между последовательными или смещенными на значениями одного и того же ряда наблюдений называется автокорреляцией переменных. Ее следует отличать от автокорреляции возмущений, о которой речь пойдет в разделе 11.3.

Автокорреляция переменных вызывает серьезные затруднения при вычислении коэффициентов корреляции и регрессии между временными рядами, а при их интерпретации, безусловно, необходимо проявлять осторожность. В каждом случае следует удостовериться, применимы ли рассмотренные нами ранее методы корреляционного и регрессионного анализа и приведут ли они к правильным результатам.

Величина автокорреляции статистических рядов может быть измерена с помощью коэффициента автокорреляции. Для этой цели определяют корреляцию между значениями ряда, смещенными на т. е. между последовательностями данном случае речь идет о нециклической автокорреляции, так как предполагается, что ряд затухает на значении . Таким образом, нециклическая автокорреляция — это корреляция между исходным рядом и тем же самым рядом, смещенным на лаг .

Если временной ряд имеет циклический характер, т. е. предполагается, что после значения общий характер изменений членов ряда повторяется (о чем можно судить по сезонной компоненте и другим более или менее регулярным колебаниям), то автокорреляцию измеряют с помощью коэффициента циклической автокорреляции, введенного Андерсоном Р. Л. В этом случае определяется корреляция между последовательностями одного и того же ряда. Во второй последовательности после располагаются члены первой последовательности.

Далее речь будет идти только о коэффициенте автокорреляции первого порядка, который применяется для измерения связи между последовательными значениями уровней ряда при лаге 1. Члены ряда смещаются при этом на одну единицу времени.

Коэффициент нециклической автокорреляции первого порядка измеряет автокорреляцию между последовательностями . По аналогии с (4.5) из раздела 4.1 получим

Коэффициент циклической автокорреляции первого порядка отражает интенсивность связи между последовательностями По аналогии с (4.5) из раздела 4.1 получим после некоторых преобразований

Хотя вычислить проще, чем при исследовании экономических явлений отдают предпочтение коэффициенту нециклической автокорреляции так как не всегда можно предположить, что временной ряд имеет циклический характер с периодом Т. Но недостатком коэффициента является то, что неизвестно его распределение для малых выборок из нормально распределенных генеральных совокупностей, в которых отсутствует автокорреляция. В экономических же исследованиях приходится иметь дело как раз с выборками небольшого объема. И напротив, распределение известно. Можно показать, что для больших объемов выборок почти совпадают и что если то соответствии с этим критерий для проверки значимости коэффициента циклической автокорреляции, предложенный Р. Л. Андерсоном, пригоден также при больших объемах выборок для проверки значимости Если в генеральной совокупности, из которой отобрана выборка, отсутствует автокорреляция, то дисперсия коэффициента при выборке объема Т составит Для выборок большого объема величина

имеет -распределение с степенями свободы. Р. Л. Андерсон построил таблицу критических значений коэффициента циклической автокорреляции, которая пригодна также при больших объемах выборок для проверки значимости коэффициента нециклической автокорреляции. Выдержка из этой таблицы приведена в приложении (см. табл. 7). Если табл, то эмпирический коэффициент автокорреляции первого порядка указывает на наличие автокорреляции при уровне значимости а. Для выборок небольшого объема такой вывод будет ненадежным. В этом случае привлекают непараметрический критерий, построенный на основе неравенства Бьеномэ — Чебышева. В соответствии с этим критерием вероятность, Р, того, что наблюдаемое значение лежит в интервале

равна

или

К — коэффициент автокорреляции и стандартное отклонение этого коэффициента в генеральной совокупности. Если мы, например, производим проверку значимости коэффициента нециклической автокорреляции с вероятностью 0,95, или 95%, то по (11.14) получим Если теперь при выборках малого объема значение вычисленное по (11.12), окажется больше, чем 4,472, то можно с вероятностью 0,95 утверждать, что в данном ряду присутствует автокорреляция. Если вычисленное значение будет меньше 4,472, то данная выборка не позволяет нам сделать вывод о существовании автокорреляции (гипотеза принимается). Однако следует подчеркнуть, что непараметрические критерии имеют меньшую эффективность, чем соответствующие параметрические. Но непараметрические критерии не требуют никакого предположения о виде распределения.

Для исследования автокорреляции применяют также другие методы. Среди них прежде всего следует назвать метод Р. Фриша и Ф. В. метод разностей, разработанный в основном О. Андерсоном и В. С. Госсетом (псевдоним — Стьюдент), а также метод X. Волда и Дж. X. Оркатта. Объем книги не позволяет нам более подробно обсудить эти методы, и заинтересованного читателя мы отсылаем к специальной литературе.

Как отмечалось в разделе 4.1, по коэффициенту корреляции, равному или близкому к нулю, при вычислении его по парам наблюдений не может быть сделан вывод об отсутствии связи между изучаемыми явлениями вообще. Это касается также корреляции временных рядов. Наличие временной последовательности причины и следствия иногда не является достаточным основанием, чтобы определять корреляцию по парам наблюдений с тем же самым порядковым номером, т. е.

Необходимо также проверить, существует ли корреляция между парами значений, смещенными относительно друг друга на величину лага. Так, при лаге исследуют корреляцию по парам наблюдений при лаге по парам наблюдений Эта процедура иногда необходима, чтобы вскрыть объективно существующие взаимосвязи. Ярким примером, иллюстрирующим это положение, служит связь между числом вступивших в брак и числом первенцев. При изучении связей между экономическими явлениями также требуется учитывать соответствующие лаги, например при установлении связи между капиталовложениями и объемом производства, между расходом сырья и материалов и объемом выпускаемой продукции (особенно при индивидуальном производстве). Сроки реализаций капиталовложений и сроки прироста продукции, вытекающие из этого факта, а также время произведенных расходов сырья и материалов и сроки выпуска продукции могут более или менее сильно различаться. Это отставание по времени причинно обусловленных явлений в основном зависит от характера производственного процесса (индивидуальное, серийное, массовое и т. д.), от продолжительности процесса изготовления и периода исследования (декада, месяц, квартал и т. д.). Чем длиннее производственный цикл и чем короче период исследования, тем больше вероятность возникновения лага. Корреляция, определенная

по парам значений с единичным запаздыванием, т. е. по значениям, смещенным на называется сериальной (по-английски — serial correlation). Понятие сериальной корреляции чаще всего применяется к автокорреляции временных рядов. Чтобы избежать недоразумений при использовании этого понятия, рекомендуем рассматривать его в узком смысле, предложенном нами. Аналогично вводят понятие сериальной корреляции с запаздыванием (или лагом , т. е. корреляции между членами временных рядов, отстоящими друг от друга на единиц. В качестве меры связи используется коэффициент сериальной корреляции. Ограниченные рамками данной книги, мы, к сожалению, не можем более подробно остановиться на проблемах сериальной корреляции