3.5. КОЭФФИЦИЕНТ ДЕТЕРМИНАЦИИ МЕЖДУ ОБЪЯСНЯЮЩИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Как указывалось в разделе 2.9 (см. предпосылку 4), для решения системы нормальных уравнений очень важно знать соотношения между объясняющими переменными Используя понятие коэффициента детерминации, введем меру зависимости этих переменных между собой. Обозначим через коэффициент детерминации, характеризующий степень обусловленности объясняющей переменной остальными объясняющими переменными, входящими в данную регрессию.

Укажем формулу для вычисления коэффициента детерминации между объясняющими переменными. Для ее вывода исходят из матрицы дисперсий и ковариаций объясняющих переменных

где дисперсия объясняющей переменной ковариация объясняющих переменных Умножив каждый элемент (3.28) на

получим матрицу сумм квадратов отклонений и произведений отклонений:

где Матрицу, обратную к обозначим через

Коэффициент детерминации между объясняющими переменными вычисляется по формуле

где — элементы строки и столбца матриц соответственно.

Пример.

Вернемся к примеру с тремя объясняющими переменными из раздела 2.7. Построим следующие матрицы:

(Элементы матрицы указаны с округлением.) По (3.31) получим:

В силу того что величина коэффициента детерминации между переменными также заключена в пределах от 0 до 1, результаты вычислений отражают небольшую зависимость между объясняющими переменными. Проверка значимости коэффициентов детерминации обсуждается в разделе 8.6. Коэффициенты детерминации между переменными будут использованы также при рассмотрении мультиколлинеарности в главе 9.

Различные коэффициенты детерминации не могут быть единственным критерием оценки регрессии. Неосторожное их использование может привести к ошибочным заключениям. Например, если эмпирические данные представляют собой временной ряд или между переменными существуют не только непосредственные, но и многообразные косвенные связи (см. главы 9 и 12), то применение коэффициента детерминации становится весьма проблематично. Поэтому далее мы еще будем обсуждать способы оценки точности подбора функции регрессии.