1.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ

Статистическая вероятность идентична понятию относительной частоты, с которой отдельные значения случайной величины появляются при большом числе независимых испытаний, производимых в одинаковых условиях. При этом подразумевается неограниченно большое число испытаний. Допустим, что при испытаниях значение случайной величины X появилось раз, тогда будет статистической вероятностью появления значения

Случайные величины могут быть дискретными и непрерывными. Дискретной называется такая случайная величина, которая принимает конечное или бесконечное счетное множество значений, например численность работников промышленных предприятий. Непрерывной называется такая случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Примером непрерывной случайной величины может служить рабочее время в человеко-часах. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины, которое может быть задано в виде ряда распределения, функции распределения и плотности распределения вероятностей. Если обозначить вероятности появления отдельных значений случайной величины X через т. е.

то вероятности с соответствующими составят ряд распределения дискретной случайной величины. Легко можно убедиться, что

При графическом изображении ряда распределения в прямоугольной системе координат получается фигура, называемая многоугольником распределения. График по виду напоминает полигон частот.

Наиболее общей формой задания распределения случайной величины является функция распределения. Она используется как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, которое меньше фиксированного действительного числа х, т. е.

Для дискретной случайной величины

График функции распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая ломаная линия. Функция распределения имеет скачок в тех точках, в которых случайная величина принимает конкретные значения. Величина скачка определяется накопленными вероятностями: Поэтому данная функция иногда называется кумулятивной функцией распределения. В интервалах между значениями случайной величины функция постоянна. Непрерывной случайной величине соответствует непрерывная функция распределения, которая на графике в большинстве случаев изображается в виде -образной кривой.

Распределение непрерывной случайной величины можно, кроме того, задать с помощью плотности распределения Вероятность попадания случайной величины на элементарный участок определится как

Аналогично выражению (1.18) можно доказать, что

Геометрически это означает, что площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет любое значение между равна единице. Следовательно, это событие достоверно.

Плотность распределения называется также функцией плотности. Вероятность попадания непрерывной случайной величины X в интервал равна определенному интегралу от функции плотности, взятому в пределах от а до

Функция распределения может быть выражена через плотность Распределения следующим образом:

Геометрически функция распределения соответствует площади между кривой распределения, осью абсцисс и перпендикуляром, восстановленным из точки Эта геометрическая интерпретация делает очевидным следующее свойство функции распределения: Если функция непрерывна и дифференцируема при всех значениях аргумента, то ее первая производная является плотностью распределения:

При любых а и имеет место равенство

Распределение вероятностей в виде ряда распределения, функции распределения или плотности полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако практически часто удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями, которые давали бы в сжатой форме достаточную информацию о случайной величине. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание или Е (X), или среднее случайной величины, и дисперсия

Если дискретная случайная величина задана рядом распределения, то ее математическое ожидание будет

Для непрерывной случайной величины, возможные значения которой располагаются по всей оси абсцисс, математическое ожидание равно:

Дисперсия дискретной случайной величины определяется как

Для непрерывной случайной величины, распределение которой задано в виде плотности вероятностей дисперсия выражается так:

Аналогами математического ожидания и дисперсии случайной величины являются соответственно среднее х и выборочная дисперсия вычисляемые по эмпирическим данным (см. раздел 1.5).