4.5. ЧАСТНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ

Как неоднократно подчеркивалось, экономические явления чаще всего приходится описывать многофакторнымимоделями. В связи с этим возникают две задачи:

1) определение тесноты связи одной из переменных с совокупностью остальных переменных, включенных анализ; это является задачей изучения множественной корреляции;

определение тесноты связи между двумя переменными при фиксировании или исключении влияния остальных. Интенсивность такой связи оценивается с помощью коэффициентов частной корреляции.

Если переменные коррелируют друг с другом, то на величине коэффициента парной корреляции частично сказывается влияние других переменных. Если, например, между существует тесная связь, и, кроме того, у зависит от то у будет также коррелировать с Вполне возможно, что корреляция между у и не прямая, а косвенная, возникающая вследствие воздействия Поэтому необходимо исследовать частную корреляцию между у и при исключении влияния на у. Исключаемые переменные могут закрепляться как на средних, так и на других уровнях, выбранных в соответствии с интересующими нас участками изменения переменных, между которыми определяется связь в «чистой» форме. Здесь следует учитывать профессионально-теоретические соображения об изучаемом явлении.

Если имеется достаточно большое число наблюдений, то для сопоставимости данных можно произвести группировку по переменной и внутри групп исследовать связь между переменными у и х. В каждой группе тогда в значительной степени исключается вариабельность переменной Сравнивая коэффициенты корреляции, вычисленные по отдельным группам, можно узнать, оказывают ли изменения существенное влияние на связь между у и х. Однако в практике экономических исследований построение таких группировок сопряжено с большими трудностями в основном за счет ограниченного числа наблюдений.

Применение метода частной корреляции освобождает от образования группировок. Измерение частного воздействия отдельных переменных выполняется на основе частной регрессии и частной корреляции. Следуя форме записи коэффициента частной детерминации, обозначим через коэффициент частной корреляции, с помощью которого оценивается интенсивность связи между переменными у и при исключении влияния В соответствии с данным определением, например, также будет коэффициентом частной корреляции, измеряющим тесноту связи между переменными при исключении влияния у.

В разделах 2.7 и 2.8 было показано, что постановка задачи и цели множественного регрессионного анализа совпадают с задачами и целями изучения частной регрессии. Но в корреляции постановка вопросов иная. В то время как при рассмотрении множественной корреляции используется мера зависимости одной из переменных с совокупностью других, при изучении частной корреляции определяется частное воздействие каждой отдельной переменной при предположении ее связи с остальными переменными.

Рассмотрим задачи исследования частной корреляции на примере взаимосвязи трех переменных. Проанализируем коэффициент частной корреляции между переменными у и при исключении влияния В разделе 2.8 было получено выражение регрессии (2.71) по данным, из которых устранено влияние Основываясь на этих данных, построим коэффициент детерминации по аналогии с (3.6) из раздела 3.2 и потребуем в соответствии с (4.13) из раздела 4.3, чтобы

бы этот коэффициент детерминации был равен квадрату коэффициента частной корреляции. Это требование вполне оправдано, так как коэффициент детерминации должен вычисляться по данным, из которых исключено влияние переменной Итак, получаем

Учитывая, что можно привести к виду

Формула (4.52) мало пригодна для практических вычислений. Для получения более удобного выражения выполним некоторые преобразования. Подставим (2.71) из раздела 2.8 в (4.52). Учитывая далее (2.70), а также то, что коэффициенты частной регрессии равны коэффициентам множественной регрессии, получим

Введем следующие обозначения. Пусть — коэффициент частной регрессии у на и — постоянная, коэффициент регрессии на — постоянная, а — коэффициент регрессии у на

В соответствии с в (3.5) из раздела 3.1 получим выражение

которое будет необъясненной дисперсией для регрессии на 2. Отсюда делаем заключение, что знаменатель в (4.53) представляет собой необъясненную дисперсию для регрессии у на Исходя из этих соображений (4.53) записываем в виде

В разделе 3.1 мы показали, что общую дисперсию можно разложить на две составляющие — объясненную и необъясненную дисперсии. Используем это обстоятельство в дальнейших наших рассуждениях. Разделим обе части тождества (3.5) из раздела 3.1 на и, учитывая

(4.13) из раздела 4.3, после некоторых простых преобразований получим

По аналогии можно записать

Подставим (4.57) в (4.55)

Теперь подставим (4.29) из раздела 4.3 в (4.58) и выполним некоторые преобразования:

или

Таким образом, мы получили формулу коэффициента частной корреляции, удобную для практических вычислений. По аналогии с (4.60) можно легко записать выражения для других коэффициентов частной корреляции.

Вычисление коэффициентов частной корреляции сводится к нахождению коэффициентов парной корреляции. Благодаря выведенным формулам легко установить соотношения между этими коэффициентами. Так, если то Если (т.е. переменные не коррелированы), то Итак, с уменьшением взаимодействия между следует ожидать увеличения коэффициента частной корреляции по сравнению с соответствующим коэффициентом парной корреляции. Это увеличение тем силь нее, чем больше или Далее, если если В обоих случаях неравенства тем больше, чем сильнее взаимодействие между а следовательно, чем больше Если коэффициенты корреляции имеют противоположные знаки, то всегда

Обобщим теперь выражение коэффициента частной корреляции на любое число объясняющих переменных. Воспользуемся для этого формулой (4.58). После извлечения корня квадратного из обеих частей равенства получим

По аналогии запишем

Так как то, перемножая соответственно правые и левые части (4.61) и (4.62), получим

или

В соответствии с (4.33) и (4.34) из раздела 4.3

или

Обобщая, можно записать

или

Формула (4.65) позволяет нам вычислять коэффициент частной корреляции по коэффициентам частной регрессии.

По аналогии с (4.60), обобщая на любое число объясняющих переменных, получим

Как видно из (4.66), вычисление коэффициента частной корреляции порядка сводится к определению коэффициентов частной корреляции порядка При использовании (4.66) сначала необходимо знать коэффициенты парной корреляции, а затем приступать к вычислению коэффициентов корреляции более высокого порядка. При более чем четырех переменных вычисление частных коэффициентов корреляции желательно производить на КВМ.

Пример

Вычислим некоторые коэффициенты частной корреляции для сформулированной ранее задачи изучения зависимости производительности труда от уровня механизации работ и среднего возраста работников. Воспользуемся для этой цели формулой (4.60). Значения коэффициентов парных корреляций заимствуем из корреляционной матрицы, приведенной в разделе 4.4:

При включении в анализ четвертой переменной — среднего процента выполнения нормы — необходимо вычислять коэффициенты частной корреляции третьего порядка. Для этого нам потребуются также следующие

коэффициенты частной корреляции:

(эти значения получены по формуле (4.60)). По (4.66) вычисляем коэффициенты частной корреляции третьего порядка:

Из полученных результатов видим, что коэффициенты частной корреляции третьего порядка меньше коэффициентов второго порядка, а те в свою очередь меньше коэффициентов парной корреляции. Уменьшение коэффициентов частной корреляции означает, что взаимозависимость возникает частично вследствие воздействия фиксированных переменных.