12.3. ВИДЫ ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В зависимости от постановки экономической проблемы и цели исследований эконометрическая модель может быть представлена в различных видах. Далее мы дадим краткий обзор моделей.

I. Структурная форма эконометрической модели. Модель, представленная в виде

называется структурной. В соответствии с этим отдельные уравнения, образующие модель (12.5), и их параметры называются структурными. Про уравнения говорят, что они описывают структурную форму модели. Структурная форма эконометрической модели описывает одно- и многосторонние стохастические причинные отношения между экономическими

величинами в их непосредственном виде. Она содержит всю существенную информацию о зависимостях между экономическими явлениями и процессами.

Каждое структурное уравнение модели описывает в отдельности экономическое явление с учетом экономических, технологических, демографических, социологических и прочих факторов. Оно отражает также отдельные воздействия изменения переменных, содержащихся в нем. В структурном уравнении содержится одна или несколько совместно зависимых переменных. Оно включает неизвестные, подлежащие оценке, структурные параметры, а также возмущающую переменную. Характерной особенностью структурных уравнений является определенная автономность их по отношению к предопределенным переменным, так как изменение этих переменных и их параметров в одном структурном уравнении не обязательно приводит к изменениям в других структурных уравнениях.

Наряду со структурными уравнениями эконометрическая модель может содержать так называемые определяющие уравнения — тождества. Они необходимы для адекватного отражения реальной действительности и полного охвата переменных одновременными соотношениями. Тождества не содержат возмущающих переменных, и их параметры известны (в общем случае равны единице). Следовательно, они не подлежат оценке, и при проведении процедуры оценивания параметров модели могут быть заранее исключены.

II. Полная эконометрическая модель. Эконометрическая модель называется полной, если:

а) она охватывает те переменные, которые оказывают существенное влияние на совместно зависимые переменные, а возмущающие переменные имеют случайный характер;

б) она содержит столько уравнений, сколько в ней имеется совместно зависимых переменных, так что каждая совместно зависимая переменная может быть объяснена с помощью соответствующего уравнения системе уравнений (12.4) и (12.5) число совместно зависимых переменных равно числу уравнений

в) система уравнений и меет однозначное решение относительно совместно зависимых переменных. Следовательно, матрица А невырожденная, т. е.

Модель должна быть полной в случаях, когда необходимо количественно описать экономическое явление или когда она применяется для прогнозирования.

III. Приведенная форма эконометрической модели. Если эконометрическая модель является полной, то существует обратная матрица Благодаря этому можно решить систему уравнений относительно совместно зависимых переменных, умножая (12.5) и (12.6) слева на

или

Форма эконометрической модели, задаваемой в виде (12.9) или (12.10), называется приведенной. Если мы в (12.9) и (12.10) воспользуемся обозначением

а также

то приведенную форму модели можно записать более просто:

или

Представим матричное уравнение (12.13) подробно в виде отдельных уравнений

Из (12.15) видно, что совместно зависимые переменные являются линейными функциями от предопределенных и возмущающих переменных. В равенстве (12.11) находит отражение тот факт, что коэффициенты уравнений модели в приведенной форме представляют собой конгломерат структурных параметров. Это можно продемонстрировать на примере из раздела 12.1. Запишем уравнения модели (12.7) в приведенной форме. Для этого построим следующие матрицы:

Уравнения модели в приведенной форме примут вид:

Из (12.16) видно, что коэффициенты уравнений в приведенной форме являются комбинациями всех элементов матрицы А (всех структурных коэффициентов совместно зависимых переменных) и элементов столбцов матрицы В (структурных коэффициентов соответствующих предопределенных переменных во всех структурных уравнениях). Например, коэффициент си модели в приведенной форме при переменной в первом уравнении составлен из всех элементов матрицы А и структурных коэффициентов переменной в обоих структурных уравнениях (12.7) — элементов первого столбца матрицы В.

Уравнения в приведенной форме из-за сложности представления коэффициентов теряют по отношению к предопределенным переменным свою автономность, которая характерна для структурных уравнений Если, например, из-за изменения коэффициента изменится си, то неизбежно изменится и так как содержится в нем. Но, с другой стороны, каждое уравнение в приведенной форме характеризуется определенной автономностью относительно совместно зависимых переменных, так как каждое из этих уравнений содержит текущее значение только одной эндогенной переменной, которое выражается как функция всех предопределенных переменных. Итак, очевидно, что взаимосвязи совместно зависимых переменных при переходе от структурной формы к приведенной распространяются на предопределенные переменные, а также на возмущения. Если мы сравним, например, первые уравнения (12.2) и (12.16), то в модели приведенной формы (12.16) объясняется всеми предопределенными переменными модели, т. е. а также остатками обоих структурных уравнений в Но в первое уравнение модели (12.16) не входит.

На основе высказанных соображений становится очевидной интерпретация уравнений в приведенной форме. Коэффициенты этих уравнений отражают непосредственное и косвенное влияние предопределенных переменных на совместно зависимые переменные (общий эффект), в то время как структурные параметры выражают только непосредственное влияние предопределенных переменных (частичный эффект). В этом смысле экономическая интерпретация коэффициентов уравнений в приведенной форме реалистичнее, чем интерпретация структурных параметров. Модель в приведенной форме построена как бы с учетом предпосылки, что «другие объясняющие переменные не изменяются» (см. интерпретацию коэффициентов частной регрессии в разделе 2.7), так как в этой модели каждая совместно зависимая переменная объясняется только предопределенными переменными.

Каждое уравнение в приведенной форме представляет собой множественную регрессию (см. раздел 2.7). К уравнениям непосредственно применим метод наименьших квадратов для оценивания неизвестных коэффициентов приведенной формы. Модель в приведенной форме используется для прогнозирования. Если оценки коэффициентов приведенной формы и значения предопределенных переменных приходятся на период времени прогноза, то по модели находят прогнозные значения совместно зависимых переменных. И напротив, структурная форма для прогноза непригодна, так как в каждом структурном уравнении содержится несколько совместно зависимых переменных, для

которых не могут быть указаны значения на прогнозируемый период времени, поскольку они еще только подлежат оценке. Однако приведенная форма модели имеет и существенный недостаток. От количественно оцененной модели в приведенной форме не во всех случаях можно перейти к модели в структурной форме, в то время как по заданной в численном виде структурной форме может быть всегда определена приведенная форма (см. раздел 12.4).

Итак, мы убедились, что как структурная, так и приведенная формы выполняют свои специфические функции, позволяют решать определенные задачи и имеют свои достоинства и недостатки. Поэтому регрессионную модель обычно представляют в обеих формах, а затем их интерпретируют.

При построении других форм регрессионной модели исходят из структурной формы (12.4) и исследуют вид матрицы А.

IV. Модель из взаимозависимых переменных. Модель из взаимозависимых переменных представляется в виде системы структурных уравнений, в которых переменные одновременно удовлетворяют нескольким равенствам. Следовательно, переменные являются многосторонне зависимыми. Матрица А структурных параметров совместно зависимых переменных может быть любого вида. Матрица дисперсий и ковариаций возмущающих переменных также может иметь любой вид:

V. Рекурсивная модель. Рекурсивная модель может быть представлена таким образом:

Она обладает следующими свойствами:

1. Соответствующим расположением эндогенных переменных и структурных уравнений можно добиться того, что в первом структурном уравнении будет только одна эндогенная переменная, а в последующих уравнениях будут каждый раз добавляться другие эндогенные переменные. Так, в (12.17) в первом уравнении содержится только во втором уравнении к добавляется другая эндогенная переменная в третьем уравнении — Таким расположением переменных добиваются в каждом структурном уравнении только односторонне направленных зависимостей между переменными. Так, в (12.17), например, зависит от но не оказывает влияния на так как переменная не включена в первое уравнение. Хотя в модели содержится несколько эндогенных переменных, мы не можем больше говорить о совместно зависимых переменных, так как они не являются теперь многосторонне зависимыми. Более того, они образуют одну причинную цепь.

В рекурсивной модели матрица А треугольная, на главной диаго нали которой элементы равны единице:

2. Матрица дисперсий и ковариаций возмущающих переменных является диагональной:

Возмущающие переменные различных уравнений в момент времени стохастически независимы друг от друга (некоррелированы).

3. Возмущающие переменные первого уравнения не автокоррелированы, т. е. для всех

Следующая система уравнений может быть использована в качестве иллюстрации рекурсивной модели

Эта модель состоит из двух стохастических уравнений и одного тождества. Она служит для объяснения потребления. В первом уравнении денежные доходы населения определяются в зависимости от произведенного национального дохода Денежные доходы во втором уравнении выступают как существенная определяющая величина личного потребления Другими существенными объясняющими переменными во втором уравнении являются личное потребление за предыдущий год численность населения и сбережения на конец предыдущего года Тождество служит для нахождения потребления по личному потреблению и общественным фондам потребления Переменные и К представляют собой эндогенные переменные модели. Экзогенные переменные вместе с лаговой эндогенной переменной и лаговой экзогенной переменной образуют

зуют класс предопределенных переменных модели. Представим модель (12.20) в общем виде, причем

Матрица А имеет вид:

и четко отражает причинную цепь между эндогенными переменными.

VI. Система независимых уравнений. Система независимых уравнений регрессии — частный случай рекурсивной модели, когда матрица А является единичной, В этом случае в каждом уравнении содержится только одна эндогенная переменная в качестве подлежащей объяснению, которая не зависит от эндогенных переменных других уравнений, и они не оказывают на нее влияния. Таким образом, каждое уравнение независимо от других. Структурная и приведенная формы такой модели совпадают.

Для иллюстрации модели этого вида приведем простой пример:

В первом уравнении оценивается численность работников пенсионного возраста по численности населения пенсионного возраста тех же лет и по той же лаговой переменной Второе уравнение определяет число учащихся в зависимости от уровня производительности труда за предыдущий год и доли учащихся относительно всего населения за предыдущий год Наконец, третье уравнение указывает число неработающих в трудоспособном возрасте в качестве функции от числа живорожденных так как речь идет прежде всего о женщинах. Эти три уравнения независимы друг от друга, поскольку в каждом из них мы имеем дело только с одной эндогенной переменной