12. ОДНОВРЕМЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ В РЕГРЕССИОННОМ АНАЛИЗЕ

12.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

До сих пор при изучении регрессии рассматривались односторонние стохастические причинные отношения между экономическими явлениями и процессами и нас интересовали методы оценивания одного уравнения:

При этом мы исходили из того, что переменная у объяснялась переменными и что объясняющие переменные в правой части уравнения (2.1) не находятся под влиянием переменной у. Это предположение нашло свое отражение в предпосылке 5 (см. раздел 2.9).

Однако в экономике редко можно встретить подобные односторонние стохастические причинные отношения. Чаще всего приходится иметь дело с описанием системы соотношений, так как она более адекватно отражает многосторонние реальные взаимоотношения между явлениями. Система уравнений, отражающих наличие одновременных экономических связей, называется системой одновременных уравнений.

Благодаря возникновению одновременных связей между экономическими явлениями выбор зависимой переменной в регрессии и тем самым направление минимизации возмущающей переменной (см. разделы 2.4, 2.5 и 2.7) до определенной степени произвольны. Это подтверждает необходимость наряду с исходным уравнением (2.1) указывать другие экономические соотношения в форме функции регрессии, чтобы вскрыть многосторонние связи между переменными, их взаимозависимость. В связи с этим возникает задача спецификации и оценивания не

одного уравнения регрессии, а целой системы. Такую систему уравнений регрессии мы будем называть эконометрической моделью. В литературе встречается также термин «регрессионная модель». В дальнейших наших рассуждениях мы будем предполагать, что между переменными эконометрической модели существуют линейные соотношения, т. е. будем рассматривать линейную регрессионную модель.

Обратимся вначале к простой модели, состоящей из двух уравнений

Первое уравнение отражает зависимость денежного обращения (В) от оборачиваемости денег и денежных доходов населения Во втором уравнении оборачиваемость денег определяется в виде функции от денежного обращения В и размера вклада в сберегательную кассу Между обеими зависимыми переменными — денежным обращением и оборачиваемостью денег — существуют одновременные соотношения, так как каждая из них в одном уравнении выступает как зависимая, а в другом уравнении — как объясняющая величина. Введем следующие обозначения: — денежное обращение; — оборачиваемость денег;

— фиктивная переменная при постоянной регрессии; — денежные доходы населения;

— размер вклада в сберегательную кассу. Так как мы договорились ограничиться рассмотрением линейных связей, получим регрессионные соотношения в общей форме:

Линейная эконометрическая модель состоит, таким образом, из определенного числа стохастических уравнений (уравнений регрессии). Они могут быть записаны так:

Первый индекс при параметре указывает номер уравнения, в которое он входит. Второй индекс параметра соответствует переменной, к которой

он относится. Можно легко убедиться, что каждое уравнение (12.3) представляет собой обобщение выражения (2.4). Причем через обозначены те переменные, которые должны быть объяснены с помощью модели. В общем в этих уравнениях причинно обусловленные соотношения между переменными больше не односторонние. Переменные как раз являются теми переменными, которые характеризуются односторонней причинной связью, т. е. они объясняют переменные но сами не объясняются ими. Ради простоты мы особо не выделяем искусственную (фиктивную) переменную, относя ее к классу объясняющих.

Эконометрическая модель в общем случае строится на основе временных рядов. Поэтому результаты наблюдений для переменных указываются через определенные интервалы времени (периоды ).

Запишем систему (12.3), состоящую из уравнений для текущего периода времени причем все переменные перенесем в левую часть уравнений:

Переходя к матричной форме записи системы уравнений (12.4), получим

Здесь — вектор-столбцы, содержащие соответственно элементов:

а А и В — матрицы порядка и состоящие из коэффициентов при текущих значениях переменных:

Если мы объединим вектор-столбцы по всем периодам то получим следующие матрицы значений переменных:

В итоге (12.5) для всех периодов времени можно записать в виде

Если эти рассуждения мы перенесем на наш пример (12.2), то получим Ьпхи

Вектор-столбцы значений переменных и матрицы коэффициентов при переменных примут вид:

Из приведенного примера видно, что не все переменные входят сразу во все уравнения. Для описания функционирования модели вводят обычно априорные ограничения на параметры. Это прежде всего так называемые нулевые ограничения, вызванные тем, что некоторые переменные не входят в определенные уравнения системы. Кроме того, на параметры модели накладываются общие линейные ограничения. Исключая некоторые переменные из определенных уравнений, мы добиваемся необходимой спецификации модели, так как в противном случае нельзя получить оценку модели и достичь ее адекватности изучаемому явлению.

Выражения (12.5) и (12.6) представляют собой систему одновременных уравнений, записанную в матричной форме. Одновременный характер модели очевиден: зависимая переменная одного уравнения выступает как объясняющая переменная в других уравнениях или объясняющие переменные в одном или нескольких уравнениях включены в другое уравнение системы как подлежащие объяснению, т. е. как зависимые. Отдельные уравнения модели не могут более рассматриваться изолированно друг от друга. К ним должны быть применены и особые приемы оценивания. В силу сказанного принятое нами ранее в регрессионном анализе разделение переменных на зависимую и объясняющие теряет смысл. В последующих разделах мы будем придерживаться другого разделения переменных, которое соответствует требованиям эконометрической модели.