5.3. МНОЖЕСТВЕННАЯ НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Несколько явлений могут быть соединены между собой нелиней ными соотношениями. В этом случае для описания зависимостей следует воспользоваться множественной нелинейной регрессией. Здесь также различают множественную нелинейную регрессию первого и второго классов. Все рассуждения, приведенные в разделе 5.1, относительно этой проблематики имеют силу и для данной регрессии.

Исходя из логических соображений процедура построения уравнения множественной нелинейной регрессии должна быть аналогична процедуре определения простой нелинейной регрессии. Рассмотрим следующий пример квазилинейной регрессии, ограничившись двумя объясняющими переменными:

Если профессионально-теоретический анализ экономического явления позволяет функции от объясняющих переменных представить в виде

и

то зависимость (5.30) выражается так:

Применяя метод наименьших квадратов, находят параметры Но в этом случае уравнение (5.33) можно относительно просто свести к линейному виду, обозначив Ограничившись только этим указанием, мы не будем записывать уравнение в линейной форме.

Из функций множественной нелинейной регрессии второго класса, которые допускают линеаризацию, представляют большой экономический интерес производственные функции. Понятие производственной функции трудно описать вербально. Производственные функции вначале использовались для исследования причинно-следственных отношений в производственной сфере. Затем они стали очень популярным средством анализа экономических явлений, что объясняется как простотой

стотой вида этих функций, так и широкими возможностями их применения в самых разных ситуациях.

Исторически первой производственной функцией явилась степенная функция Кобба—Дугласа

где у обозначает выпуск продукции, национальный доход и т. — влияющие факторы; — нормировочный множитель; коэффициенты эластичности. Если ограничиться рассмотрением товарной продукции затратами труда и основными фондами то (5.34) примет вид:

Логарифмируя обе части равенства, получим

Из (5.36) легко найти оценки параметров. Если вводится требование (линейная гомотетичность), т. е. то уравнение (5.35) приобретает вид:

Путем простого преобразования можно получить

Записывая (5.38) в логарифмическом виде и применяя формулы из раздела 2.4, находят

Далее был разработан класс линейно-гомотетичных функций: CES (Constant Elasticity of Substitution) — функция с постоянной эластичностью замены и VES (Variable Elasticity of Substitution) — функция с изменяющейся во времени эластичностью замены. Этот класс функций дает возможность моделировать изменение эластичности, замены факторов производства с изменением уровня выпуска:

Исходя из дифференциальных уравнений этих функций можно определить Но часто они устанавливаются в соответствии с экономии ческими требованиями, так что из уравнений (5.39) и (5.40), так же как из (5.38), находят только параметры регрессии и 62.

Наконец, укажем еще одну производственную функцию для описания научно-технического прогресса;

В этом соотношении научно-технический прогресс рассматривается как экспоненциальная функция от времени, показатель характеризует темп научно-технического прогресса. Насколько эта функция имеет экономическое содержание и соответствует эмпирическим данным, должно быть проверено обширными исследованиями. Вообще нужно отметить, что множественная нелинейная регрессия лучше отражает многообразие связей в экономике. Применение ЭВМ снимает все вычислительные проблемы, которые раньше были препятствием для создания нелинейных многофакторных моделей.