2.3. ПРОСТАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

Мы познакомились с двумя простыми приемами предварительного анализа зависимости между двумя переменными — диаграммой рассеяния и методом частных средних. Теперь перейдем к описанию простой линейной регрессии и выясним смысл отдельных составляющих функции регрессии.

Под простой регрессией мы понимаем одностороннюю стохастическую зависимость результативной переменной только от одной объясняющей переменной:

Если исходя из соображений профессионально-теоретического характера в сочетании с исследованием расположения точек на диаграмме рассеяния предполагается линейный характер зависимости усредненных значений результативной переменной, то эту зависимость выражают с помощью функции линейной регрессии. Формула (2.8) принимает в этом случае вид

Это общее уравнение для простой линейной регрессии, где -объясняющая переменная. Имеется наблюдений над этой переменной Неизвестные параметры регрессии подлежат оценке по определенной процедуре. Далее, не вводя дополнительных обозначений, мы будем называть их оценками параметров.

— постоянная регрессии. Ее можно представить в виде коэффициента при фиктивной переменной, принимающей для всех значение . Постоянная определяет точку пересечения прямой регрессии с осью ординат (рис. 11). Так как в соответствии с общим истолкованием уравнения регрессии является средним значением у в точке то отсюда видно, что экономическая интерпретация часто очень затруднительна или вообще невозможна. Например, если на основе опытных данных получено уравнение регрессии

определяющее зависимость объема производства от основных фондов (размерность обеих величин в 1000 марок), то интерпретация приведет к парадоксальному результату. А именно, при неиспользовании основных фондов объем производства составит марок. Теоретически должно быть в этом случае равным нулю или больше него. Но практически информация, содержащаяся в опытных данных, недостаточна, чтобы предотвратить такой парадоксальный вывод. Постоянная выполняет в уравнении регрессий функцию выравнивания. При этом следует подчеркнуть, что благодаря постоянной функция регрессии неошибочна. Уравнение регрессии интерпретируемо только в области скопления точек, а следовательно,

тельно, только между наименьшим и наибольшим наблюдаемыми значениями переменной х. Для большинства практических исследований величинами, представляющими интерес, являются и у, а не

Коэффициент называют коэффициентом регрессии. Он характеризует наклон прямой к оси Если через у обозначить угол, который прямая регрессии образует с осью абсцисс, то (см. рис. И). Коэффициент регрессии является мерой зависимости переменной у от переменной х или мерой влияния, оказываемого изменением переменной х на переменную у. Согласно уравнению указывает среднюю величину изменения переменной у при изменении объясняющей переменной х на одну единицу. Знак определяет направление этого изменения. При положительном коэффициенте регрессии мы располагаем положительной линейной регрессией, означающей поступательный характер изменения зависимой переменной при увеличении значений объясняющей переменной х. При отрицательном коэффициенте регрессии речь идет об отрицательной регрессии, при которой с увеличением значений х значения переменной у убывают. Параметры регрессии — не безразмерные величины. Постоянная уравнения регрессии имеет размерность переменной у. Размерность коэффициента регрессии представляет собой отношение размерности зависимой переменной к размерности объясняющей переменной. Здесь же отметим общий принцип, которого будем далее придерживаться. Функции, с помощью которых описывается зависимость между исследуемыми переменными, должны быть линейными относительно оцениваемых параметров. После получения численных оценок параметров может быть вычислено по уравнению регрессии для каждого значения независимой переменной значение

Рис. 11. Регрессионная прямая и ее параметры

Значения функции регрессии называются предсказанными или расчетными значениями переменной у для фиксированных х. При линейной функции совокупность предсказанных значений образует прямую регрессии. Как уже упоминалось, из-за искажающего влияния посторонних факторов-причин для каждого значения может наблюдаться несколько эмпирических значений т. е. каждому значению соответствует в статистическом смысле распределение вероятностей значений переменной у. Значения функции регрессии

являются таким образом оценками средних значений переменной у для каждого фиксированного значения переменной х.

Отсюда становится очевидной экономическая интерпретация

Значения регрессии указывают среднее значение зависимой переменной у при заданном объясняющей переменной х в предположении, что единственной причиной изменения переменной у является переменная а случайная возмущающая переменная и приняла значение, равное нулю. Разброс наблюдаемых значений переменной у вокруг обусловлен влиянием множества не поддающихся строгому учету и контролю причин. Разность между эмпирическим значением четным значением называемая также остатком, дает численную оценку значения возмущающей переменной и (см. рис. 11).

Таким образом, мы подошли к проблеме оценивания неизвестных параметров регрессии Различным значениям будут соответствовать различные линии. Из бесчисленного множества прямых, которые можно провести на плоскости, следует выбрать одну, наилучшим образом соответствующую опытным данным. Существует процедура расчета оценок параметров, основанная на некоторых предположениях. Изложением этой процедуры мы и займемся.