11. РЕГРЕССИЯ И КОРРЕЛЯЦИЯ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

11.1. МОДЕЛЬ РЕГРЕССИИ ВРЕМЕННОГО РЯДА

Взаимосвязанные явления могут рассматриваться в двух различных аспектах. Комплекс явлений может подвергаться изучению в один и тот же момент времени или за один и тот же промежуток времени в различных точках пространства. При построении статистических рядов для анализа явлений в этом случае не имеет значения, в какой последовательности возникли те или иные значения признака. До сих пор мы занимались изучением регрессии по результатам таких одновременных исследований. Примерами таких регрессий служат зависимость себестоимости от объема производства на нескольких предприятиях, зависимость производительности труда от уровня механизации работ и среднего возраста работников в различных цехах одного предприятия, зависимость товарной продукции от основных фондов за определенный промежуток времени в различных отраслях промышленности.

При изучении же развития комплекса явлений во времени последовательность возникновения значений признака приобретает существенное значение. По результатам наблюдений строятся хронологические ряды, называемые также рядами динамики или временными рядами. Для таких рядов разработаны особые приемы статистической обработки. По многомерным временным рядам строят регрессии. В качестве примера можно привести зависимость месячных производственных расходов от объема производства в течение двух лет для одного и того же предприятия. Методы, применяемые для анализа временных рядов, могут быть обобщены на случай исследования пространственных явлений, когда имеется более одного измерения, подобного времени.

Чисто формально регрессию временных рядов можно обсуждать в тех же терминах, что и регрессию статистических рядов, построенных по результатам одновременных наблюдений.

Линейная регрессия временных рядов может иметь, например, такое выражение:

Зависимая переменная у в определенный момент времени или за определенный промежуток времени принимает значение

где — значение зависимой переменной в определенный момент времени параметр регрессии объясняющей переменной он имеет такое же истолкование, что и обсуждавшиеся ранее параметры регрессии (см. разделы — значение объясняющей переменной в момент времени — значение регрессии в определенный момент времени — значение возмущающей переменной (остаток) в момент времени - число моментов наблюдений за исследуемый промежуток времени; -число объясняющих переменных; для всех

Уравнение регрессии строится с помощью метода наименьших квадратов (см. раздел 2.4), применение которого требует выполнения ряда предпосылок (см. раздел 2.9). В связи с этим при определении регрессии по временным рядам возникают некоторые затруднения.

Одной из проблем, в частности, является несовпадение во времени причины и следствия. При наличии некоторых сопутствующих переменных причинные переменные могут опережать, т. е. предшествовать следствию. Этот феномен довольно часто встречается во многих экономических ситуациях. Значения признаков экономических явлений, наблюдаемых в данный промежуток времени, представляют собой результаты причин, действующих не только в этот же промежуток времени, но и в предшествующий период. Интересующая нас переменная систематически связана с другими опережающими ее переменными, благодаря чему образуется круговая цепь причинности. Сдвиги в явлениях могут возникнуть из-за разного рода нарушений, имеющих субъективный характер, например из-за ошибок в наблюдениях, из-за вводимой корректировки статистической отчетности для получения сопоставимых промышленных показателей. Так, для сопоставимости выпуска продукции за календарные месяцы проводят корректировку путем приведения их к стандартному месяцу из 30 дней. Подобные сдвиги возникают при рассмотрении коротких промежутков времени (декада, месяц, квартал). Отставание значений одного статистического ряда относительно значений другого статистического ряда — независимо от того, по каким причинам это происходит, — называется лагом. Причинно обусловленные статистические ряды можно соотносить друг с другом и строить по ним регрессию с учетом поправки на величину лага. Если известно, что эффект от фактора возникает лишь через два последовательных промежутка времени наблюдений, то при построении регрессии значения одного из рядов сдвигаются на эти два промежутка.

Этот подход нужно использовать, например, при изучении зависимости между числом вступивших в брак и числом первенцев. Этот пример наглядно показывает, что значения обоих статистических рядов было бы бессмысленно рассматривать в один и тот же момент времени.

При построении регрессионных моделей часто приходится прибегать к включению в правую часть уравнений лаговых значений объясняющих переменных. Уравнение регрессии с учетом лаговых (запаздывающих) переменных записывается в виде

или, если обозначить лаг через

Объясняющие переменные могут иметь различный лаг. Кроме того, в некоторых случаях к лаговым значениям объясняющих переменных добавляются одно или несколько лаговых значений зависимой переменной. Например, если зависимая переменная в момент объясняется своими собственными значениями в предшествующий период, то модель может быть представлена в виде (см. главу 12):

При исследовании зависимостей между экономическими явлениями временные сдвиги взаимосвязанных значений статистических рядов большей частью неизвестны. Но если при построении регрессии не учитывать лаг, то вполне возможно, что вычисленные коэффициенты корреляции и регрессии будут содержать большие погрешности. Это в свою очередь приводит к ошибочным выводам. Разработаны различные процедуры определения длины лага, позволяющие при некоторых априорных предпосылках улучшить качество оценок параметров регрессии и повысить адекватность уравнения.

Другая проблема, возникающая при построении регрессии по временным рядам, связана с объемом наблюдений. При редких наблюдениях можно пропустить существенные особенности изучаемой тенденции. Увеличение же точек наблюдения обычно влечет за собой дополнительные расходы. Часто возможность выбора объема наблюдений вообще отсутствует. Особенно приходится с этим сталкиваться при исследовании временных рядов в экономике. Так, для многих отраслей народного хозяйства в ГДР мы располагаем данными для построения рядов динамики только начиная с 1950 или даже с 1960 г. Чем меньше объем наблюдений, тем менее надежны оценки параметров модели.

При изучении временных рядов исследователя подстерегает опасность столкнуться с ложной регрессией. По коэффициенту регрессии между временными рядами нельзя сразу делать вывод о причинно-следственных отношениях, так как явления развиваются во времени параллельно друг другу в одном и том же или в противоположных направлениях. Соответствие в изменениях может быть результатом простого сопутствия в развитии отражаемых в рядах явлений. Колеблемость чисел, составляющих динамический ряд, испытывает на себе

влияние фактора времени, а также фактора места, которые, внося скрывающийся за ними сложный комплекс причин, затемняют закономерный ход явления и его связи с другими явлениями. Так, имеется положительная регрессия между динамическими рядами количества онкологических заболеваний в год и числа выпускников школ за последние 30 лет. Тенденции развития обоих явлений связаны с непрерывным ростом численности населения. Логические рассуждения не дают нам оснований предполагать каких-либо причинных отношений между этими явлениями.

Как упоминалось ранее, одна из предпосылок применения методов корреляционного и регрессионного анализа — стохастическая независимость результатов наблюдений. В динамических рядах вследствие влияния фактора времени эта предпосылка часто не выполняется. Фактор времени, вмещая в себя многие другие факторы развития, вызывает направленные изменения социально-экономических и других явлений. Преобладающая тенденция изменения членов ряда, характеризующего данное явление, называется трендом. Следовательно, члены одного и того же ряда связаны между собой: предыдущие члены влияют на последующие. Этот факт называется автокорреляцией. Прежде чем находить количественную оценку связи между временными рядами, нужно проверить существование автокорреляции.

Тот факт, что мы особо подчеркиваем роль автокорреляции во временных рядах, вовсе не означает отсутствия автокорреляции в данных, полученных при одновременных обследованиях. Эта проблема характерна для любых ситуаций. Во временных рядах автокорреляция создает более серьезные трудности для применения обычного метода наименьших квадратов. Прежде чем перейти к более детальному изложению проблемы автокорреляции, уточним некоторые понятия. Так, при обсуждении регрессии и корреляции временных рядов будем различать связь между исходными переменными и связь между остатками (временные ряды исходных переменных и временной ряд возмущений). Вследствие этого будем рассматривать отдельно:

а) автокорреляцию переменных у и измерению автокорреляции переменных посвящен раздел 11.2;

б) автокорреляцию возмущений; этот вид автокорреляции создает дополнительные трудности при ее измерении, автокорреляция возмущений обсуждается в разделе 11.3.

Опыт показывает, что временной ряд удобно представлять в виде суммы нескольких компонентов. Наиболее важные из них — тренд и сезонная компонента. Ограничимся обсуждением влияния тренда на регрессию между двумя временными рядами. При этом будем предполагать, что явления, характеризующиеся временными рядами, причинно обусловлены. Тем самым мы исключаем из рассмотрения ложную регрессию. Но надо иметь в виду, что на практике эта проблема вызывает серьезные затруднения.

Относительно принципов построения регрессии между временными рядами пока еще не сложилось единого мнения. Одни ученые считают, что регрессия непосредственно между временными рядами с трендом возможна, если между ними существуют причинные отношения. Но в

этом случае неясно, почему из рядов динамики, а тем самым из регрессии, должен исключаться тренд. Разумеется, в противном случае нарушается предпосылка независимости значений. С этим нарушением, однако, приходится не считаться, если регрессия на основе тренда достаточно определена и по ней получают хорошие прогнозные значения. Другие считают, что регрессию между временными рядами следует находить после устранения тренда. Во-первых, этим достигается независимость наблюдений, во-вторых, уменьшаются или совсем исключаются возмущения. Если тренд не устраняется, то можно показать, что функция регрессии временных рядов может быть заменена функцией тренда. Тем самым учитывается только долгосрочное движение, обусловленное однообразно действующими приблизительно в одном и том же направлении силами. А сезонная и другие компоненты, вызывающие более или менее регулярные колебания относительно тренда, практически не принимаются во внимание. Очевидно, что оба мнения вполне обоснованы. Если задачей исследования является получение по возможности хороших прогнозных значений (это прежде всего необходимо при планировании), то при построении регрессии тренд не исключается. Если же хотят установить лишь общую закономерность между зависимой и объясняющими переменными, то тренд исключается.

Для устранения из временных рядов систематических элементов используются следующие подходы:

определение прироста переменных 1:

установление влияния лага на зависимую переменную:

Лаги переменных должны быть обоснованы причинно-следственными отношениями между экономическими явлениями. Далее можно зависимую переменную с лагом рассматривать как причинный фактор; использование значений освобожденных от тренда:

учет функции тренда при построении регрессии между временными рядами:

Возможны также другие подходы, позволяющие уменьшить действие автокорреляции временных рядов на регрессию и остатки. Это касается как квазилинейных, так и нелинейных регрессий. Более подробное изложение этих вопросов не допускает объем данной книги.