§ 44. Гироскопы

Гироскопом (или волчком) называется массивное симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии. Эту ось мы будем называть осью гироскопа. Ось гироскопа является одной из главных осей инерции. Поэтому, если она не поворачивается в пространстве, момент импульса равен где I — момент инерции относительно оси гироскопа. Допустим теперь, что ось гироскопа поворачивается с некоторой скоростью со. В этом случае результирующее вращение гироскопа происходит вокруг оси, не совпадающей с осью симметрии, и направление вектора М не совпадает с направлением оси гироскопа. Однако если скорость вращения оси со пренебрежимо мала по сравнению со скоростью собственного вращения гироскопами то можно приближенно считать вектор М равным и направленным вдоль оси гироскопа. При этом условии поворот вектора М и поворот оси гироскопа будут эквивалентными. В дальнейшем мы будем предполагать, что условие соблюдается.

При попытке вызвать поворот оси гироскопа наблюдается своеобразное явление, получившее название гироскопического эффекта: под действием сил, которые, казалось бы, должны были вызвать поворот оси гироскопа вокруг прямой (рис. 44.1), ось гироскопа поворачивается вокруг прямой (ось и прямая предполагаются лежащими в плоскости рисунка а прямая и силы перпендикулярными к этой плоскости).

Противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа оказывается полностью соответствующим законам динамики вращательного движения. В самом деле, момент сил направлен вдоль прямой . За время момент импульса гироскопа М получит приращение которое имеет такое же направление, как и N. Спустя время момент импульса гироскопа будет равен результирующей лежащей в плотности рисунка. Направление вектора М совпадает с новым направлением оси гироскопа. Таким образом, ось гироскопа повернется вокруг прямой на некоторый угол Из рис. 44.1 видно, что Отсюда следует, что поворот оси гироскопа в новое положение произошел с угловой скоростью Перепишем это соотношение в виде: Векторы и со взаимно перпендикулярны (вектор со направлен вдоль прямой на нас). Поэтому связь между ними можно записать в виде

Мы получили эту формулу для случая, когда векторы со и М взаимно перпендикулярны. Однако она справедлива и в самом общем случае. Как видно из рис. 44.2, при повороте оси гироскопа вокруг вектора со на угол вектор М получает приращение, модуль которого равен Вместе с тем . Таким образом, откуда . С помощью рис. 44.2 легко сообразить, что и в этом случае справедлива формула (44.1) (векторы лежат в плоскости рисунка, вектор направлен за чертеж и поэтому изображен кружком с крестиком). Напомним, что формула (44.1) справедлива лишь в том случае, если

Рис. 44.1.

Рис. 44.2.

При попытках вызвать поворот оси гироскопа заданным образом вследствие гироскопического эффекта возникают так называемые гироскопические силы, действующие на подшипники, в которых вращается ось гироскопа.

Например, при принудительном повороте оси гироскопа вокруг прямой (рис. 44.3) ось гироскопа стремится повернуться вокруг прямой Чтобы предотвратить это вращение, к оси гироскопа должны быть приложены действующие со стороны подшипников силы . По третьему закону Ньютона ось гироскопа будет действовать на подшипники с силами которые и являются гироскопическими силами. При принудительном повороте оси гироскопа с угловой скоростью и момент сил, с которыми подшипники действуют на ось, определяется формулой (44.1). Момент гироскопических сил, с которыми ось действует на подшипники, равен

Предположим, что ось гироскопа закреплена в кольце К, которое может свободно поворачиваться в обойме Об (рис. 44.4).

Рис. 44.3.

Рис. 44.4

Приведем обойму во вращение вокруг оси, лежащей в ее плоскости, с угловой скоростью . В этом случае, как мы выяснили, возникает действующий на кольцо момент гироскопических сил, определяемый формулой (44.2). Под действием этого момента кольцо будет поворачиваться в обойме в направлении, указанном стрелкой, до тех пор, пока ось гироскопа не установится в направлении оси вращения обоймы и момент (44.2) не станет равным нулю. При этом направление собственного вращения гироскопа и направление, в котором вращается обойма, совпадут. При М и и, направленных в противоположные стороны, момент (44.2) также равен нулю. Однако соответствующее положение оси гироскопа будет неустойчивым — при малейшем отклонении угла между от 180° появится момент N, который будет поворачивать ось до тех пор, пока этот угол не станет равным нулю.

Теперь допустим, что обойма поворачивается с угловой скоростью со вокруг оси, не лежащей в ее плоскости (рис. 44.5). В положении кольца, при котором момент импульса гироскопа М перпендикулярен к (рис. 44.5, а), вектор N имеет направление, показанное на рисунке. Составляющая этого вектора вызывает поворот кольца в обойме, в результате которого угол между векторами М и будет уменьшаться. Составляющая стремится перекосить кольцо относительно обоймы. Когда кольцо займет такое положение, при котором угол между векторами М и примет наименьшее возможное значение (рис. 44.5, б), составляющая станет равной нулю, так как в этом случае момент гироскопических сил N лежит в плоскости кольца; этот момент не может вызвать вращения кольца в обойме. Таким образом, под действием гироскопических сил кольцо занимает в обойме такое положение, при котором угол между осью гироскопа и осью вращения обоймы минимален.

Описанное поведение гироскопа положено в основу прибора, называемого гироскопическим компасом (гирокомпасом). Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Под влиянием суточного вращения Земли ось гирокомпаса устанавливается в такое положение, при котором угол между этой осью и осью вращения Земли будет минимальным (рис. 44.6). В этом положении ось гирокомпаса оказывается в меридиональной плоскости и, следовательно, указывает точно на север. Гироскопический компас выгодно отличается от компаса с магнитной стрелкой тем, что в его показания нет необходимости вносить поправки на так называемое магнитное склонение 1), а также не приходится принимать мер для компенсации воздействия на стрелку расположенных вблизи нее ферромагнитных предметов (например, стального корпуса корабля и т. п.).

Допустим, что ось гироскопа может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис. 44.7). Рассмотрим поведение такого гироскопа в поле сил тяжести.

Рис. 44.5.

Момент сил, приложенных к гироскопу, равен по величине

где — масса гироскопа, l — расстояние от точки О до центра масс гироскопа, а — угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Направлен вектор N перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа (на рис. 44.7 эта плоскость заштрихована).

Рис. 44.6.

Рис. 44.7.

Под действием момента сил N момент импульса М получит за время приращение перпендикулярное к вектору М. Изменение, которое претерпевает вектор М, получив приращение соответствует такому повороту оси гироскопа, при котором угол а не изменяется. Вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется при этом на угол На такой же угол повернется в горизонтальной плоскости вектор N. В результате спустя время будет иметь место такое же взаимное расположение векторов как и в начальный момент.

За последующий элемент времени вектор М получит снова приращение которое будет перпендикулярно к новому (возникшему после предшествующего элементарного поворота) направлению вектора М, и т. д. В итоге ось гироскопа будет поворачиваться вокруг вертикальной оси, проходящей через точку О, с угловой скоростью , описывая конус с углом раствора, равным (ср. с рис. 44.2). (При конус вырождается в плоскость.)

Вектор М при этом будет изменяться только по направлению, по величине он будет постоянным, так как элементарные приращения все время будут перпендикулярны к вектору

Итак, в поле сил тяжести ось гироскопа с неподвижной точкой поворачивается вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение гироскопа называется прецессией. Угловую скорость прецессии со можно найти, приняв во внимание, что согласно . Приравняв это значение выражению (44.3), получим, что , откуда

Из (44.4) следует, что скорость прецессии не зависит от угла наклона оси гироскопа по отношению к вертикали (от угла а).

Рис. 44.8.

Формулу (44.4) можно получить также следующим образом. Согласно рис. 44.7 угол на который повернется плоскость, проходящая через ось конуса и ось гироскопа, может быть представлен как отношение (начало вектора М предполагается помещенным в точку О):

Очевидно, что Разделив выражение (44.5) на придем к формуле (44.4).

Мы рассмотрели приближенную теорию гироскопа. Согласно строгой теории наряду с вращением оси вокруг вертикали происходят колебания оси в вертикальной плоскости, сопровождающиеся изменениями угла а в пределах от а до Эти колебания оси называются нутацией. В зависимости от начальных условий конец оси гироскопа вычерчивает на воображаемой сферической поверхности одну из изображенных на рис. 44.8 кривых.

Если, например, закрепив ось под углом привести гироскоп во вращение и затем освободить ось без толчка, ось сначала будет, поворачиваясь вокруг вертикали, опускаться. Достигнув угла ось станет подниматься, и т. д. (этот случай изображен на рис. 44.8, б).

Сообщив волчку начальный толчок вполне определенной величины и направления, можно добиться того, что ось гироскопа будет прецессировать без нутации. Такая прецессия называется регулярной. Чем быстрее вращается волчок, тем меньше амплитуда нутации. Кроме того, нутация погашается трением в опоре. Поэтому практически нутация часто бывает незаметной. Прецессия, которая является регулярной лишь приближенно, называется псевдорегулярной.

Если точку О поместить в центр масс гироскопа (см. рис. 44.7), момент силы тяжести станет равным нулю, и мы получим так называемый свободный симметричный волчок. В силу закона сохранения момент импульса такого волчка не будет изменяться ни по величине, ни по направлению. Если привести волчок во вращение вокруг оси симметрии, векторы М и <о будут иметь одинаковое направление, сохраняющееся неограниченно долго. Однако, если волчок будет приведен во вращение вокруг оси, не совпадающей ни с одной из его главных осей инерции, векторы не будут совпадать (рис. 44.9). Соответствующий расчет приводит к следующим результатам. Вектор со, оставаясь постоянным по величине, прецессирует вокруг направления вектора М, описывая конус. Одновременно прецессирует ось симметрии волчка , причем векторы и ось все время находятся в одной плоскости. Волчок вращается вокруг оси z с угловой скоростью где — проекция вектора М на ось z, — момент инерции волчка относительно этой оси. Угловая скорость прецессии равна где — одинаковое значение моментов инерции .

Рис. 44.9.