1.6. ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ РАСПОЗНАВАНИЯ ОБРАЗОВ

Завершим эту вводную главу описанием простой математической модели автоматического распознавания образов, иллюстрирующей ряд основных понятий. Простая схема распознавания содержит два основных блока: датчик и классификатор.

Датчик представляет собой устройство, преобразующее физические характеристики объекта, подлежащего распознаванию, в набор признаков , которые характеризуют данный объект. Классификатор представляет собойустроиство, относящее каждый поступающий на его вход допустимый набор значений к одному из конечного числа классов (категорий), вычислив множество значений решающих функций.

Считается, что система распознавания допускает ошибку в том случае, если она относит к классу объект, на самом деле принадлежащий отличному от классу. Считается, что система распознавания лучше системы распознавания если вероятность совершить ошибку для системы меньше, чем для системы Датчик выдает информацию в виде вектора где — число измеренных характеристик каждого физического объекта. Предполагается, что вектор измерений принадлежит одному из М классов образов .

Мы принимаем допущение о том, что априорные вероятности появления объектов каждого класса одинаковы, т. е. вектор может с равной вероятностью относиться как к одному, так и к другому классу. Пусть есть плотность распределения для вектора при условии, что он принадлежит классу . В таком случае вероятность того, что на самом деле вектор принадлежит классу определяется выражением

Вероятность того, что вектор не принадлежит классу определяется выражением

задающим вероятность ошибки.

Решающая функция представляет собой функцию относящую точно к одному из М заданных классов. Оптималь ной считается решающая функция которая дает наимень вероятность ошибки при всех допустимых значениях Значение при котором величина будет наименьшей, совпадает с тем значением которому соответствует наибольшее значение вероятности . Итак, оптимальная решающая

функция относит набор к классу , в том и только том случае, если выполняются неравенства

или

При оптимальная решающая функция может отнести вектор как к классу так и к классу . Для заданного значения классификатор определяет оптимальную решающую функцию.

Допустим, наконец, что измеренные значения распределены нормально и соответствующие ковариационные матрицы имеют вид

где — ковариация компонент вектора измерений — дисперсия компоненты вектора измерений Поскольку в случае нормального распределения имеем

где — вектор математического ожидания, отношение двух плотностей определяется выражением

Так как ковариационная матрица симметрична, данное отношение условных вероятностей сводится к следующему:

Введем величину

тогда получим выражения для разделяющей функции

Для определения оптимальной разделяющей функции следует вычислить значений функций для всех и выбрать наибольшее из полученных значений. Если окажется, что этот максимум равен то относим к классу . Схема оптимального распознавания, воспроизводящая описанный метод, приведена на рис. 1.18.

Рис. 1.18. (см. скан) Пример простой схемы распознавания образов.

Отметим, что уравнение

описывает гиперплоскость, проведенную в n-мерном пространстве и разделяющую его в случае наличия двух классов на две части:

Следовательно, уравнение определяет разделяющую поверхность для классов образов. В следующей главе проводится исчерпывающее рассмотрение решающих функций и разделяющих поверхностей.