2.5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА

В данном параграфе обсуждается ряд важных геометрических свойств линейных решающих функций. Отталкиваясь свойств гиперплоскостей, мы вводим понятие дихотомии образов как простой меры разделяющей мощности решающих функций. Далее это понятие используется в качестве определения дихотомизационной мощности.

2.5.1. Свойства гиперплоскостей

В задаче разделения на два класса, так же, как и на несколько классов (случаи 1 и 2, рассмотренные в § 2.2), поверхности, разделяющие эти классы, получаются в результате приравнивания решающих функций нулю. Другими словами, при рассмотрении двух классов разделяющая поверхность задается уравнением

В случае 1 граница, отделяющая класс , от всех остальных классов, определяется уравнением

Подобным же образом граница, разделяющая классы и в случае 2, определяется уравнением

В случае 3 из § 2.2 приравнивание нулю решающих функций по отдельности не позволяет получить разделяющую поверхность. Уравнение поверхности, обеспечивающей разделение классов , в общем виде задается так:

Рис. 2.6. Представление некоторых геометрических свойств гиперплоскостей

Уравнения (2.5.1) — (2.5.4) показывают, что соответствующие границы идентичны, отличаясь друг от друга лишь значениями коэффициентов. Поэтому в дальнейшем обсуждении нам удобно будет временно отказаться от нижних индексов и записывать уравнения разделяющих границ такого рода в общем виде:

где . Отметим, что вектор не был пополнен, поскольку, как мы убедимся ниже, коэффициенту принадлежит важная роль в геометрической интерпретации уравнения (2.5.5).

Известно, что уравнение (2.5.5) представляет прямую при и плоскость при при уравнение (2.5.5) определяет гиперплоскость. Поскольку в настоящей главе

(и в последующих) линейные разделяющие границы находятся в центре внимания, важно добиться полного понимания геометрических свойств гиперплоскостей.

Рассмотрим рис. 2.6, на котором «гиперплоскость» представлена схематически. Пусть — единичная положительно ориентированная нормаль, т. е. единичный вектор, нормальный к гиперплоскости в некоторой точке и направленный в сторону положительной зоны гиперплоскости. Из чисто геометрических соображений уравнение гиперплоскости можно записать в виде

или

Деление уравнения (2.5.5) на приводит к уравнению

Сопоставив уравнения (2.5.66) и (2.5.7), заключаем, что единичная нормаль к гиперплоскости задается как

Кроме того,

Сопоставление рис. 2.6 и соотношения (2.5.9) позволяет обнаружить, что абсолютное значение произведения характеризует расстояние по нормали от начала координат до гиперплоскости. Обозначив это расстояние через получим

Из рис. 2.6 видно также, что расстояние по нормали от гиперплоскости до произвольной точки определяется уравнением

Нормальный единичный вектор и характеризует ориентацию гиперплоскости. Если какая-либо из компонент вектора равна нулю, то гиперплоскость параллельна координатной оси, соответствующей этой компоненте. Итак, поскольку ,

по вектору можно нудить, параллельна ли данная гиперплоскость какой-либо из координатных осей. Из соотношения (2.5.10) видно также, что при гиперплоскость проходит через начало координат.