2.7.2. Построение функций многих переменных

Пусть нам задана полная система ортонормированных функций одной переменной на интервале . В таком случае полную систему ортонормированных функций двух переменных можно построить следующим образом (Курант и Гильберт [1955]):

Легко показать, что функции ортонормировании в квадрате т. е.

Отметим, что использованное выше правило построения сводится просто к выбору пар функций из множества функций одной переменной и перемножению их после соответствующей подстановки переменных . Порядок выбора функций одной переменной не имеет значения до тех пор, пока сохраняется порядок переменных, указанный в соотношениях (2.7.10).

При работе с функциями многих переменных удобно записывать условие ортонормированности в векторной форме:

где функции от переменных расшифровываются как , а знак обозначает кратный интеграл

Способ распространения описанной процедуры на обший случай переменных очевиден. Здесь требуется только составлять группы произведений из функций одной переменной, подставляя соответственно переменные Если исходные функции ортонормированны в интервале а то полученные в результате реализации этой процедуры функции переменных ортонормированны на гиперкубе . В частности, множество функций переменных при строится следующим образом:

где, как и выше, . В следующем пункте мы рассмотрим некоторые системы ортонормированных функций, представляющие интерес для распознавания образов.