2.3. ОБОБЩЕННЫЕ РЕШАЮЩИЕ ФУНКЦИИ

Нетрудно показать, что для классов, в состав которых не бходят идентичные векторы образов, можно всегда найти разделяющие границы. Сложность таких границ колеблется от линейных до сугубо нелинейных, для описания которых требуется очень большое количество членов. В прикладных задачах часто оказывается, что из-за экономических или технических затруднений классы в истинном смысле не разделимы и желательно найти приближения решающих функций. Один из удобных способов обобщить понятие линейной решающей функции состоит во введении решающих функций вида

где — действительные однозначные функции образа — число членов разложения. Соотношение (2.3.1) представляет бесконечное множество решающих функций, вид которых зависит от выбора функций и количества членов, использованных в разложении.

Несмотря на то обстоятельство, что формула (2.3.1) может задавать очень сложные решающие функции, применение соответствующего преобразования позволит работать с ними как

с линейными. Продемонстрируем этот прием, определив вектор компонентами которого являются функции

Используя (2.3.2), можно записать (2.3.1) как

где .

Функции после того, как их значения вычислены, представляют собой просто набор чисел, а вектор — обычный -мерный вектор, пополненный единицей, как это было описано в § 2.2. Итак, по отношению к новому представлению образов выражение (2.3.3) является линейной функцией. Очевидно, что преобразование всех исходных образов в образы посредством вычисления всех значений функций эффективно превращает нашу задачу в линейную. Смысл всего этого заключается в том, что все дальнейшее обсуждение можно без потери общности ограничить линейными решающими функциями. Любую решающую функцию вида (2.3.1) можно, воспользовавшись преобразованиями (2.3.2) и (2.3.3), превратить в линейную.

Все эти манипуляции имеют исключительно математический смысл. Никаких реальных изменений, как можно убедиться, сопоставив уравнения (2.3.1) — (2.3.3), не произошло. Если образы были -мерными, то преобразованные образы стали -мерными (не считая приписанной 1), причем К может оказаться существенно больше Таким образом, хотя в -мерном пространстве решающие функции можно считать линейными, в -мерном пространстве исходных образов они полностью сохраняют свой принципиально нелинейный характер.

Представление функций в виде многочленов — один из наиболее часто используемых способов задания обобщенных решающих функций. В простейшем случае эти функции линейные, т. е. если , то при и тогда решающая функция имеет вид .

Следующий уровень сложности соответствует функциям второго порядка (квадратичным). Если образы двумерные , а решающие функции представляются в виде

то линейное представление можно получить, задав .

Общий случай квадратичной функции получается аналогичным образом, т. е. посредством построения всех комбинаций компонент вектора образующих члены не выше второй степени; для n-мерных образов имеем

Первая из находящихся в правой части этого равенства функций насчитывает членов, вторая и третья . Следовательно, общее число членов равно что равно общему числу параметров (весов). Сопоставление соотношения (2.3.5) с общей формой задания (2.3.1) показывает, что члены из которых составляется решающая функция, имеют вид

Формула (2.3.6) подсказывает общую схему построения полиномиальных решающих функций конечного порядка. Для того чтобы получить полиномиальную функцию порядка следует задать функции

Поскольку эти функции представляют все степени, не превышающие полиномиальную решающую функцию можно задать рекуррентным соотношением

где указывает степень нелинейности . Это соотношение дает удобный способ формирования решающих функций произвольного конечного порядка.

Пример. В качестве простой иллюстрации применим (2.3.8) для получения квадратичной решающей функции, определяемой соотношением (2.3.4). В данном случае поэтому

где есть линейная решающая функция:

Выполнив суммирование, получим

что совпадает с (2.3.4). Функции высших порядков строятся точно таким же образом.

Как можно было бы предположить, число члейов, необходимое для представления полиномиальной решающей функции, быстро растет как функция от порядка и размерности Нетрудно показать, что в -мерном случае число коэффициентов для функции порядка определяется по формуле

где число сочетаний из по

Таблица 2.1. (см. скан) Количество членов разложения решающей функции в зависимости от ее порядка и размерности

В табл. 2.1 приведены величины для различных значений порядка решающей функции и размерности Следует отметить, что хотя быстро растет по мере увеличения нет необходимости всегда использовать все члены, определяющие общий вид разложения (2.3.8). Так, при построении решающей функции второго порядка можно отказаться от всех членов, линейных относительно компонент образа .

Задав

можно представить соотношение (2.3.5) в более компактном виде:

где

и

Свойства матрицы А определяют форму разделяющей границы. Если А — единичная матрица, решающая функция представляет собой гиперсферу. Если А — положительно определенная матрица, решающая функция представляет собой гиперэллипсоид, направление осей которого определяется собственными векторами матрицы А. Если А — положительно полуопределенная матрица, разделяющая граница представляет собой гиперэллипсоидальный цилиндр, поперечными сечениями которого являются гиперэллипсоиды низших порядков, причем направление их осей определяется собственными векторами матрицы А, соответствующими ненулевым характеристическим значениям. Если А — отрицательно определенная матрица, разделяющая граница представляет собой гипергиперболоид.

Существуют, естественно, и другие методы порождения решающих функций. Более подробно теоретические основы функций многих переменных и методы их построения будут рассмотрены в § 2.7.