4.5. ВАЖНОЕ СЕМЕЙСТВО ПЛОТНОСТЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Рассмотрим важное семейство плотностей распределения, задаваемое в общем виде соотношением

где — нормировочная постоянная, — действительная симметрическая и положительно определенная матрица весов, —

вектор средних значений и — размерность образа Эта плотность распределения интегрируема в пространстве образов Она обладает эллипсоидальной симметрией, так как контуры постоянной вероятности являются гиперэллипсоидами. Если матрица весов есть , где а — скалярная величина, единичная матрица, то — плотность распределения со сферической симметрией, которая определяется как

Плотность нормального распределения

принадлежит классу плотностей распределения (4.5.1). Сопоставление соответствующих выражений позволяет установить, что

Плотность распределения второго пирсоновского типа является симметрической функцией и определяется как в области

где

причем обозначает внутреннюю область гиперэллипсоида,

и Г — гамма-функция.

Матрица весов, входящая в (4.5.6), определяется формулой

где С—ковариационная матрица. Параметр определяет форму плотности распределения. При плотность распределения второго пирсоновского типа превращается в равномерную

плотность распределения, при она представляется обращенным гиперполуэллипсоидом, а при — обращенным гиперпараболоидом. При стремящемся к бесконечности, плотность распределения второго пирсоновского типа приближается к плотности нормального распределения.

Плотность распределения седьмого пирсоновского типа также относится к классу функций, описываемых выражением (4.5.1). Эта плотность имеет вид

Матрица весов определяется по формуле

В пределе при стремящемся к бесконечности, эта функция также обращается в плотность нормального распределения. На рис. 4.5 для сравнения приведены плотности одномерных нормальною и пирсоновских второго и седьмого типов распределений. Представленные на рисунке плотности нормированы с тем, чтобы обеспечить равенство максимальных значений.

Если плотности распределений образов, относящихся к двум классам, являются симметрическими многомерными и монотонно убывающими, можно показать, что байесовская граница, разделяющая эти два класса, является либо гиперплоскостью, либо гиперквадрикой в зависимости от характера матрицы весов. Этот факт был продемонстрирован для плотностей нормального распределения в § 4.3. Напомним, что там было показано, что ковариационная матрица определяет, является ли разделяющая граница для двух нормальных совокупностей типерквадрикой или гиперплоскостью. В следующем примере показано, как эти два типа разделяющих границ строятся в случае образов, характеризующихся пирсоновской плотностью распределения седьмого типа.

Рис. 4.5. Симметрические одномерные плотности распределения.

Пример. Пусть образы, принадлежащие классам и имеют пирсоновские плотности распределения седьмого типа с равными значениями параметра , т. е.

Требуется построить байесовскую разделяющую границу для этих двух классов.

Из (4.2.21) следует, что

Уравнение, определяющее разделяющую границу, имеет вид

откуда следует, что на границе должно выполняться условие

Допустив, что вероятности появления классов одинаковы, и подставив выражения, определяющие пирсоновские плотности распределения седьмого типа, в значения вероятности принадлежности образа соответствующим классам приходим к следующему соотношению:

или

Положив для простоты получаем уравнение разделяющей границы

очевидно, что эта разделяющая граница выражается квадратичной функцией.

Матрицы весов пропорциональны ковариационным матрицам соответственно, что следует из (4.5.10). Если

ковариационные матрицы равны, то данном случае

Однако, поскольку входящий в уравнение член не зависит от номера класса, его можно исключить из процесса принятия решения. При этом разделяющая граница примет более простой вид:

т. е. мы пришли к уравнению гиперплоскости. Как и в случае нормальных распределений образов, ковариационная матрица играет центральную роль в определении разделяющих границ при классификации образов, распределенных согласно седьмому пирсоновскому типу.