3.2.2. Множественность эталонов

Допустим, что каждый класс можно охарактеризовать не единственным, а несколькими эталонными образами, т. е. любой образ, принадлежащий классу проявляет тенденцию к группировке вокруг одного из эталонов где - количество эталонных образов, определяющих класс. В этом случае можно воспользоваться классификатором, подобным рассмотренному в предыдущем пункте. Запишем функцию, определяющую расстояние между произвольным образом и классом в виде

это означает, что наименьшее из расстояний от образа до каждого эталона класса Как и раньше, вычисляются значения расстояний и классифицируемый образ зачисляется в класс если условие справедливо для всех . В случае равенства расстояний решение принимается произвольным образом.

Следуя процедуре, рассмотренной в п. 3.2.1, получаем решающие функции

и, как и раньше, образ зачисляется в класс если условие справедливо для всех

На рис. 3.4 представлены разделяющие границы для случая двух классов, когда каждый класс имеет два эталона. Обратите внимание на то обстоятельство, что границы, разделяющие классы со, и являются кусочно-линейными Этот случай можно было бы интерпретировать как задачу о разбиении на четыре класса, каждый из которых обладает единственным эталоном, тогда участки границ представляют собой геометрические места точек, равноудаленных от прямых, соединяющих эталоны различных классов. Это утверждение согласуется со свойствами

разделяющих границ классификаторов для случая единственности эталонов, являющегося частным случаем соотношений (3.2.6) и (3.2.7).

Рис. 3.4. Кусочно-линейные границы, разделяющие два класса, каждый из которых определяется двумя эталонами.

Точно так же, как выражение (3.2.3) представляло частный случай линейного классификатора, выражение (3.2.7) является частным случаем классификаторов более общего вида — кусочно-линейных. Решающие функции таких классификаторов имеют следующий вид:

где функция определяется выражением

В огличие от решающих функций, определяемых формулой (3.2.7), от этих решающих функций не требуется соответствия форме, представленной на рис. 3.4.

Читатель должен вспомнить, что, как указывалось в гл. 2, одной из основных проблем синтеза классификаторов образов является задача определения параметров решающей функции.

Выше отмечалось, что известны универсальные итеративные алгоритмы, которые можно использовать для определения параметров линейной решающей функции (они рассматриваются в гл. 5 и 6). К сожалению, до сих пор не известен действительно общий алгоритм для кусочно-линейного случая (3.2.8), (3.2.9). Заметим, однако, что частные случаи (3.2.6) и (3.2.7) реализуются легко, если классы обладают относительно небольшим числом эталонов.