7.2. РАССТОЯНИЯ
Расстояния играют фундаментальную роль при обработке информации, заключенной в образе. Данный параграф посвящен обсуждению расстояний, используемых при предварительной обработке и выделении признаков. Рассмотрение начинается с расстояний, разделяющих отдельные точки, а затем путем обобщения соответствующих понятий вводятся расстояния между точкой и множеством и расстояния между множествами.
(а) Расстояние между точками
В 
-мерном евклидовом пространстве расстояние между двумя точками а и b определяется как
где а и b суть n-мерные векторы, k-e компоненты которых равны 
соответственно.
(б) Расстояние между точкой и множеством
Расстояние между точкой, соответствующей образу 
и множеством точек, соответствующих образам 
представляющих класс К образов, определяется как среднеквадратичное расстояние между х и К элементами множества 
. Квадрат
расстояния между точками х и 
равен
В таком случае среднеквадратичное расстояние определяется как
(в) Внутримножественное расстояние
Расстояние внутри множества точек, соответствующих образам 
определяется как
Из (7.2.2) имеем
Частное среднее для фиксированной точки а и точек а, соответствующих всем 
оставшимся точкам множества 
определяется по формуле (7.2.3) подстановкой вместо 
точки 
. Следовательно,
Отметим, что при 
соответствующее слагаемое равно нулю и его можно безболезненно исключить. Выражение содержит К членов, однако только 
из них отличны от нуля.
Аналогично определяем среднее по всем К точкам множества 
что позволяет представить внутримножественное расстояние как
Внутримножественное расстояние можно выразить также через дисперсии значений компонент точек, представляющих образы.
(кликните для просмотра скана)
Следовательно, используя несмещенную оценку выборочной дисперсии, получаем выражение для внутримножественного расстояния
Это расстояние будет использоваться в следующих разделах при изучении преобразования кластеризации и упорядочения признаков.
(г) Расстояние между множествами
Расстояние между множествами 
состоящих из 
выборочных образов соответственно, определяется как
Это выражение, однако, не так уж легко свести к простому замкнутому виду, используя статистические характеристики. Другой способ измерения расстояний между множествами связан с использованием расстояния между центроидами двух рассматриваемых множеств или расстояния Махаланобнса, о котором шла речь в гл. 4.
