2.7. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функции многих переменных играют важнейшую роль в изучении и построении систем распознавания образов. Задача этого параграфа — дать краткие теоретические сведения об этих функциях и их построении. Дальнейшее обсуждение на первом этапе ограничивается функциями одной переменной, а затем полученные результаты распространяются на случай многих переменных.

2.7.1. Определения

Скалярное произведение двух функций в интервале определяется как

Скалярное произведение функции на себя, называемое нормой функции вводится как

Функция, норма которой равна единице, называется нормированной. Нормировка легко достигается делением функции квадратный корень ее нормы.

Две функции ортогональны относительно весовой функции в интервале если

Несколько примеров ортогональных функций будет приведено в п. 2.7.3.

Система функций каждая пара которых ортогональна в интервале называется ортогональной системой. Для этой системы функций имеют место обычные условия ортогональности:

где

— коэффициент, зависящий от параметров и Поскольку правая часть уравнения (2.7.4) всегда равна нулю, за исключением случая коэффициент записывают просто в виде или . При для всех значений система функций называется ортонормированной системой, а соответствующие условия ортонормированности задаются следующим образом:

При работе с ортонормированными функциями принято использовать форму записи, при которой весовая функция входит в ортонормированные; при этом условии (2.7.6а) можно представить в виде

Функции в (2.7.6б) представляют собой выражения из (2.7.6а) соответственно. При использовании записи (2.7.6б) следует следить за тем, чтобы квадратный корень от весовой функции был введен в каждую ортонормированную функцию. Очевидно, что соотношения (2.7.4) также можно записать в таком упрощенном виде, введя весовую функцию в ортогональные.

Если система функций ортогональна в интервале то для получения в этом же интервале ортонормированной системы фуикций можно воспользоваться соотношением

где коэффициент определяется из (2.7 4) при , т. е.

Нетрудно показать, что функции ортонормированны, так как

последнее преобразование определяется обстоятельством, что функции ортогональны.

Множество функций называется линейно независимым, если не существует коэффициентов не всех равных нулю и таких, что уравнение

справедливо для всех Все функции, образующие ортогональную систему, линейно независимы.

И наконец, система функций называется полной, если любую кусочно-непрерывную функцию можно в среднем сколь угодно точно аппроксимировать с помощью линейной комбинации функций, входящих в данную систему. Этому условию удовлетворяют все функции, рассматриваемые нами ниже.