2.7.3. Ортогональные и ортонормированные системы функций

В этом пункте обратимся к полиномиальным ортогональным и ортонормированным функциям. Использование в распознавании таких функций объясняется двумя причинами. Во-первых, их легко воспроизводить. Во-вторых, они удовлетворяют условиям теоремы Вейсрштрасса о приближении, которая утверждает, что любую функцию, непрерывную в замкнутом интервале можно равномерно аппроксимировать на этом интервале с любой заданной точностью некоторым многочленом.

Многочлены Лежандра

Ортогональные полиномиальные функции Лежандра можно получить, воспользовавшись следующим рекуррентным соотношением:

где . Эти функции ортогональны в интервале .

Приведем несколько первых многочленов Лежандра:

где функции заданы, а функции получены по формуле (2.7.14). Эти функции ортогональны относительно весовой функции Для того чтобы получить ортонормированную систему, воспользуемся уравнением (2.7.8) в следующем виде:

Можно показать с помощью ряда алгебраических преобразований (см. Курант и Гильберт [1951]), что

Следовательно, задавая и используя (2.7.7), можно получать ортонормиропанные многочлены Лежандра:

Многочлены Лаггера

Для получения многочленов Лагерра можно воспользоваться рекуррентным соотношением

где . Эти многочлены ортогональны относительно весовой функции в интервале . Приведем несколько первых многочленов Лагерра:

где функции заданы, а остальные получены по формуле (2.7.16),

Определив коэффициент согласно (2.7.8) и подставив его в соотношение (2.7.7) при можно показать, что ортонормированные многочлены Лагерра определяются следующим соотношением:

Многочлены Эрмита

Для получения многочленов Эрмита используется рекуррентное соотношение

где . Эти функции ортогональны относительно весовой функции причем интервал ортогональности составляет это обстоятельство делает использование таких функций чрезвычайно удобным, поскольку освобождает нас от забот относительно диапазона изменения переменных.

Приведем несколько первых многочленов Эрмита:

где функции заданы, а остальные определяются по формуле (2.7.18).

Определив коэффициент согласно (2.7.8) и подставив его в соотношение (2.7.7), можно показать, что ортонормированные многочлены Эрмита определяются следующим соотношением:

Пример. Построение функций многих переменных с помощью рассмотренных выше многочленов не вызывает каких-либо затруднений. Пусть, например, требуется сформировать пять ортогональных функций Лежандра от трех переменных. На основа изложенного в п. 2.7.2 имеем:

где . Естественно, что для построения этих пяти функций можно было бы выбрать множество иных комбинаций.

Рассмотренные выше системы функций часто будут использоваться в качестве основы для обобщения решающих функций, подобно описанному в § 2.3. Если задано множество, состоящее из ортонормированных функций , то множество решающих функций можно представить в виде линейной комбинации функций с неизвестными коэффициентами, т. е.

Каждая ортонормированная функция связана с соответствующей ортогональной функцией весовой функцией и коэффициентами определяемыми соотношением (2.7.7) для случая одной переменной. Пусть, в частности, функция образуется из ортонормированных функций одной переменной следующим образом:

Воспользовавшись формулой (2.7.7), приходим к следующему выражению для

где . Изучение этого выражения показывает, что член присутствует во всех функциях Если записать (2.7.20) с помощью ортогональных функций, то из проведенного анализа следует, что

причем коэффициенты вошли в коэффициенты Так как коэффициент положителен и он присутствует в выражениях для всех решающих функций его можно исключить, что никак не отразится на принципиальных классификационных качествах этих решающих функций. В таком случае имеем

Сопоставление выражений (2.7.20) и (2.7.22) показывает, что различие, вызванное использованием ортонормированных или ортогональных функций для разложения решающих функций, отражено в коэффициентах. Поскольку, однако, эти коэффициенты неизвестны и должны определяться из условий конкретной задачи, во многих случаях можно пользоваться ортогональными и ортонормироваиными функциями «попеременно» без всякого вреда для качества классификации. При решении численных задач мы будем пользоваться ортогональными функциями, поскольку их проще вычислять. Читатель должен хорошо сознавать, что проведенный анализ относится только к функциям, используемым для принятия решения. Фундаментальные различия, существующие между этими двумя типами функций, должны четко прослеживаться в теоретических исследованиях.