2.5.3. Дихотомизационная мощность обобщенных решающих функций

Рассмотрим обобщенные решающие функции в виде (2.3.1), определяемые регулируемыми весами (параметрами). При задании преобразованных образов с хорошим размещением существует дихотомий, из которых линейно реализуемы относительно полученного -мерного пространства образов Вероятность того, что вариант дихотомии, выбранный случайным образом, окажется линейно реализуемым, определяется формулой

Иначе говоря, если число образов меньше или равно К, мы утверждаем, что независимо от способа группировки заданных

образов они будут линейно разделимы в -мерном пространстве образов.

Вероятность к линейной реализуемости обладает еще рядом интересных свойств. При обсуждении последних удобно положить и построить график зависимости от параметра X. Очевидно, К всегда можно выбрать так, чтобы независимо от размерности К пространства образов было равно количеству образов N. График зависимости от параметра приведен на рис. 2.8. Обратите внимание на возникновение порогового эффекта при для больших значений К. Следует также отметить, что для всех значений размерности К пространства образов.

Рис. 2.8. Зависимость вероятности линейной реализуемости случайным образом выбранной дихотомии к от параметра различных значениях размерности пространства преобразованных образоы

Внимательное изучение порогового эффекта при показывает, что при больших значениях К возможность полной классификации хорошо размещенных образов с помощью обобщенной решающей функции, характеризующейся параметрами, практически гарантирована. С другой стороны, если число образов больше очевидно, что вероятность реализации дихотомического разбиения резко падает для больших значений размерности К.

Проведенный анализ подводит нас к определению дихотомизационной мощности обобщенной решающей функции в виде

Мы видим, что так определенная мощность равна удвоенному числу степеней свободы (регулируемых параметров) обобщенных решающих функций (2.3.1). Это понятие будет снова

использовано в гл. 5 в связи с обсуждением свойств ряда важных детерминистских алгоритмов.

Приведем для сравнения значения дихотомизационной мощности некоторых решающих функций при разделении n-мерных образов.