4.6.2. Оценка вектора средних значений и ковариационной матрицы

В § 4.5 было показано, что ряд представляющих определенный интерес плотностей распределений, к которым, в частности, относится плотность нормального распределения, полностью определяются своими векторами средних значений и ковариационными матрицами. Если тип плотности распределения определяется набором параметров, то соответствующую задачу оценки называют параметрической оценкой. В статистической литературе этой теме уделяется очень много внимания, поэтому здесь мы коснемся ее только в той мере, насколько это необходимо для рассмотрения методов оценки вектора средних значений и ковариационной матрицы, характеризующих неко-. торую совокупность образов.

Пусть совокупность образов описывается плотностью распределения . Вектор средних значений для этой совокупности определяется как

где .

Если аппроксимировать математическое ожидание выборочным средним значением, то вектор средних значений можно записать как

где — объем выборки.

Соответствующая ковариационная матрица определяется как

где элементы матрицы С заданы следующим образом:

где суть 1-е и k-e компоненты векторов образов и средних значений m соответственно. Матрицу ковариацин можно представить в векторной форме

Аппроксимировав снова математическое ожидание выборочным средним значением, получаем

Известно (Андерсон что при и выборке из совокупности нормально распределенных образов оценка матрицы С, определяемая (4.6.11), с вероятностью 1 обладает обратной матрицей

Оценки вектора средних значений и ковариационной матрицы можно задать рекуррентными соотношениями. Допустим,

что необходимо скорректировать оценку вектора средних значений, вычисленную по выборке объема с учетом появления еще одного объекта. Обозначив новую оценку через записываем

где — оценка, полученная по выборочным объектам. На начальном шаге процедуры Полученное рекуррентное соотношение можно использовать как для вычисления, так и для коррекции значений вектора средних.

Аналогичное выражение можно получить и для ковариационной матрицы. Пусть представляет собой оценку ковариационной матрицы, вычисленную по выборочным объектам:

Пополнение выборки одним объектом приводит к следующему;

Это выражение обеспечивает удобный способ оценки и коррекции ковариационной матрицы, причем на первом шаге . Анализ этого условия показывает, что , т. е. это нулевая матрица.