Каждое из уравнений Лагранжа есть уравнение второго порядка. Во многих случаях, особенно при общих рассуждениях, выгодно заменять их вдвое большим числом диференциальных уравнений первого порядка. Простейший путь состоит в том, что заменяют \( \dot{q}_{k}=s_{k} \) и, прибавляя это диференциальное уравнение, считают \( s_{k} \) наряду с \( q_{k} \) неизвестной функцией. Очень симметричная формулировка получается следующим путем:
Вводят вместо \( \dot{q}_{k} \) новые переменные
\[
p_{k}=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}},
\]

называемые импульсами.
Уравнения Лагранжа (9) §4 теперь будут иметь следующий вид:
\[
\dot{p}_{k}=\frac{\partial L}{\partial q_{k}},
\]

где \( L \) все же рассматривается, как функция \( q_{k} \) и \( \dot{q}_{i} \).

Если вместо функции \( L\left(q_{1} \dot{q}_{1} \ldots t\right) \) ввести новую функцию \( H\left(q_{1} p_{1} \ldots t\right) \) способом преобразования Л е жандр а \( { }^{1} \), то решение уравнения (1) в форме (2) будет:
\[
H=\sum_{h} \dot{q}_{k} p_{k}-L .
\]

Образуем полный диференциал
\[
d H=\sum \dot{q}_{k} d p_{k}+\sum_{k} p_{k} d \dot{q}_{k}-\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial q_{k}} d q_{k}-\sum_{k} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_{k}} d \dot{q}_{k}-\frac{\partial L}{\partial t} d t .
\]

Члены, имеющие \( d \dot{q}_{k} \), уничтожаются благодаря (1).
Для частных производных \( H\left(q_{1} p_{1} \ldots t\right) \) по \( p_{k} \) и \( q_{k} \) получаем поэтому
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{k}}=\dot{q}_{k}
\]
\[
\left(\frac{\partial H}{\partial q_{k}}\right)_{p}=-\left(\frac{\partial L}{\partial q_{k}}\right)_{\dot{q}}
\]

При этом индексы \( p \) и \( \dot{q} \) обозначают, какие из переменных должны быть независимы.

Теперь можно (2) и решение (4) с помощью новых переменных написать в форме
\[
\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}
\]
\[
\dot{p}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}} .
\]

Это так называемая каноническая форма уравнений движения. \( H\left(q_{1}, p_{1}, q_{2}, p_{2}, \ldots t\right) \) называется функцией Гамильтона. Переменные \( q_{k} \) и \( p_{k} \) называются канонически сопряженным друг другу. Эти же уравнения получатся, если выразить в вариационном принципе (2) § 4 с помошью уравнения (3) функцию \( L \) через функцию \( H \).
Тогда получим
\[
\int_{t_{1}}^{t_{3}}\left[\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}-H\left(q_{1}, p_{1} \ldots t\right)\right] d t=\text { экстремум. }
\]
1 Преобразование Лежавдра, вообще говоря, переводит какую-либо функцию \( f(x y) \) в некоторую функцию \( g(x, z) \), где \( z=\frac{\partial f}{\partial y} \), производя это таким образом, что производная от \( g \) по новой переменной \( z \) равна старой переменной \( y \). Такие преобразования в физике играют большую роль. Напр., в термодинамике энергия относится так к свободной эиергин, как какая-либо функция к функции преобразования Ле жандра.

\( q_{k} \) и \( p_{k} \) рассматриваем здесь, как функции, подлежащие определению. Легко видеть, что уравнения Лагранжа по смыслу совпадают с (5), причем нужно обращать внимание на то, чтобы. производные от \( p_{k} \) не входили явно в подинтегральные выражения. На этом основании для моментов времени \( t_{1} \) и \( t_{2} \) задаются граничные условия, содержащие лишь значения \( q_{k} \) (но не \( p_{k} \) ). Те же условия имеют место и тогда, когда функция \( L \), a, следовательно, и \( H \) зависят явно от времени.

Эта зависимоєть наступает тогда, когда система находится под внешним воздействием, зависящим от времени ( \( U \) зависит от \( t \) ) или в том случае, если дла описания движения замкнутой системы пользуются системой координат, совершающей неравномерное движение. Если же \( H \) не содержит явно времени, то имеет место
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{k}\left[\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k}+\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \dot{p}_{k}\right] .
\]

Выражая \( \dot{q}_{k} \) и \( \dot{p}_{k} \) с помощью уравнений движения (5), находим первый интеграл ураєнений двшжения (5), т. е.
\[
H\left(p_{1} q_{1} \ldots\right)=\text { const (ибо } \frac{d H}{d t}=0 \text { ). }
\]

Зададимся теперь вопросом о механическом значении величины \( H \) и рассмотрим случай классической! (не релятивистской) механики. В любых покоющихся системах координат кинетическая энергия является функцией второй степени скоростей; в движущихся координатных системах могут прибавиться к этому еще свободные от \( \dot{q}_{k} \) члены, в результатё чего кинетическая энергия запишется:
\[
T=T_{0}+T_{1}+T_{2} .
\]

При этом \( T_{n} \) представляет функцию \( n \)-ой степени от \( \dot{q}_{k} \), произвольно зависящей от \( q_{k} \).
По теореме Эйлера
\[
n T_{n}=\sum_{k} \frac{\partial T_{n}}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}
\]

так что
\[
\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}=\sum_{k} \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{k}} \dot{q}_{k}=T_{1}+2 T_{2} .
\]

Предположим, что существует потенциальная энергия; тогда
\[
L=T-U, \text { и } H=T_{1}+2 T_{2}-\left(T_{0}+T_{1}+T_{2}\right)+U=-T_{0}+T_{2}+U .
\]

В случае покоящейся координатной системы \( \left(T=T_{2}\right) \)
\[
H=T+U
\]

есть общая энергия.

Если же в \( H \) время входит неявно, то (9) дает совместно с уравнением (7) закон сохранения энергии.

В движущихся координатных системах может случиться, что \( H \) не будет зависеть от времени, тогда \( H= \) const есть интеграл, но не интеграл энергии.

Пример. Рассмотрим координатную систему ( \( \xi, \eta \) ), вращающуюся с угловою скоростью \( \omega \), переход к которой от покоящейся системы \( (x, y) \) производится следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
x=\xi \cos \omega t-\eta \sin \omega t \\
y=\xi \sin \omega t+\eta \cos \omega t \\
z=\zeta .
\end{array}
\]

В результате (отбросив индексы этого преобразования) кинетическая әнергия изобразится в виде:
\[
T=\sum \frac{m}{2}\left[\omega^{2}\left(\xi^{2}+\eta^{2}\right)+2 \omega(\dot{\xi} \dot{\eta}-\dot{\xi})+\dot{\xi}^{2}+\dot{\eta}^{2}+\dot{\zeta}^{2}\right] .
\]

Импульсы, соответствующие координатам \( \xi, \zeta \) и \( \eta_{i} \), будут
\[
\begin{array}{l}
p_{\xi}=m(\dot{\xi}-\omega \eta) \\
p_{\eta}=m(\dot{\eta}-\omega \xi) \\
p_{\xi}=m \dot{\zeta}
\end{array}
\]

На основании этого мы можем кинетическую энергию записать в следующем виде:
\[
T=\sum \frac{1}{2 m}\left(p_{\xi}^{2}+p_{\eta}^{2}+p_{\vartheta}^{2}\right) .
\]

Для \( H \) получим
\[
H=\Sigma\left[\dot{\xi} p_{\xi}+\ddot{\eta} p_{\eta}+\dot{\zeta} p_{\zeta}-\frac{1}{2 m}\left(p_{\xi}^{2}+p_{\eta}^{2}+p_{\eta}^{2}\right)\right]+U
\]

ияи
\[
H=\Sigma\left[\omega\left(\eta_{\xi}-\xi p_{\eta}\right)+\frac{1}{2 m}\left(p_{\xi}^{2}+p_{\eta}^{2}+p_{\xi}^{2}\right)\right]+U .
\]

Если \( U \) относительно оси \( z \) обладает симметрией, то \( H \) не содержит явно времени и поэтому постоянно.
\( H= \) const называют интегралом Якоби, который, однако, отличается от такой же постоянной энергии
\[
E=T+U=\sum \frac{1}{2 m}\left(p_{\xi}^{2}+p_{\eta}^{2}+p_{\zeta}^{2}\right)+U .
\]

Нз обоих интегралов вытекает
\[
E-H=\text { const, что дает теорему площадей, }
\]

а именно:
\[
E-H=\omega \cdot \Sigma\left(\xi p_{\eta}-\eta_{i} p_{\xi}\right)=\omega \cdot \Sigma m(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})+\omega^{2} \Sigma m\left(\xi^{2}+\eta_{\eta}^{2}\right) .
\]

Возвращаясь вновъ к координатам \( x \) и \( y \), имеем
\[
E-H=\omega \Sigma m(x \dot{y}-y \dot{x}) .
\]

Принимая во внимание принципы относительной механики, из
(4) и (5) \( \S 4 \) для материальной точки имеем

поэтому
\[
L=T^{*}-U=m_{0} a^{2}\left[1-\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right]-U
\]
\[
p_{x}=\frac{m_{0} \dot{x}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}
\]

и
\[
H=\dot{x} p_{x}+\dot{y} p_{y}+\dot{z} p_{z}-L=m_{0} c^{2}\left[\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1\right]+U=T+U,
\]
т. е. \( Н \) и в данном случае является общей энергией. Результат не зависит от системы координат до тех пор, пока она не движется.