После того, как мы подробно рассмотрели механику периодических систем с одной степенью свободы, перейдем к вопросу о том, каким образом можно применить механические законы к атомной механике, главной особенностью которой является существование дискретных стационарных состояний. Приближенной картиной этого служит здесь по Планку простой линейный гармонический осциллятор (см. §1).

Стационарные состояния в этом случае устанавливаются так, что энергия имеет лишь дискретные значения
\[
W=n \cdot
u h \quad(n=0,1,2, \cdots)
\]

Теперь речь идет о том, можно ли поступать таким же образом в случае любых периодических систем с одной степенью свободы. В развитии атомной механики современная точка зрения придерживается классической механики, которая в применении к большему кругу явлений сыграла громадную роль. Так, осциллятор Планка основан на представлении о том, что движение колеблющейся частички происходит по классическим законам; хогя не все движения с произвольными начальными состояниями (значениями энергии) рассматриваются равноправными в этом отношении, но некоторые известные движения, задающиеся значением энергии по (1), при взаимодействии с излучением исключаются из этого правила благодаря особенной \”устойчивости\”.

Стремление охватить классической механикой по возможности более широкий круг явлений оказалось плодотворным. Исходя из этого, во главе всех наших рассуждений мы ставим требование делать вычисления стационарных состояний атомнои системы, сохраняя, по возможности, шире законы классической механики, причем классическое излучение совершенно отбросим.

Для выполнения этого требования необходимо, чтобы движение происходило так, чтобы о нем можно было говорить, как о „состоянии“. системы.
\”Этот случай не имеет\” места, например, когда траектория уходит в бесконечность или приближается асимптотически к предельной кривой; но при периодическом движении можно смело говорить, что система пребывает в определенном состоянии. Ниже мы увидим, что существует большой класс многопериодических движений, для которых это соображение сохраняет силу. \( G \) другой стороны развитие квантовой теории показало, что этим исчерпівается круг таких процессов движения для стационарных состояний, в которых можно еще ожидать сохранения классической механики; в этом томе мы будем придерживаться гоаниц этого курса.

Следующий ближайший вопрос заключается в отыскив ании условий, при которых возможно выделение стационарных движений из континуума разновидностей механических движений.

Попробуем сперва дать ответ для случая периодической системы с одной степенью свободы.

На первый взгляд здесь необходимо было бы применить просто формулы (1), выведенные для осциллятора, и так как \(
u \), вообще говоря, является функцией \( W \), нужно было бы для определения \( W \) решить трансцендентное уразнение. Но этот метод необходимо отбросить, ибо он ведет в некоторых случаях к противоречию с опытом (например, при двухатомных молекулах, атомы которых связаны между собой агармонически) и теоретически оказывается невыдержанным (см. § 12).

Квантовые условия, благодаря которым выделяются стационарные пути движений, можно свести к такой форме, в которой некоторая известная определенная механически величина будет являться целым кратным числсм планковой постоянной.
В случае осциллятора это есть частное \( \frac{W}{
u} \). Вопрос состоит определении величин, которые выступают при исследовании р угих систем, на место этой величины. С этой целью исследуем с ловия, которым должна удовлетворять такая „квантующая “ е личина. В первую очередь она должна быть определена сднозначчо и не зависеть от системы координат. Поэтому выбор ее был бы ограничен очень незначительно и, если бы не было известно ничего другого,\”то можно было бы руководиться тем успехом, с которым согласуется теория с практическим опытом. Именно поэтому Эренфест имеет огромную заслугу перед развитием квантовой теории, установив постулат, позволя ющий дать опрелеление квантовым величинам. Мысль Эренфеста основана на том, что атомные системы рассматривают не изолированными, как было до этого времени, но принимаются во внимание и внешние воздействия.

Выше мы постулировали, что для изолированных систем в стационарных состояниях должны сохраняться выводы классической механики. Теперь выставляется требование вместе с Эренфестом, чтобы, где только возможно и насколько возможно, при воздействии внешних влияний сохранялась классическая механика. Поэтому необходимо исследовать, в какой степени это возможо, не впадая в противо́речия с принципами квантовой теории. По изложенным соображениям „квантующая\” величина изменяется на кратнсе целых чисел от \( h \). Поэтому, если внешнее воздействие недостаточно для того, чтобы совершить изменение на, \( h \), то квантовая величина остается совершенно нөизмененной.

Отчего зависит способность внешнего воздействия вызвать изменение (квантовый скачок) или не вызвать его? Из опыта известно, что квалтовые скачки могут вызываться световыми и молекулярными ударами. При этом получаются воздействия, очень быстро меняющиеся со временем. Рассматривая в противоположность этому очень медленно изменяющееся дойствие (медлонно по сравнению с процессами движения в атомной системе), напр., включение электрических или иагнитных полей, делаем заключение, как учит нас опыт, что в этом случае квантовые переходы не возбуждаются, не наблюдается ни световая эмиссия, ни какиелибо другие процессы, которые можно было бы связать с квантовыми скачками. Квантовые скачки происходят, вероятно, совсем не механически. Таким образом, требование Эренфеста о соблюдении классической механики или о внешних воздействиях: мыслимо лишь в случае, если воздействием не вызываются никакие квантовые переходы. т. е. при необычайно медленных во времени процессах. Утверждение о том, ито в предельном случае бесконечно медленных изменений остается в силе классическая механика, Эренфест, аналогично с общепринятой терминологией в термодинамике’, называет адиабатической гипотезой; Бор говорит о принципе механической преобразуемости.

Этот постулат сильно ограничивает произвол в выборе квантующей величины, так как теперь рассматриваются такие величины, которые по законам классической механики остаются инвариантными при медленных изменения. Их называют (что делает и Эренфест) „адиабатическими инвариантами\”.

Для истолкования понятия адиабатических инвариантов, рассмотрим пример математического маятника с массой \( m \); с длиной нити \( l \), которая медленно укорачивается, для чего нить перекинута через точку привеса. Это укорачивание обусловливает изменение энергии \( W \) и частоты г маятника; но можно показать, что для малых колебаний величина \( \frac{W}{
u} \) остается постоянной. Сила, натягивающая нить, состоит при отклонении \( \varphi \) из части силлы тяжести \( m g \cos \varphi \) и из центробежной силы \( m l \dot{\psi}^{2} \). Работа, произведенная вследствие одного укорочения нити, равна
\[
A=-\int m g \cos \varphi d l-\int m l \dot{\varphi^{2}} d l .
\]

Если это укорочение происходит так, что продолжительность его процесса не находится ни в какой зависимости от продолжительности колебания и является достаточно медленным, чтобы можно было говорить о возможной амплитуде, то можно написать,
\[
d A=-m g \overline{\cos \varphi} d l-m l \overline{\varphi^{2}} d l,
\]

где черта обозначает среднее за один период.
1 Записки по физике, 51 ст. 327,1916 . – Э ре н ф е с т создал свою адиабатическую гипотезу совсем иным путем, а именно, исследуя статистические основы формул излучения Планка.

Для малых колебаний положим \( \cos \varphi=1-\frac{\varphi^{2}}{2} \). Подставляя видим, что \( d A \) распадается на часть- \( m g d l \), представляющую работу подъема маятника, и вторую часть
\[
d W=\left(\frac{m g}{2} \overline{\varphi^{2}}-m l \overline{\dot{\varphi}^{2}}\right) d l .
\]

обозначающую приобретенную энергию колебания. Средние значения кинетической и потенциальной энергии колебания маятника равны друг другу; иначе говоря, они равны половине общей энергии \( W \) :
\[
\frac{W}{2}=\frac{m}{2} l^{2} \overline{\psi^{2}}=\frac{m}{2} g l \overline{\varphi^{2}} .
\]

После подстановки следует
\[
d W=-\frac{W}{2 l} d l .
\]

Но так как число колебаний у пропорционально \( \frac{1}{\sqrt{l}} \), то
\[
\frac{d
u}{
u}=-\frac{d l}{2 l} .
\]

Имеет силу также \( \frac{d W}{W}=\frac{d
u}{
u} \).
Это диференциальное уравнение говорит о том, как связана при адиабатическом укорачивании энергия колебания с частотой; интегрируя, можно высказать следующее утверждение:
\[
\frac{W}{
u}=\text { const. }
\]

Подобные соображения имеют место при медленном изменении \(
u \) с помощью какого-либо другого внешнего влияния. Так как гармонический осциллятор математически эквивалентен маятнику с бесконечно малой длиной, то и для него также \( \frac{W}{
u}= \) const.

Из этого заключаем о полной согласованчости квантового условия (1) Планка с адиабатической гипотезой. И, наоборот, можно показать, что для других периодических систем с одной степенью свободы \( \frac{W}{v} \) является не адиабатически инвариантным.

Вспомним теперь о том, что по (8) \( \$ 9 \) величина \( \frac{W}{v} \) при гармоническом осцилляторе одновременно представляет переменную действия J. В таком случае можно, вообще говоря, установить для периодической системы с одной степенью свободы квантовое условие
\[
J=n h .
\]

Величина \( J \) удовлетворяет требованию однозначности, так как она независима от системы координат (благодаря инвариантности \( \iint d p, d q \) сравн. \( \S 7 \) ); теперь мы покажем, что она \( a d u \) абатически инвариантна.

Общее доказательство теоремы об адиабатической инвариантности (или, как говорит Бор о механической преобразуемости) переменных действия было произведено одновременно для нескольких степеней свободы Бургером \( { }^{-} \)и Крутковы м \( { }^{2} \).

Представим себе механическую систему с одной степенью свободы, находяшуюся под внешним влиянием. Это можно выразить тем, что в уравнения движения кроме переменных вводится еще параметр, зависящий от времени \( a(t) \). Далее, под адиабатическим изменением системы будем подразумевать такое изменение, которое, во-первых, не имеет никакого отношения к периоду ненарушенной системы, и, во-вторых, происхидит достаточно медленно, так что \( a \) можно рассматривать, как произвольно малую ғеличину. Предположим затем, что в известной области при постоянном \( a \) движение оказывается периодическим, и мы можем ввести угловую переменную и переменную действия.
Переменная действия \( J \) инвариантна адиабатически до тех пор, пока не исчезнет частота.
Функция Гамильтона
\[
H(q, p, a(t))
\]

зависит от времени, поэтому закон энергии не действителен, но остаются канонические уравнения движения
\[
\dot{q}=\frac{\partial H}{\partial p}, \dot{p}=-\frac{\partial H}{\partial q} .
\]

Мы произвели такие канонические преобразования, которые при постоянном \( a \) приводят переменные \( q, p \) к угловой переменной \( w \) и переменной действия \( J \). Здесь целесообразно преобразования записать в форме [ср. (1) § 7 и (ј) §9]
\[
\begin{array}{l}
p=\frac{\partial S^{*}}{\partial q} \\
J=-\frac{\partial S^{*}}{\partial w} .
\end{array}
\]
1 M. Burgers, Ann. d. Physik, Bd. 52, S. 195, 1917.
2 S. Krutk ow, Proc. Amsterdam Acad, Bd 21, S. 1112 ,comm. 1918).

В функции \( S^{*} \) кроме \( q \) и \( w \) содержится и параметр \( a \), ввиду ч го она завйсит также от времени; по (1) \( \S 7 H \) переходит в
\[
\bar{H}=H+\frac{\partial S^{*}}{\partial t} .
\]

Итак, канонические преобразовывающие уравнения следующие:
\[
\begin{array}{c}
\dot{w}=\frac{\partial H}{\partial J}+\frac{\partial}{\partial J}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial t}\right), \\
\dot{J}=-\frac{\partial H}{\partial w}-\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial t}\right) .
\end{array}
\]

Так как \( H \) зависит только оћ переменных действия, имее м
\[
\dot{J}=-\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial a}\right) \dot{a} .
\]

При этом диференцирование производится по \( t \) и \( a \), при постоянных \( q \) иे \( w \) и диференцирование по \( w \) при постоянных \( J \) и \( a \).
Изменение \( J \) в интервале времени ( \( t_{1}, t_{2} \) ) теперь состаьляет
\[
J^{(2)}-J^{1)}=-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \dot{a} \frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial a}\right) d t .
\]

При наличии (как мы предполагаем) медленного, не связанного с периодом системы изменения \( a \), можно \( \dot{a} \) вынести за знак интеграла.

Доказательство инвариантности \( J \) сводится к доказательству того, что
\[
\frac{J(\mathbf{2})-J(\mathbf{1})}{a}=-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial}{\partial w}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial a}\right) d t
\]

имеет величину порядка \( \dot{a}\left(t_{2}-t_{1}\right) \), откуда именно и следует, что в пределе при бесконечно медленном изменении ( \( \dot{a} \rightarrow 0) \) и при конечном \( \dot{a}\left(t_{2}-t_{1}\right) \) изменение \( J \) исчезает. Но так как \( S^{*} \) (по \( \S 9 \) ) – периодическая функция \( w \), то это соображение действительно и для \( \frac{\partial S^{*}}{\partial a} \); она остается неизменной при введении переменных \( w, J, a \).

Таким образом, подинтегральное вьражение (3) представляет ряд Фурье
\[
\sum_{\tau}^{\prime} A_{\tau}(J, a) e^{2 \pi i i w w}-
\]

без постоянного члена (это обстоятельство мы отметили индексом при знаке суммы. Напишем \( w \), как функцию времени; тогда оцененный интеграл будет:
\[
\int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{\tau}^{\prime} A_{\tau}(J, a) e^{2 \pi i \tau v(J, a) t+\delta(J, a)]} d t .
\]

Стоящее под интегралом выражение уже не является теперь точно периодическим во времени; вблизи определенной временной точки (точки времени), которую теперь полагаем равной нулю \( t=0 \), его можно написать в форме:
\[
\begin{aligned}
& \sum_{\tau}^{\prime}\left(A_{\tau}^{0}+A_{\tau}^{1} \ddot{a} t+\ldots\right) e^{2 \pi i \tau\left[v^{0} t+\delta^{0}+\dot{a}\left(v^{\prime} t^{2}+\delta^{1} t\right) \ldots\right]} \\
= & \sum_{\tau}^{\prime} A_{c}^{0} e^{2 \pi i \tau\left(
u^{0} t+\delta^{0}\right)} \\
+ & \dot{a} \sum_{\tau}^{\prime}\left[2 \pi i A_{\tau}^{0} \tau\left(
u^{1} t^{2}+\hat{\delta}^{1} t\right)+A^{1} t\right] e^{2 \pi i \tau\left(
u^{0} t+\delta^{0}\right)+\ldots}
\end{aligned}
\]

где значения \( A_{\tau}^{0}, A_{\tau}{ }^{1},
u^{0},
u^{1}, \delta^{0} ; \delta^{1} \) относятся к точке \( \boldsymbol{t}=0 \).
Если проинтегрировать это выражение по периоду первого члена, то получатся выражения величины порядка \( a T \) и \( \dot{a} T^{2} \), где \( T \) означает продолжительность периода. Произведем развертку (4) вначале интервала ( \( t_{1}, t_{2} \) ) и образуем интег рал, распространяющийся на период первого члене. После этого, произведя новую развертку (4) для начала оставшегося интервала, напишем снова интеграл по периоду первого члена. Будем продолжать таким образом процесс до тех пор, пока не будет исчерпан весь интеграл \( \left(t_{1}, t_{2}\right) \).

Последний интеграл, вообще говоря, не распространяется на полный период, но он имеет конечніую величину даже и тогда, когда \( \left(t_{2}-t_{1}\right) \) является произвольно большим. Из этого видно, что, если \( T \) остается конечным на всем пути интегрирования, то \(
u^{0} \) не исчезает и общий интеграл имеет величину порядка \( \dot{a}\left(t_{2}-t_{1}\right) \), чем и доказана адиабатическая инвариантность \( J \). На основании этой инвариантности и результатов, полученных при исследовании резонагора, мы пришли к выводу. что \( J \) есть в общем случае квантующая величина. Это предположение подтвердилось дальнейшим развитием кванговой теории. Сформулируем его следующим образом,

Квантовое: условие. При стационарных состояниях периодической системы с одной степенью свободы переменная действия является кратной целой величины \( h \);
\[
J=n h \text {. }
\]

Благодаря этому квантовчен условию \( { }^{1} \) устанавливаются энергетические уровни, как функции квантового числа \( n \).

Упомянутый во введении эксперимен альный опыт электронных ударов позволяег чисто эмпирически определить уровни энергии атомной системы.

Сравнение этого определения с теоретическими значениями энергии дает возможность для проверки основных положений квантовой теории в той степени, в какой мы ее здесь рассмотрели. Связь атомной системы с излучением происходит, как было упомянуто в введении, по известному независимому квантовому закону, – частотному условию Бора
\[
\tilde{h}=W^{(1)}-W^{(2)},
\]

регулирующему частоту испускаемого атомными системами и поглощаемого света. При этом \( W^{(1)} \) и \( W^{(2)} \) обозначают энергию двух состояний, а \( \vee \) обозначает частоту света, эмиссия или абсорбция которого связана с переходом системы из состояния 1 в состояние 2. В’случае эмиссии ( \( W^{(1)}>W^{(2)} \) ) формула’ дает положительное \( \tilde{v} \), в случае же абсорбции \( \left(W^{(1)}<W^{(2)}\right) \) – б́трицательную \( \tilde{v} \).

Частотное условие Бора представляет возможность точной проверки квантовых правил при одновременном использовании частӧт, которые определяются на основании спектров.