До сих пор мы подчиняли квантовой теории лишь такие системы, движение которых можно было определить простым разделом переменных.

Теперь исследуем вопрос о том, когда можно вводить угловые переменные и переменные действия, допускающие применение квантовой теории.

Для этого необходимо \( J \) определить соответствующим постулатом таким образом, чтобы были возможны только линейные
целочисленные преобразования, содержащие детерминант \( \pm 1 \), так как лишь в этом случае имеют смысл квантовые условия
\[
J_{k}=n_{k} h .
\]

Обобщая наши рассуждения, обратим внимание на механические системы \( { }^{1} \), при которых функция Гам ильтона \( H\left(q_{1}, p_{1} \ldots\right) \) не содержит явно времени. Предположим, что с помощью канонического преобразования, при наличии производящей функции \( S\left(q_{1}, J_{1} \ldots q_{f}, J_{f}\right) \), можно из \( q_{k} \) и \( p_{k} \) получить
\[
p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}, \quad w_{k}=\frac{\partial S}{\partial J_{k}} .
\]

новые переменные таким образом, чтобы выполнялись следующие условия:
(А) Положение системь должно периодически зависеть от \( w_{k} \), обладающих простым периодом \( 1 . q_{k} \), однозначно определяе мые положением, должны быть периодическими функциями \( w_{\text {s }} \) с простым периодом 1. Если \( q_{k} \) определена положением, только с точностью до кратного числа постоянных (напр., \( 2 \pi \) ), то в этом случае должен быть периодическим модуль этих постоянных.

При таком условии существуют функции (напр. \( q_{k} \) ), являющиеся в собственном смысле слова (\$13) периодическими по отношению к \( w_{k} \).
(B) Функция Гамильтона переходит в функцию \( W \), зависящую только от \( J_{k} \). Из этого следует, что \( w_{k} \)-линейные функции времени и \( J_{k} \) – постоянные функции. Функции \( q_{k}\left(w_{1} \ldots w_{f}\right) \) имеют кубическую периодическую решетку в \( w \)-пространстве с длиной сторон ячеек 1.

Легко показать, что условиями (А) и (В) величины \( J_{k} \) еще не определяются однозначно (вплоть до целого численного преобразования с детерминантом \( \pm 1 \) ), а именно: простое каноническое преобразование, позволяющее сохранить условия (A) и (B), будет
\[
\begin{array}{l}
\bar{w}_{k}=w_{k}+f_{k}\left(J_{1} \ldots J_{f}\right) \\
\bar{J}_{k}=J_{k} \pm c_{k},
\end{array}
\]

где \( c_{k} \)-константы. Произвольность в определении постоянных \( c_{k} \) нарушает возможность применения квантовых условий (1). Если, например, \( J_{k} \) определить, как некоторое целое число, кратное \( h \), то \( J_{k} \), вообще говоря, такими не будут; поэтому мы должны исключить эту произвольность. Сделаем такое исключение, приписывая \( w \) и \( J \) и свойства, найденные нами выще в случае раздёляюшихся систем.
(C) Функция
\[
S^{*}=S-\sum_{k} w_{k} J_{k},
\]
1 Приведенные здесь условия взяты нз работ J. M. B u rg er s: Het Atoommodel van Rutherford – Bohr (Diss. Leyden) Haarlem 1918, \( \S 10 \).
\( \mathbf{9 0} \)

представляющая производящую функцию наших преобразований \( \left(q_{k} p_{k} \rightarrow w_{k} J_{k}\right) \)
\[
\begin{aligned}
p_{k} & =\frac{\partial}{\partial q_{k}} S^{*}\left(q_{1}, w_{1} \ldots\right) \\
J_{k} & =-\frac{\partial}{\partial w_{k}} S^{*}\left(q_{1} w_{1} \ldots\right)
\end{aligned}
\]

должна быть периодической функцией \( w_{k} \) с периодом 1.
При этом не имеет значения, будем ли мы рассматривать \( S^{*} \) как функцию \( q_{k} \) и \( w_{k} \) или как функцию \( J_{k} \) и \( w_{k} \), так как \( q_{k} \) также периодическая относительно \( w_{k} \).

Если в (C) предъявлять требования, чтобы простой период был равен 1 , то ( \( A \) ) оказывается излишним. Вычисляя, например, из второй системы уравнений \( q_{k} \), как функции \( w_{k} \) и \( J_{k} \), мы видим, что они будут периодическими относительно \( w_{k} \) с простым периодом 1. То же самое имеет место и для \( p_{k} \), что легко видеть из первой системы уравнений. Докажем теперь, что наличие условий \( (A),(B) \) и (C) достаточно для применения (в полном смысле слова) квантовых условий типа (1).

Найдем предварительно самое общее каноническое преобразование
\[
w_{k} J_{k} \rightarrow \bar{w}_{k} \bar{J}_{k},
\]

не изменяющее условий ( \( A \) ), (B) и (C).
Определим первый ряд преобразовывающих уравнений для \( \bar{w}_{\text {k }} \). Принимая во внимание ( \( A \) ), мы видим, что преобразование системы точек решетки, которым соответствуют простые периоды, приводится к такой же самой системе. Тогда по (7) \( \S 13 w_{k} \) должны преобразовываться следующим обрззом:
\[
w_{k}=\tau_{k 1} \bar{w}_{1}+\ldots+\tau_{k f} \bar{w}_{f}+\psi_{k}\left(\bar{w}_{1}, J_{1}, \bar{w}_{2}, J_{2} \ldots\right) .
\]

При этом система целых чисел \( \tau_{k l} \) имеет детерминант \( \pm 1 \) Џ-являются периодическими относительно \( \bar{w}_{k} \) с периодом 1 . Если их записать, как функцию \( \bar{w}_{h} \), то они будут также периодическими относительно w. \( _{k} \).
Таким образом, их можно представить в форме:
\[
\Psi={ }_{\sigma}^{\Sigma} C_{\sigma} e^{2 \pi i\left(\sigma_{i} w_{i}+\cdots+\sigma_{f} w_{f}\right) .}
\]

Условие \( (B) \) дает новое ограничение. Как \( w_{k} \), так и \( \bar{w}_{k} \), как функции времени, должны быть линейными, а поэтому и \( \psi_{k} \) также представляют линейные функции времени и, благодаря периодичности, должны следовательно быть постоянными. В ряде Ф урь е это обозначает, что в показателях встречаются только такие комбинации \( w_{k} \), для которых независимо от врємени \( t \)
\[
\sigma_{1} w_{1}+\cdots+\sigma_{f} w_{f}=\left(\sigma_{1}
u_{1}+\cdots+\sigma_{f}
u_{f}\right) t+\left(\sigma_{1} \delta_{1}+\cdots+\sigma_{f} \delta_{f}\right) .
\]

Таким образом (тождественно для \( J_{k} \) )
\[
\sigma_{1}
u_{1}+\ldots+\sigma_{f^{\prime}}=0
\]

где \( y_{k} \) обозначает производную \( \frac{\partial W}{\partial J_{k}} \).
Существование тождественных соотношений между частотами, \( (\tau
u)=\tau_{1}
u_{1}+\ldots+\tau_{f} \gamma_{1}=0 \), вообще говоря, в наших рассуждениях играет большую роль.

Назовем системы, где это имеет место, вырожденными системами; другие системы мы будем называть невырожденными.

В дальнейшем мы столкнемся с такими случаями, когда, лишь для определенных значений \( J_{k} \) имеют место их соизиеримости, и при этом условии механическая система не является вырожденной. Но -рассмотренные движения, где \( (\tau v)=0 \), мы будем называть случайно вырожденными, а движения вырожденной системы \( [(\tau v)=0 \) тождествено] будем называть собственно вырожденными.
Рассмотрим сперва невырожденные системы.
В этом случае преобразование (6) имеет форму
\[
w_{k}=\sum_{l} \tau_{k l} \bar{w}_{l}+\psi_{k}\left(J_{1} \ldots J_{f}\right) .
\]

Для отыскания второго ряда преобразовывающих уравнений, для невырожденной системы запишем для преобразования (7) производяшую функцию, т. е. напишем:
\[
V\left(\bar{w}_{1} J_{1} \ldots \bar{w}_{f}, J_{f}\right)=\sum_{k l} \tau_{k l} J_{k} \tilde{w}_{l}+\Psi\left(J_{1} \ldots J_{f}\right)+F\left(w_{1} \ldots \tilde{w}_{f}\right)
\]

где \( \Psi \) имеет частные производные от \( \psi_{k}{ }^{1} \).
Второй ряд преобразовывающих уравнений обозначится
\[
\bar{J}_{k}=\frac{\partial V}{\partial w_{k}}=\sum_{l} \tau_{t k} J_{l}+f_{k}\left(w_{1} \ldots w_{f}\right) .
\]

Чтобы установить, действительно ли преобразование
\[
\begin{array}{c}
w_{k}=\sum_{i} \tau_{l k} \bar{w}_{l}+\psi_{k}\left(J_{1} \ldots J_{f}\right) \\
\bar{J}_{k}=\sum_{l} \tau_{j k} J_{i}+f_{k}\left(\bar{w}_{1} \ldots \widetilde{w}_{f}\right)
\end{array}
\]

удовлетворяет условиям \( (A),(B) \) и \( (C) \), необходимо ограничить совокупнөсть допускаемых преобразований; разложив его на три преобразования, именно
\[
\begin{array}{l}
w_{k}=\mathfrak{w}_{k}+\psi_{k}\left(J_{1} \ldots J_{f}\right) \quad J_{k}=\mathfrak{I}_{k} \\
\mathfrak{w}_{k}=\sum_{l} \tau_{l k} \overline{\mathfrak{w}}_{l} \quad \bar{\Im}_{k}=\sum_{l} \tau_{l} \mathfrak{\Im}_{l} \\
\dot{\vec{w}}_{k}={\overrightarrow{w_{w}}}_{k} \\
\bar{J}_{k}=\bar{\Im}_{k}+f_{k}\left(\bar{w}_{1} \ldots \bar{w}_{f}\right) . \\
\end{array}
\]
1 Мы видим, что \( \Downarrow_{k} \) в (7), должно удовлетворять определенным диференциальным соотношениям, чтобы преобразование было каноническим.

Все три являются каноническими, и для каждого можно написать определенную производящую функцию в смысле § 7.

Первое преобразование (10) не искажает условий ( \( A \) ) и \( (B) \). В том, что оно удовлетворяет условию (C), можно убедиться следующим образом:

Если \( S(q, \Im) \) и \( \Im(q, J) \) – производящие функции преобразований формы (2), приводящие \( q, p \) к ж, \( J \) и \( \mathfrak{w}, \mathfrak{I} \), то мы имеем право написать
\[
\frac{\partial S(q, J)}{\partial q_{k}}=\frac{\partial \widetilde{S}(q, \Im)}{\partial q_{k}}=p_{k} .
\]

Из тех соображений, что при диференцировании мы принимаем за постоянные те же переменные, заключаем, что \( S-\mathcal{S} \) не зависит от \( q_{k} \).
Тогда для \( S^{*} \) – \( \mathcal{S}^{*} \) имеет место
\[
S^{*}-\mathcal{S}^{*}=S-\mathcal{S}-\sum_{k} w_{k} J_{k}+\sum_{k}^{\top}\left(w_{k}-\Psi_{k}\right) J_{k}=S-\mathcal{S}-\sum_{k} \psi_{k} J_{k},
\]

из чего видно, что условие ( \( C \) ) не изменяется.
Далее видно, без дальнейших объяснений, что (11) не влияет на \( (A) \) и \( (B) \). Для ( \( C \) ) поступим следуюцим образом. Для
\[
\mathcal{S}^{*}(q, \mathfrak{w}) \text { и } \bar{\Im}^{*}\left(q_{1}, \overline{\mathfrak{w}}\right)
\]

имеет место
\[
\frac{\partial \mathfrak{S}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial \widetilde{\Xi}^{*}}{\partial q_{k}}=p_{k}
\]

так как детерминант преобразования \( \mathfrak{w} \) в \( \overline{\mathfrak{w}} \) не равен нулю. Следовательно \( \mathfrak{S}^{*} \) – \( \overline{\mathfrak{S}}^{*} \) от \( q \) не зависит.
С другой стороны
\[
\frac{\partial \widetilde{\mathscr{S}}^{*}}{\partial \overline{\mathfrak{w}}_{k}}=\sum_{l} \tau_{l k} \frac{\partial \mathcal{S}^{*}}{\partial \mathfrak{w}_{l}}=\sum_{l} \frac{\partial \widetilde{S}^{*}}{\partial \mathfrak{w}_{l}} \cdot \frac{\partial \mathfrak{w}_{l}}{\partial \mathfrak{w}_{k}}=\frac{\partial \mathcal{S}^{*}}{\partial \overline{\mathfrak{w}}_{k}}
\]

Из этого следует, что \( \mathcal{S}^{*} \) – \( \overline{\mathcal{S}}^{*} \) также не зависит от \( \overline{\mathfrak{w}} \) и \( \mathfrak{w} \).
Для того, чтобы общее преобразование (9) не изменяло трех вышеприведенных условий, необходимо и достаточно, чтобы оно сохранялось для (12).
Для \( \overline{\Xi^{*}}(q, \overline{\mathfrak{w}}) \) и \( \bar{S}^{*}(q, \bar{w}) \) имеем право написать
\[
\frac{\partial \overline{\mathcal{S}}^{*}}{\partial q_{k}}=\frac{\partial \bar{S}^{*}}{\partial q_{k}}=p_{k}
\]

Таким образом
\[
\left.\overline{\mathcal{S}}^{*}-\bar{S}^{*}=R\left(\bar{w}_{1} \ldots{\overline{w_{f}}}_{f}\right)\right) .
\]

Далее
\[
\frac{\partial \overline{\mathcal{S}}^{*}}{\partial \mathfrak{w}_{k}}=\frac{\partial \overrightarrow{\mathcal{S}}^{*}}{\partial \widetilde{w}}=-f_{k}\left(\bar{w}_{1} \ldots \vec{w}_{f}\right),
\]

откуда
\[
\frac{d R}{\partial w_{k}}=-f_{k}\left(\bar{w}_{1} \ldots \bar{w}_{f}\right) .
\]

Если мы хотим, чтобы в результате преобразований не изменилось \( (C) \), то \( R \) должно зависеть периодически от \( \bar{w}_{k} \); таким образом \( f_{k} \) можно представить с помощью ряда Фурье, но без постоянного члена. Если же мы не хотим изменять \( (B) \), то \( f_{k} \) должно не зависить от времени; из этих условий вытекает исчезновение \( f_{k} \).

При \( f_{k} \Rightarrow 0 \) условия \( (A),(B) \) и (C) остаются неизменными. Этим самым мы доказали, что преобразование
\[
\bar{J}_{k}=\sum_{l} \tau_{l k} J_{l}
\]

для переменных действий есть преобразование самое общее. Если теперь определить \( J_{k} \), как целые кратные числа от \( h \), то и \( \overline{J_{k}} \) будут целыми кратными числами \( h \) и наоборот.

Если мы желаем в наших рассуждениях исходить из наличия целых чисел \( \frac{J_{k}}{h} \), то необходимо сформулировать перед этим доказанное механическое положение, независимо от всех квантовых теорий, а именно:
Теорема однозначности невырожденных систем:
Если представляется возможность в механическую систему ввести переменные \( { }_{k} \) и \( J_{k} \) так, чтобы выполнялись условия ( \( A \) ), (B) \( и \) (C), и если между величинами
\[
v_{k}=\frac{\partial W}{\partial J_{k}}
\]

не существует никакой соизмеримости, то \( J_{k} \) лвляются однозначно определенными с точностью до однородных линейных целочисленных преобразований с детерминантом \( \pm 1 \).
Переходим теперь к рассмотрению вырожденных систем.
Если среди \( v_{k} \) имеют место \( (f-s) \) соизмерительных условий
\[
\sum_{k} \tau_{k} v_{k}=0
\]

то мы можем с помощью канонического преобразования, не изменяющего условий \( (A),(B) \) и \( (C) \), достигнуть того, что \( f-s \) частот \( \overline{
u_{k}}=\frac{\partial W}{\partial \bar{J}_{k}} \) исчезнут и среди остальных \( s \) не будет существовать ни одного соотношения формы (14).
Назовем опять новые переменные \( w_{k} \) и \( J_{k} \); тогда мы имеем \(
u_{\alpha} \) несоизмеримые, \( \alpha=1,2 \cdots s \)
\[

u_{p}=0 \quad p=s+1, s+2 \cdots f
\]

и функция Гам ильтона имеет форму
\[
W\left(J_{a}\right) \text {. }
\]

Будем называть \( w_{a} \) и \( J_{a} \) собственно угловыми переменными и собственно переменными действия, а \( w_{p} \) и \( J_{p} \) – не собственными или вырожденными переменными ( \( w_{p} \) во время движения остаются постоянными). Число \( s \) независимых частот \(
u_{\alpha} \) ңазывается степенью периодичности системы.

В случае возможного вырождения для определенных движений, число независимых частот меньше, чем для всей системы. Будем называть это число степенью периодичности рассматриваемого движения. Займемся теперь отысканием самого общего преобразования, не изменяющего ни этого двойного деления переменных, ни условий \( (A),(B),(C) \). Первый ряд преобразующих уравнений теперь получит форму:
\[
\left.w_{k}=\sum_{l} \tau_{k l} \bar{w}_{l}+\Phi_{k} \bar{w}_{S+1} \cdots \bar{w}_{f}, J_{1} \cdots J_{f}\right)
\]

и производящая функция:
\[
\begin{array}{c}
V\left(\bar{w}_{1} \cdots \bar{w}_{f}, J_{1} \cdots J_{f}\right)= \\
=\sum_{k l} \tau_{k l} J_{k} \bar{w}_{l}+\Psi\left(\bar{w}_{S+1} \cdots \bar{w}_{f}, J_{1} \cdots J_{f}\right)+F\left(\bar{w}_{1}-\bar{w}_{f}\right),
\end{array}
\]

где \( \Psi \) зависит периодически ог \( \overline{w_{p}} \).
Второй ряд уравнений преобразования
\[
\overline{J_{k}}=\sum_{l} \tau_{l k} J_{l}+\frac{\partial \Psi}{\partial \overline{w_{k}}}+f_{k}\left(\bar{w}_{1} \cdots{\overline{w_{f}}}_{f}\right) .
\]

Производная \( \Psi \) появляется лишь тогда, когда \( k \) принимает значения чисел \( s+1 \cdots f \).

Чтобы сохранить деление переменных на невырождающие вырождающие, \( w_{p} \) не должны зависеть от \( \bar{w}_{a} \), а также \( \bar{w}_{p} \) от \( \vec{w}_{\alpha} \)

Тогда уравнение преобразований можно записать следующим образом:
\[
\left.\left.\begin{array}{l|l}
w_{a}=\sum_{l} \tau_{a l} \bar{w}_{l}+\psi_{a}\left(\bar{w}_{\sigma}, J\right) \\
w_{\rho}=\sum_{\sigma} \tau_{\rho \sigma} \bar{w}_{\sigma}+\varphi_{\rho}\left(\bar{w}_{\sigma}, J\right) \\
\bar{J}_{\alpha}=\sum_{\beta} \tau_{\beta a} J_{\beta}+f_{a}(\bar{w}) \\
\bar{J}_{\rho}=\sum_{l} \tau_{l_{\rho}} J_{l}+\varphi_{\rho}\left(\bar{w}_{\sigma}, J\right)+f_{\rho}(\vec{w})
\end{array}\right\} \begin{array}{l}
\alpha, \beta=1 \cdots s \\
\end{array}\right\}
\]

где мы положили \( \frac{\partial \Psi}{\partial \bar{w}_{p}}=\varphi_{p} \).
Так как \( \tau_{k l} \) – целые числа и \( \tau_{\rho a} \) исчезают, то из значения детерминанта следует
\[
\left|\tau_{k l}\right|= \pm 1
\]

а также \( \left|\tau_{\alpha \beta}\right|= \pm 1 \).

Разложим теперь преобразования (16) на две части:
\[
\begin{array}{ll}
w=\sum_{l} \tau_{a l} \mathfrak{w}_{l}+\varphi_{\alpha}\left(\mathfrak{w}_{\sigma}, J\right) & \mathfrak{J}_{\alpha}=\sum_{\beta} \tau_{\beta \alpha} J_{\beta} \\
w_{\rho}=\sum_{\sigma} \tau_{\rho \sigma} \mathfrak{w}_{\sigma}+\varphi_{\rho}\left(\mathfrak{w}_{\sigma}, J\right) & \Im_{\rho}=\sum_{l} \tau_{l_{\rho}} J_{l}+\varphi_{\rho}\left(\mathfrak{w}_{\sigma}, J\right)
\end{array}
\]

и
18)
\[
\mathfrak{w}_{k}=\bar{w}_{k}, \quad \bar{J}_{k}=\Im_{k}+f_{k}(\bar{w})
\]

и покажем, что первая часть не изменяет условия ( \( C \) ), а вторая ведет себя так же само при условии, если \( f_{\alpha}=\mathbf{0} \).

Рассмотрим функцию \( S \) – \( \mathcal{\text { в }} \) ее зависимости от \( \mathfrak{w} \) и \( J \), т. е. напишем:
\[
S=S[q(\mathfrak{w}, J), J] ; \quad \Im=\mathfrak{S}[q(\mathfrak{w}, J), \mathfrak{I}(\mathfrak{w}, J)]
\]

и образуем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial \mathfrak{w}_{k}}(S-S)=\sum_{l} \frac{\partial S}{\partial q_{l}} \cdot \frac{\partial q_{l}}{\partial \mathfrak{w}_{k}}-\sum_{l} \frac{\partial \mathfrak{S}}{\partial q_{l}} \frac{\partial q_{l}}{\partial \mathfrak{w}_{k}}-\sum_{l} \frac{\partial \mathfrak{S}}{\partial \mathfrak{F}_{l}} \cdot \frac{\partial \mathfrak{W}_{l}}{\partial \mathfrak{w}_{k}}= \\
=-\sum_{\sigma} \mathfrak{w}_{\sigma} \frac{\partial \mathfrak{\varphi}_{\sigma}}{\partial \mathfrak{w}_{k}}
\end{array}
\]

поэтому
\[
\frac{\partial}{\partial \mathfrak{w}_{\alpha}}(S-\mathcal{S})=0, \quad \frac{\partial}{\partial \mathfrak{w}_{\rho}}(S-\mathcal{S})=-\sum_{\sigma} \mathfrak{w}_{\sigma} \frac{\partial \varphi_{\rho}}{\partial \mathfrak{w}_{\rho}} .
\]

Далее образуем:
\[
\frac{\partial}{\partial J_{k}}(S-S)=\sum_{l} \frac{\partial S}{\partial q_{l}} \cdot \frac{\partial q_{l}}{\partial J_{k}}+\frac{\partial S}{\partial J_{k}}-\sum_{l} \frac{\partial \Im_{1}}{\partial q_{l}} \cdot \frac{\partial q_{l}}{\partial J_{k}}-\sum_{l} \frac{\partial \Im}{\partial \mathfrak{I}_{l}} \cdot \frac{\partial \mathfrak{I}_{l}}{\partial J_{k}}=
\]
\[
=w_{k}-\sum_{l} \mathfrak{w}_{l} \frac{\partial \mathfrak{I}_{l}}{\partial J_{k}}=\psi_{k}-\sum_{\sigma} \mathfrak{w}_{\sigma} \frac{\partial \varphi_{\sigma}}{\partial J_{k}},
\]

Из (19) и (20) следует
\[
S-\mathcal{S}=\Psi\left(\mathfrak{w}_{\sigma}, J\right)-\sum \mathfrak{w}_{\sigma} \varphi_{\sigma},
\]

где \( \Psi \) имеет то же значение, что и в (15). Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
S^{*}-\mathfrak{S}^{*}=S-\mathcal{S}-\sum_{k}\left(\sum_{l} \tau_{k i} \mathfrak{w}_{l}+\psi_{k}\right) J_{k}+\sum_{k} \mathfrak{w}_{k}\left(\sum_{l} \tau_{l k} J_{l}+\varphi_{k}\right)= \\
=\Psi\left(\mathfrak{w}_{\sigma}, J\right)-\sum_{k} J_{k} \varphi_{k}\left(\mathfrak{w}_{J}, J\right),
\end{array}
\]

но это означает, что \( (C) \) остаєтся без изменения.

Условия неизменности (C) при преобразовании (18) находятся точно таким же путем, как это мы находили при невырожденном случае. Так имеем
\[
f_{k}(\widetilde{w})=-\frac{\partial}{\partial w_{k}} R(\bar{w}) .
\]

Если \( (C) \) и (B) выполняются, \( f_{k}(\bar{\varpi}) \) является периодической функцией вида
\[
f_{k}(\bar{w})=\sum_{\tau} C_{i} \tau_{k} e^{2 \pi i(\bar{w})},
\]

где могут появляться степени, содержащие лишь одно \( \bar{w}_{p} \); следовательно, всегда \( \tau_{x}=0 \), из чего мы заключаем, что
\[
f_{\alpha}(\bar{w})=0 .
\]

Таким образом, самое общее допустимое преобразование невырождаемых переменных действия будет
\[
\overline{J_{\alpha}}=\sum_{\beta} \tau_{\beta \alpha} J_{\bar{\beta}} .
\]

При этом \( J_{p} \) не преобразовываются, как целые числа.
Так как при условии ( \( C \) ) в преобразовании \( J_{\rho} \) не появляется \( { }_{l} \), то из системы \( J_{\rho} \), где все \( J_{\rho} \) – целые кратные числа \( h \), можно всегда выделить систему \( J_{\rho} \), не имеющую этого свойства (сравн. примеры \( § 14 \) ).

Результат нашего исследования, независимо от применения’ квантовой теории, мы можем высказать следующим образом:

Если в механическую систему можно ввести переменные ш \( _{k} J_{k} \), выполняющие условия ( \( A \) ), (B) и (C), то их можно вседда подобрать так, что известные частные производные
\[

u_{k}=\frac{\partial W}{\partial J_{k}}
\]

именно \(
u_{g}(\alpha=1 \ldots s) \) будут несоизмеримь, а все остальньке \(
u_{p}(p=s+1 \ldots f) \) исчезнут.

Тогда J будут определены вплоть до однородных целых преобразований с детерминантом \( \pm 1^{1} \) ).

Сделаем еще некоторые заключения из периодичности \( S^{*} \), как функции \( q \) и \( w \) или \( J \) и \( w \).

Функция \( S=S^{*}+\sum w_{k} J_{k} \) увеличивается на \( J_{k} \), если \( w_{k} \) получает приращение на 1 , при условии постоянства других \( w \) и \( J \). Это можно записать математически следующим образом:

или
\[
J_{k}=\int_{0}^{1} d w_{k}\left(\frac{\partial S}{\partial w_{k}}\right)_{J}=\int_{0}^{1} d w_{k} \sum_{l} \frac{\partial S}{\partial q_{l}} \cdot \frac{\partial q_{l}}{\partial w_{k}}
\]
\[
J_{k}=\int_{0}^{1} d w_{k} \sum_{l} p_{l} \frac{\partial q_{l}}{\partial w_{k}} .
\]
1 I. M. Вurgers, давший существенное содержание эгой теореме в своей диссертации, не приводит однако совершенно доказательства (а. а. О. § 12).

Этот интеграл использован с той целью, чтобы убедиться, выполняет ли данное движение квантовые условия или нет, что можно сделать, зная лишь \( p \) и \( q \) как функции \( w_{\alpha} \).