Подобно тому, как мы это сделали в \( \$ 11 \), исследуем теперь вопрос о том, в какой мере классическая теория является предельным случаем квантовой теории. С этой целью будем делать предельные переходы \( h \rightarrow 0 \) в наших квантовых законах.

При том дискретные уровни энергий сдвигаются в один континуум классической теории. Далее покажем, что между частотами, вычисленными классически, и квантотеоретическими частотами существует связь, подобная выведенной нами для одной степени свободы.

Пренебрегая классическим затуханием излучения, электрический момент атомной системы можно представить в виде ряда Фурье формы
\[
\mathfrak{p}=\sum_{\tau} \mathfrak{E}_{:} e^{2 \pi i(\tau w)}=\sum_{\tau} \mathbb{E}_{\tau} e^{2 \pi i[(\tau \psi) t+(\tau \delta)]}
\]

Компоненты векторов \( \mathfrak{E}_{z} \)-комплексные числа. Благодаря реальности компонентов \( \mathfrak{p} \), при изменении знаков при \( \tau_{k} \) на обратные компоненты \( \mathfrak{E}_{\text {г }} \) переходят в сопряженные комплексные величины. Производится это таким образом, что в показателях

1 Измерения радиусов атомов и им подобных величин не есть какое-то высшее приближение к действительности, а лишь подчеркивает соответственность циклических и световых частот.

степени появляются только не исчезающие \(
u_{\alpha} \) (и несоизмеримые), при этом члены с \( w_{\text {относятся к }} \) постоянным.

Аналогично тому, что мы имели в случае одной степени свободы, квантотеоретическая частота, принадлежащая переходу, при котором квантовые числа изменяются на \( \tau_{1} \ldots \tau_{s} \), соответствует оберколебанию с частотой
\[
(\tau
u)=\tau_{1}
u_{1}+\ldots+\tau_{s}
u_{s} .
\]

Так же точно и здесь связь между классической частотой и квантотеоретической представляет связь между производными и частными разниц.

Пусть в \( J_{\alpha} \)-пространстве находится некоторая закрепленная точка \( J_{\alpha}^{0} \) и все прямые, выходящие из этой точки, пустъ будут
\[
J_{\alpha}=J_{\alpha}^{0}+\tau_{\alpha} \lambda,
\]

направления которых можно себе наглядно представить, как направления линий соединения \( J_{\alpha}^{0} \) с вершинами решетки, окружающей эту точку. Классическая частота в этом случае может быть записана в форме:1
\[
\bar{
u}_{k l}=\sum_{\alpha} \tau_{\alpha}
u_{\alpha}=-\sum_{\alpha} \frac{\partial W}{\partial J_{\alpha}} \cdot \frac{d J_{\alpha}}{d \lambda}=-\frac{d W}{d \lambda} .
\]

Квантотеоретическая частота запишется в следующей форме:
\[
\tilde{
u}_{q u}=-\frac{\Delta W}{h} .
\]

С цельью описания связи между (2) и (3), представим себе, что выше определенная решетка выбрана так, что стороны кубиков равны \( h \); тогда \( J_{\alpha}^{0} \) будет являться уменьшением энергии при шереходе от точки решетки \( J_{\alpha}^{0} \) до точки решетки \( J_{\alpha}^{\prime}-\tau_{\alpha} h \) по отношению к величине петли \( h \).

Классическую частоту мы получим, если \( h \) будет стремиться к нулю, т. е. величина ячейки будет бесконечно мала.

Квантотеоретическую частоту можно понимать и как цреднее значение классической частоты между точками решетки \( J_{a}{ }^{0} \) и \( J_{a}{ }^{0}-\tau_{\alpha} h \) при конечном \( h \), т. е. как определенное среднее значение частоты между начальныи и конечным путем квантового перехода, соответствующего этой частоте.
А именно мы имеем: \( { }^{2} \)
\[
\widetilde{\gamma}_{q u}=-\frac{1}{h} \int d W=-\frac{1}{h} \int_{0}^{h} \frac{d W}{d \lambda} d \lambda=\frac{1}{h} \int_{0}^{h} \tilde{
u}_{k l} . d \lambda
\]
1 Знак выбирается соответственно эииссии при всех \( \tau_{\alpha} \) положительных.
2 Сравн. H. A. Kramers, Intensities of spectral lines (Diss. Leyden), Kopenhagen, 1919.

Если изменения \( \tau_{\alpha} \) квантовых чисел малы по сравнению с самими этими числами, то выражения (3) и (2) отличаются друг от друга очень незначительно.

Как в случае одной степени свободы, так и здесь, принцип соответствия использовывается для приближенного определения интенсивностей и поляризационных соотношений. При наличии отмеченного характера изменений кванто́вы чисел, коэфициенты ряда Фурье Е ₹ для начального и конечного состояния относительно мало отличаются друг от друга. Теперь на основании принципа соответствия мы можем поставить следующее требование:

При больших значениях и мальх изиенениях квантовых чисел, световые волны, соответствующие квантовому скачку \( \tau_{1} \ldots \tau_{\rho} \), приближенно такие же, которые высылали бы класический резонатор, имеющий момент, равный

Этим одновременно определяется приближенно интенсивность и поляризационное состояние волны.

Те же величины ( \( \mathfrak{E}_{\tau} \) определяют вероятности переходов между стационарными состояниями. По новой теории Бо ра (ср. §1) они представляют непосредственно амплитуды резонаторов, соответствующие квантовым скачкам. Если изменение квантовых чисел того же порядка, что и сами эти величинь, то амплитуды чальным и конечным соттоянием, но вопрос об определении такого среднего значения остается еще открытым. Только в случае тождественного равенства нулю известных компонентов классических ¿ есть возможность дать ответ на этот вопрос; необходимо было бы предположить, что не существует также квантотеоретического соответственного колебания.

Эти соображения для определения поляризации практически применимы в том случае, когда во время процесса с помощью внешних условий, например внешнего поля, можно установить, как минимум, одно пространственное направление для всех атомов.

В противном случае, расположение атомов было бы распределено нерегулярно, и поляризация не установилась бы. Если, например, для всех атомов определенный \( \mathfrak{E}_{\tau} \) имеет одинаковое направление, то этому соответствует некоторая линейно поляризованная световая волна с распределением интенсивности по пространственным направлениям, известным из классической теорки.

Особенное значение для применения квантовых условий и принципа соответствня имеет тот случай, когда функция Гамильтона не изменяется во время постоянного вращения атомной системы вокруг какого-либо пространственного направления. Введем азимут некоторой точки системы \( \varphi=q_{p} \), затем введем в роли координат разности азимутов других точек по отношению \( \varphi \) и разности, зависящие только от относительного положения точек системы и установленного направления в пространстве; тогда \( \varphi \) будет циклическая переменная и сопряженный ей импульс \( p_{\varphi} \) по § 6 по существу есть компонент импульса вращения системы, совпадающий с нашим направлением в пространстве.

Благодаря постоянству. \( \frac{\partial S}{\partial \varphi} \), функция \( S \), сводящая \( q_{k} \) и их импульсы \( p_{k} \) к угловым переменным и переменным действия, имеет форму
\[
\left.S=\frac{1}{2 \pi} F\left(J_{1}, J_{2} \ldots J_{f}\right) \varphi+\overline{S\left(q_{1}\right.}, q_{2} \ldots q_{f-1}, J_{1}, J_{2} \ldots J_{f}\right),
\]

из чего следует
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=\frac{1}{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial J_{1}} \varphi+\frac{\partial \bar{S}}{\partial J_{1}} \\
w_{2}=\frac{1}{2 \pi} \cdot \frac{\partial F}{\partial J_{2}} \varphi^{*}+\frac{\partial \bar{S}}{\partial J_{2}} \\
w_{f}=\frac{1}{2 \pi} \frac{\partial F}{\partial J_{f}} \varphi+\frac{\partial \bar{S}}{\partial J_{f}} .
\end{array}
\]

Считая \( q_{1} q_{2} \ldots q_{1-1} \) постоянными и увеличивая на \( 2 \pi \) (т. е система поворачивается на \( 2 \pi \), мы видим, что \( w_{k} \) должны изменяться на целые числа (так как \( q_{k} \) периодические относительно \( w_{k} \) с периодом 1 ); при этом производные от \( F \)-целые числа и сама \( F \) имеет форму
\[
F=\tau_{1} J_{1}+\ldots .+\tau_{f} J_{f}+c .
\]

C помощью соответственного преобразования с детерминантом \( \pm 1 \) функцию \( F \) можна всегда привести к виду
\[
F=J_{\varphi}+c,
\]

так что
\[
S=\frac{1}{2 \pi} J_{\varphi} \varphi+\frac{1}{2 \pi} c \cdot \varphi+\bar{S}\left(q_{1} \ldots q_{f-1}, J_{1} \ldots J_{f-1}, J_{\varphi}\right)
\]

из чего следует
\[
w_{k}=\Phi_{k}\left(q_{1} \ldots q_{f-1}, J_{1} \ldots J_{f-1}, J_{\varphi}\right) \quad(k=1 \ldots f-1)
\]
\[
w_{\varphi}=w_{f}=\frac{1}{2 \pi} \varphi+\Phi_{t}\left(q_{1} \ldots q_{f-1}, J_{1} \ldots J_{f-1}, J_{\varphi}\right) .
\]

Решая относительно \( q_{k} \)
\[
\begin{array}{l}
q_{k}=\Psi_{k}\left(w_{1} \ldots w_{f-1}, J_{1} \ldots J_{f-1}, J_{\varphi}\right) \quad(k=1 \ldots f-1) . \\
\varphi=q_{f}=2 \pi w_{f}+\Psi_{f}\left(w_{1} \ldots w_{f-1}, J_{1} \ldots J_{f-1}, J_{\varphi}\right)
\end{array}
\]

можно также написать
\[
S=\frac{1}{2 \pi} J_{\varphi} \varphi+\bar{S}\left(q_{1} \ldots q_{f-1}, J_{1} \ldots J_{f_{\bar{\lambda}}}, J_{\varphi}\right) .
\]

Соответственно импульс вращения в направлении нащей установленной пространственной оси будет
\[
p_{\varphi}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial \varphi}=\frac{1}{2 \pi} J_{\varphi}
\]

Если нет никакой вырожденности, можно положить
\[
J_{\varphi}=m h .
\]

В каждой системе, потеніиальная энергия которой инвариантна по отношению вращения вокрру заданной какой-либо оси в пространстве, \( 2 \pi \) кратная компонента импульса вращения вокруг оси представляет переменную действия. В случае, если энергия вообще зависит от нее, эта величина должна квантоваться.

Так как функции \( \Phi_{k} \) (5) зависят только от взаимных относительных положений точек системы и от размещения их по отношению оси вращения, то значит \( w_{1} \ldots w_{f-1} \) определяют эти относительные положения в то время, как \( w_{\varphi} \) определяет абсолютное положение системы.

По (6) \( 2 \pi \) можно \( _{\text {м }} \) моссматривать, как усредненное значение азимута \( \varphi \) (какой-либо избранной точки системы) по движениям потносительных \” угловых переменных \( w_{1}, \ldots w_{f-1} \).

Следовательно, движение можно рассматривать, как многопериодическое относительное дзижение, перекрывающееся равномерной прецессией вокруг установленной нами пространственной оси. Если \( H \) представить функцией \( J_{k} \) и не зависящей от \( J_{\varphi} \), то эта прецессия равна нулю; тогда наступает вырождение.

Рассмотрим сперва случай, когда механическая система предоставлена своим внутренним силам. Тогда можно рассматривать каждую неизменную, фиксированную в пространстве прямую, как ось циклического азимута.

Энергия не зависит от компонентов импульсов вращения в отдельности, а только от суммы их квадратов, т. е. от значения импульсов.

Принимая направление импульса за ось, мы видим, что соответствующий ему азимут \( \psi \) циклический, и \( ⿰ \) не вырождается.

Таким образом общий импульс р устанавливается с помощью квантового условия в борме
\[
2 \pi p=J_{\psi}=j h .
\]

Если рассмотреть в пространстве еще одну дополнительную ось, то вокруг нее также существует циклический азимут \( \varphi \), но соответствующая переменная действия \( J_{\varphi}=2 \pi p_{\varphi} \) не входит в функцию энергии рядом с \( J_{\psi} \), так как энергия системы не может зависеть от компонента импульса в произвольном направлении. Таким образом угловая переменная сопряжения \( J_{\varphi} \) вырождается, и \( J_{\varphi} \) не должно квантоваться.

Значение \( w_{\varphi} \) (что считается действительным, вообще говоря, для любой циклической угловой переменной) представляет усредненное по движениям значение азимута какой-либо точки системы относительно оси \( w_{\varphi} \) является постоянным углом, который можно выбрать так, чтобы он равнялся азимуту оси общего импульса относительно плоскости, проведенной через установленную нами в пространстве ось \( \varphi \).

Рассмотрим теперь случай, когда механическая система подвержена действию однородного внешнего (электрического или магнитного) поля.

Тогда азимут \( \varphi \) точки системы относительно оси, параллельной полю, является циклической переменной. В общем случае’ \( H \) будет также зависет от \( J_{\varphi} \) и будет иметь силу квантовое условие (9)
\[
2 \pi p_{\varphi}=J_{\varphi}=m h .
\]

При наличии произвольного внешнего поля общий импульс вращения не будет, вообще говоря, интегралом уравнений движения и, следовательно, не может квантоваться. В частных случаях может оказаться, что импульс вращения и угловая переменная будут постоянные – тогда сохраняются одновременно два условия (8) и (9).

Если, далее, \( p_{\varphi} \) представляет проекцию \( p \) на направление поля, и \( \alpha \) обозначает угол между импульсом вращения и направлением поля, то справедливо
\[
\cos \alpha=\frac{p_{\varphi_{-}}}{p}=\frac{J_{\varphi}}{J_{\psi}}=\frac{m}{j} .
\]

Следовательно, этот угол не только постоянный (регулярная прецессия импульса вращения вокруг направления поля), но также ограничивается дискретными значениями с помощью квантовых условий. В этом случае говорят о \( { }_{n} \) квантовании по направлению“.

Так как на основании (10) \( m \) может принимать только значения \( -j,-j+1, \ldots . j \), то при каждом \( j \) существует в общем \( 2 j+1 \) возможных ориентаций импульса. Он описывает, при постоянном угле \( \alpha \) угловой конус вокруг направления поля, делая это с прецессионной скоростью
\[

u_{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial J_{\varphi}} .
\]

Вообще же эта регулярная прецессия возможна лишь для известных начальных условий. Но мы ниже покажем (методом вековых возмущений, § 18), что, вообще, в случае слабых полей квантование по направлению сохраняется для любого движения. Исключения составляют только известные случаи двойного вырождения (напр., атом водорода в электрическом поле, срав. §35). Опираясь на принцип соответственности, выскажем некоторые указания относительно поляризации испускающегося света и возможностей переходов атомной системь. Пусть \( z \) будет фиксированная в пространстве ось симметрии. Запишем в комплексной форме перпендикулярные к \( z \) компоненты электрического момента \( \mathfrak{p}_{x}, \mathfrak{p}_{y} \)
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{p}_{x}+i \mathfrak{p}_{y} & =\sum_{k} e_{k}\left(x_{k}+i y_{s}\right) \\
\mathfrak{p}_{2} & =\sum_{k} e_{k} z_{k} \quad(k=1,2, \ldots n)
\end{aligned}
\]

Если \( r_{k} \) – расстояния от оси и \( \varphi_{k} \) – азимуты ( \( \varphi \)-один из них), то имеем
\[
x_{k}+i y_{k}=r_{k} e^{i \varphi_{k}}=e^{i \varphi}\left(r_{k} e^{i\left(\varphi_{k-\Psi}\right)}\right.
\]

Здесь, скобка ( \( r_{k} e^{i}\left(\varphi_{k-\varphi}\right) \) так же, как и \( z_{k} \) зависит от \( q_{1}, \ldots q_{f-1} \).
Подставляя для наших величин значения из выражения (6), получаем
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{p}_{x}+i \mathfrak{p}_{y} & =e^{2 \pi i w_{\varphi}} \sum_{\tau_{1}} P_{\tau_{1}} \ldots \tau_{f-1} e^{2 \pi i\left(\tau_{1} w_{1}+\ldots t_{\tau f-1} w_{f-1}\right)} \\
\mathfrak{p}_{z} & =\sum Q_{\tau_{1}} \ldots \tau_{f-1} e^{2 \pi i\left(\tau_{1} w_{1}+\ldots+\tau_{f-1} w_{f-1}\right) .} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, целое число \( \tau_{\varphi} \) в выражениях компонентов электрического момента \( x \) и \( y \) иожет принимать только значение 1 , а в выражении компонента \( z \) значение \( 0^{1} \). По принципу соответственности, соответствующее квантовое число может изменяться на 1 или 0 (это имеет место, если \( J_{甲} \), вообще, квантуется, т.е. при отсутствии какого бы то ни было вырождения). Изменение на \( \pm 1 \) соответствует правому или левому вращению электрического момента вокруг оси симметрии, а значит левой или правой круговой поляризации света.

Вследствие того, что при изменении квантового числа на +1 увеличивается импульс вращения,-а значит импульс светового поля уменьшается,-мы наблюдаем для этого скачка +1 в случае эмиссии отрицательную круговую поляризацию света, в случае же абсорбции положительную, при скачках – 1 получается наоборот. \( { }^{2} \)

Переходу без изменения импульса вращения соответствует свет, поляризованный параллельно оси симметрии. \( { }^{3} \) Если движе-

1 Знак перед \( \tau \) не имеет такого смысла, так как в ряде фурье рядом с \( \tau \) всегда появляется \( -\tau \).
2 Rub in ow i c z (Physikal. Zeitschr., Bd. 19, S 441 и 456, 1918) с целью установления правила выбора изменений квантовых чисел использовал соотношения между поляризацией и импульсом вращения. Это произошло, приблизительно, одновременно с установлевием Бором общего принципа соответствия.

в Такой свет в оптике назвали бы поляризованным перпендикулярно направлению \( z \), так как по традиции плоскость колебания магнитного вектора приня го считать плоскостью поляризации.

ние точек системы происходит в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии, то (кроме для \( Q_{\tau_{1}} \ldots \tau_{f-1}=0 \) ) \( \tau_{1}=\ldots \tau_{f-1}=0 \), перехода без изменения импульса вращения тогда не наблюдается. Рассмотрим теперь случай системы, подверженной воздействию только внутренних сил; тогда вышеизложенные соображения можно применить к оси общего импульса, причем вместо \( \varphi \) появляется угол, обозначавшийся нами выше через \( \psi \), и сохраняет свою силу квантовое условие (3). Но поляризацию света нельзя наблюдать по той причине, что атомы или молекулы в газе имеют всевозможные ориентации.

Здесь мы встречаемся с вышеупомянутым случаем движения точек системы в плоскостях, перпендикулярных оси, что имеет место, например, в проблеме двух тел (атом с электроном) и жесткого ротатора (гантельная модель молекулы); при этом переход \( j \rightarrow J \) невозможен.

Далее рассмотрим случай, когда система находится под действием внешнего однородного поля и наступает пространственное квантование (что наблюдается при слабых полях). Тогда для изменений \( m \) и поляризации света относительно направления поля применимо выведенное выше правило. Легко показать, что также и для \( j \) сохраняют силу возможности перехода, выведенные нами для свободной системы, а именно
\[
\Delta j=-1, \quad 0,+1 \text {. }
\]
ее ось \( \zeta \) совпадала с направлением импульса вращения и ось \( \eta \) была направлена перпендикулярно направлению поля. В этой координатной системе электрический момент допускает следующую формулу:
\[
\begin{aligned}
\mathfrak{p}_{\tau}+i \mathfrak{p}_{\eta} & =e^{2 \pi i w_{\psi}} \sum_{\tau} P_{\tau} e^{2 \pi i(\tau w)} \\
\mathfrak{p}_{\tau} & =\sum_{\tau} Q_{\tau} e^{2 \pi i(\tau w)}
\end{aligned}
\]

где в суммы входят лишь угловые переменные относительного движения \( w_{1} \ldots w_{f-1} \) (не \( w_{\varphi} \) и \( w_{\psi} \) ).

Координаты \( \xi, \eta, \zeta \) связаны с координатами находящейся в пространстве системы \( x, y, z \) таким образом, что
\[
\begin{aligned}
x+i y & =e^{2 \pi i w} \varphi(\xi \cos \alpha-\zeta \sin \alpha+i \eta) \\
z & =\xi \sin \alpha+\zeta \cos \alpha .
\end{aligned}
\]

Этим выражается тот факт, что ось \( \zeta \) с осью \( z \) образует постоянный угол \( \alpha \) и совершает вокруг регулярную прецессию \( w_{\varphi}=
u_{\varphi} t \).

Те же формулы преобразования применимы и для компонентов вектора \( \mathfrak{p} \) по отношению к обеим координатным системам.

Подставляя в эти преобразования для \( \mathfrak{p}_{\xi}, \mathfrak{p}_{\eta}, \mathfrak{p}_{\xi} \) ряды Фурье (11), мы легко заметим,;что ‘в показателях рядов при \( \mathfrak{p}_{x} \) и \( \mathfrak{p}_{y} \) угловые переменные \( w_{\varphi} \) и \( w_{\psi} \) выступают только с множителями \( \tau_{\varphi}= \pm 1 \); \( \tau_{\psi}=0, \pm 1 \); при \( \mathfrak{p}_{z} \) только с множителем \( \tau_{\varphi}=0, \tau_{\psi}=0, \pm 1 \). Таким образом квантовое число \( j \) может изменяться только на 0 или \( \pm 1 \)