Параболические координаты, в которых легко описать движение электрона в водородном атоме, происходящее под влиянием электрического поля методом разделения переменных, представляют частный случай э.липтических координат. Последние допускают разделение переменных, вообще говоря, для движения одной точки, находящейся под влиянием двух неподвижных силовых центров, притягивающих ее по закону Кулона. Удаляя один из силовых центров на бесконечность, увеличивая при этом соответствующим образом его силу, мы получаем случай эффекта Шт арка; эллиптические координаты переходят при этом в параболические. Если \( 2 c \)-расстояние двух неизменных c ее расстояниями \( r_{1} \) и \( r_{2} \) от этих неизменных точек посредством уравнений
\[
\begin{array}{ll}
\xi=\frac{r_{1}+r_{2}}{2 c} & r_{1}=c(\xi+\eta) \\
\eta=\frac{r_{1}-r_{2}}{2 c} & r_{2}=c(\xi-\eta) .
\end{array}
\]

Из этих уравнений очевидно, что всегда
\[
\text { (2) } \quad \xi \geqq 1,-1 \leqq \eta \leqq 1
\]

и что поверхности \( \xi \) =const эллипсоиды вращения с большими полуосями \( c \xi \) и фокусами \( F_{1} \) и \( F_{2} \); далее видно, что поверхности \( \eta= \) const представляют двухсторонние гиперболоиды вращения с расстоянием вершин 2 cr и теми же фокусами. Для однозначного определения точки необходимо задать третью координату, напр. азимут \( \varphi \) относительно прямой \( F_{1} F_{2} \).

Запишем уравнение выше названных поверхностей вращения в цилиндрических координатах \( (r, \varphi, z) \), где \( F_{1} F_{2} \)-ось \( z \), а их начало делит отрезок \( F_{1} F_{2} \) пополам. Тогда мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{z^{2}}{\xi^{2}}+\frac{r^{2}}{\xi^{2}-1}=c^{2} \\
\frac{z^{2}}{\eta^{2}}-\frac{r^{2}}{1-\eta^{2}}=c^{2} .
\end{array}
\]

Из этого следуют уравнения перехода
\[
\begin{array}{c}
z^{2}=c^{2} \xi^{2} \eta^{2} \\
r^{2}=c^{2}\left(\xi^{2}-1\right)\left(1-\eta^{2}\right) .
\end{array}
\]

Сейчас мы покажем, что „проблема двух тел“ в этих координатах допускает разделение переменных. Потенциальная энергия электрического заряда- \( e \), притягивающегося двумя положительно заряженными точками, равна:
\[
U=-e^{2}\left(\frac{Z_{1}}{r_{1}}+\frac{Z_{2}}{r_{2}}\right),
\]

следовательно, в эллиптических координатах:
\[
U=-\frac{e^{2}}{c\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)}\left[\left(Z_{1}+Z_{2}\right) \xi-\left(Z_{1}-Z_{2}\right) \eta\right]
\]

Кинетическая энергия \( T=\frac{m}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\varphi}^{2}+\dot{\alpha}^{2}\right) \) в силу вытекающих из (3) соотношений:
\[
\begin{array}{c}
\dot{z}=c(\xi \dot{\eta}+\dot{\xi}) \\
\dot{r}=r\left(\frac{\xi}{\xi^{2}-1}-\frac{\eta \dot{\eta}}{1-\eta^{2}}\right)
\end{array}
\]

получает форму:
(5)
\[
T=\frac{m c^{2}}{2}\left[\left(\xi^{2}-\eta^{2}\right)\left(\frac{\dot{\xi}^{2}}{\xi^{2}-1}+\frac{\dot{\eta}^{2}}{1-\eta^{2}}\right)+\left(\xi^{2}-1\right)\left(1-\eta^{2}\right) \dot{\varphi}^{2}\right] .
\]

Соответствующие импульсы, сопряженные с координатами \( \xi, \eta, \varphi \), равны:
\[
\begin{array}{c}
p_{\xi}=m c^{2} \dot{\frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{\xi^{2}-1}} \\
p_{\eta_{1}}=m c^{2} \cdot \frac{\xi^{2}-\eta^{2}}{1-\eta^{2}} \\
p_{\varphi}=m c^{2} \dot{\varphi}\left(\xi^{2}-1\right)\left(1-\eta^{2}\right) .
\end{array}
\]

Выражая \( T \) через координаты и импульсы и прибавляя потенциальную энергию, находим функцию Гамильтона
\[
H=\frac{1}{\xi^{2}-\eta^{2}}\left\{\frac{1}{2 m c^{2}}\left[\left(\xi^{2}-1\right) p^{2}+\left(1-\eta^{2}\right) p_{\eta}^{2}+\left(\frac{1}{\xi^{2}-1}+\frac{1}{1-\eta^{2}}\right) p_{\varphi}^{2}\right]-\right.
\]
\[
\left.-\frac{e^{2-}}{c}\left[\left(Z_{1}+Z_{2}\right) \xi-\left(Z_{1}-Z_{2}\right) \eta\right]\right\}=W .
\]

Отсюда нетрудно заключить, что наша задача легко решается разделением переменных. Для трех импульсов находим:
\[
p_{\xi}=\sqrt{2 m c^{2}(-W)} \frac{1}{\xi^{2}-1} \sqrt{-A-B_{1} \xi+C \xi^{2}+B_{1} \xi^{3}-\xi^{4}}
\]
(8)
\[
\begin{array}{c}
p_{\eta}=\sqrt{2 m c^{2}(-W)} \frac{1}{1-\eta^{2}} \sqrt{-A-B_{2} \eta+C \eta^{2}+B_{2} \eta^{3}-\eta^{4}} \\
p_{\varphi}=\text { const, }
\end{array}
\]

где \( C \)-произвольная постоянная и \( B_{1}, B_{2} \) имеют значения:
\[
\begin{array}{c}
A-C+1=\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 m c^{2}(-W)} \\
B_{1}=\frac{e^{2}\left(Z_{1}+Z_{2}\right)}{-c W} \\
B_{2}=\frac{e^{2}\left(Z_{1}-Z_{2}\right)}{-c W} .
\end{array}
\]

Перейдем теперь к исследованию возможных типов траекторий, причем ограничимся отрицательным \( W \) и не будем учитывать отдельных предельных случаев. Не станем также вдаваться в подробности доказательств.

I. Пути, лежащиев одной плоскостисцентрами1. В этом случае \( p_{\varphi}=0 \), следовательно, \( A-C+1=0 \) и \( \xi=1 \), \( \eta= \pm 1 \) представляют нулевые точки подрадикальных выражений в (8). Будем отличать следующие случаи:
1. Подрадикальное выражение \( p_{\xi} \) для \( \xi>1 \), вначале положительно, затем \( \xi \) в пределах \( \xi=1 \) и \( \xi=\xi_{\max } \) испытывает либрацию.
a) Подрадикальное выражение \( p_{\eta} \) во всем интервале \( (-1,1 \) ) положительно. Путь находится віпределах эллипса \( \xi=\xi_{\max } \) (рис. 33 ).
Рис. 33.
Рис. 34.
Рис. 35.
b) Подрадикальное выражение для \( p_{\eta} \) обладает в интервале \( (-1,1) \) одним нулевым положением. Тогда траектория располагается в некотором двухугольнике, ограниченном эллипсом \( \xi=\xi_{\max } \) и гиперболой \( \eta= \) const (рис. 34!.

Случай наличия в \( (-1,1 \) ) дальнейших двух нулевых положений здесь не имеет места.
2. Подрадикальное выражение при \( p_{\xi} \) для \( \xi>1 \) вначале отрицательное, а затем принимает в интервале – \( \left(\xi_{\min }, \xi_{\max }\right. \) ) положительное значение; тогда \& испытывает в этом интервале либрацию.

Подрадикальное выражение \( p_{\eta} \) в этом случае должно быть положительным на всем интервале ( \( -1,1 \) ). Кривая находится между двумя эллипсами \( \xi=\xi_{\min } \) и \( \xi=\xi_{\max } \). (рис. 35 ).
II. Пути, не лежащие в одной плоскостис центрами \( { }^{2} \).

Подрадикальное выражение при \( p_{\xi} \) в лучшем случае положительно в интервале ( \( \xi_{\min }, \xi_{\max } \) ), не достигающем \( \xi=1 \). Подрадикальное выражение для \( p_{\eta} \) тақже точно при \( \eta= \pm 1 \) отрицательное; в интервале ( \( -1,+1 \) ) оно может иметь две или четыре нулевые точки. Наконец \( p_{\varphi} \) өтлично от нуля и \( \varphi \) вращается вокруг линии соединения центров (рис. 36,37 ).

1 Подробное излож. см. C. L. Charlier, Die Mechanik des Himmels, Bd. 1, Leipzig, 1902, III, \( \S 1 \) (S. 122).
\( { }^{2} \) CM. V. Pauli jr., Ann. d. Physik, Bd. 68, S. 177, 1922, II, § 6.

Во всех случаях, где вообще возможны движения, она движется в кольце между двумя гиперболоидами вращения и двумя эллипсоидами вращения, ось которых проходит через центры (рис. 36, 37).

В случае кратных корней гиперболоиды или эллипсоиды могут совпадать; не исключена также возможность наступления ограниченных движений.

Описанные здесь области заполняются без пробелов, если движение не имеет совершенно периодического характера. В обоих случаях I, 1 а и b движущаяся точка подходит к силовым центрам произвольно
Рис. 36.
Рис. 37. близко.
Паули и Нис се \( { }^{2} \) попытались применить эту проблему двух тел к вычислению положительного иона водородной молекулы. Он состоит из двух ядер с зарядами \( +e \) (следовательно \( Z_{1}=Z_{2}=1 \) ) и одного электрона. Вследствие большой массы ядра в первом приближении можно движением его прене-

бречь. Поэтому первый шаг состоит в вычислении движения электронов при произвольном расстоянии от ядра; затем расстояние до ядра определяется так, чтобы при условии постоянства переменных действия движения электронов ядро находилось в устойчивом равновесии. При этом оказалось, что этими условиями однозначно определяется конфигурация минимальной энергии, т. е. нормальное состояние (тип на рис. 36 , при равнозаряженных ядрах картина симметрична). Для нее можно вычислить не только значение энергии, но и колебания ядра, возникающие во время возмущений. Но опыт показал, что значения, полученные этим путем, не соотетствуют результатам измерений напряжений ионизации и возбуждения. На этом основании мы не станем подробнее останавливаться на этой модели \( H_{2}{ }^{+} \). Где лежит корень неправильности теоретического вывода, пока еще не ясно. В дальнейшем мы увидим, что исследование атомных проблем посредством классической механики всегда приводит к неправильным результатам в тех случаях когда мы имеем дело с большим числом электронов, чем в проблемах трех или многих тел. Вероятно, и здесь на основании малых отношений электронных и ядерных масс нельзя искусственно сводить проблемы многих тел к проблеме одного тела.
1 W. Pa 11 , loc. cit.
2 K. F. Niessen, loc. cit.