Если частоты \(
u^{0} \) невозмущенной системы связаны между собой целым линейным соотношением, то известные знаменатели членов в рядах § 41 превращаются в нуль, и наш метод делается непригодным. Рассмотрим вначале случай собственного вырождения, т.е. предположим, что частоты \(
u^{0} \) невозмущенного движения связаны между собой тождественно относительно \( J^{0} \) соотношением
\[
\left(\tau
u^{0}\right)=0 .
\]

В этом случае угловые переменные и переменные действия \( w_{k}^{0}, J_{k}^{0} \) можно преобразовать так, что они переходят в новы \( \mathrm{e} \) невырождающие переменные \( w_{\alpha}^{0}, J_{\alpha}^{0} \) и вырождающие \( w_{\rho}^{0}, J_{\rho}^{0}\left(
u_{\rho}^{0}=0\right) \)
\[
(\alpha=1,2 \ldots s ; p=s+1 \ldots f) .
\]

Тогда \( H_{0} \) зависит только от \( J_{\alpha}^{0}(\S 15) \).
Введем функцию
\[
S=\sum_{k} w_{k}^{0} J_{k}+\lambda S_{1}+\lambda^{2} S_{2}+\ldots
\]

Делая подстановку в уравнение Гамильтона-Якоби (7) \( \$ 41 \), мы снова приходим к уравнению (9). Но при следующем затем усреднении по невозмущенному движению \( H_{1}\left(w^{\prime} J\right) \) остается зависимой от \( w_{\rho}^{0} \). Таким образом неппередственно
1 См. литературу M. Воrn, Atomtheorie des festen Zustandes, Leipzig, 1923 Encykl. d. math. Wiss. V. \( 25, \$ 29 \mathrm{f} \).
\( { }^{2} \) M. B orn u E. H ü cke 1, Physikal Zeitschr, Bd, 24, S. 1, 1923. M. Born a Heisenberg, Ann. d. Phys., Bd. 74, S., 1924.

применять наш способ исследования мы не можем. С физической стороны это объясняется тем, что переменные \( { }^{0}, j 0 \), входящие в угловые переменные и переменные действия \( w, J \) возмущенного движения, далеко еще нельзя определить, зная невозмущенное движение. Благодаря их вырождающему характеру можно вместо \( J_{\rho} \) о посредством подходящего выбора системы координат ввести другие вырождающие переменные действия, которые не будут уже целочисленно связанными с теми переменными.

Итак, нашей первой задачей является отыскание (вместо \( w_{\rho}^{0}, J_{\rho}{ }^{0} \) ) переменных \( \bar{w}_{\rho}^{0}, J_{\rho}^{0} \). Для этого мы воспользуемся уже рассмотренным прежде методом вековых возмущений (ср. \( \$ 18 \) ): Он состоит в отыскании преобразования \( w^{0} j^{0} \rightarrow \overline{w^{0}} \overline{J^{0}} \) с таким расчетом, чтобы первый член усредненной по невозбужденному движению функции возмущения \( \bar{H}_{1} \) зависел только от \( \bar{J} \); при этом предполагается, что \( \bar{H}_{1} \) не тождественно нулю. К случаю, когда оно тождественно превращается в нуль, мы еще вернемся ниже. Нам предстоит теперь решить, как это было выше (§18), уравнение Гамильтона-Якоби:
\[
\overline{H_{1}}\left({ }_{\alpha}^{J_{0}} ; w_{\rho}^{0}, J_{\rho}^{0}\right)=W_{1}\left(\overline{J^{0}}\right) .
\]

Этот вопрос был уже нами подробно рассмотрен в 18. Если он решается посредством разделения переменных уравнения (1), то мы приходим к новым угловым переменным и переменным действия \( \bar{w}_{k}^{0}, \overline{J_{k}^{0}} \). Пусть
\[
V=\sum_{k} \bar{w}_{k}^{0} \bar{J}_{k}^{0}+V_{1}\left(w_{p}^{0} \bar{J}_{k}{ }^{n}\right)
\]

производяцая функция преобразования, тогда
\[
\begin{array}{c}
J_{\alpha}^{0}=\overline{J_{\alpha}^{0}} ; \quad \overline{J_{\rho}^{0}}=\bar{J}_{\rho}^{0}+\frac{\partial V_{1}}{\partial w_{\rho}^{0}} \\
\bar{w}_{\alpha}^{0}=w_{\alpha}^{0}+\frac{\partial V_{1}}{\partial J_{\alpha}^{0}} ; \quad \bar{w}_{\rho}^{0}=w_{\rho}^{0}+\frac{\partial V_{1}}{\overline{\partial J_{\rho}^{0}}} .
\end{array}
\]

Введем теперь \( \bar{w}_{k}^{0} J_{k}^{0} \) в функцию Гамильтона нашего движения
\[
H=H_{0}\left(\overline{J_{x}^{0}}\right)+\lambda H_{1}\left(\overline{\omega_{k}^{0}}, \overline{J_{k}^{0}}\right)+\dot{\lambda}^{2} H_{2}\left(\overline{w_{k}^{0}}, \overline{J_{k}^{0}}\right)+\ldots
\]

и отыщем подобно тому, как мы этот делали в § 4, производящую функцию
\[
\begin{array}{c}
S\left(\bar{w}_{k}^{0}, J_{k}\right) \\
S=S_{0}+\lambda S_{1}+\lambda^{2} S_{2}+\ldots .
\end{array}
\]

канонического преобразования, переводяшего переменные \( \bar{w}_{k^{1}}^{0} \bar{J}_{k}^{0} \) в угловые переменные и переменные действия \( w_{k}, J_{k} \) возмущенного движения.

Если вместо \( \bar{w}_{k}^{0}, \bar{J}_{k}^{0} \) нанисать снова \( w_{k}^{0}, J_{k}^{0} \), то мы придем опять к уравнениям (9) (17) и вообще к (18) \( \S 41 \). Решение дается немного иным путем вследствие того, что величины \( \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{p}} \) исчезают.
Решив уравнения (11) \( \S 41 \) :
\[
\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial S_{1}}{\partial \omega_{\alpha}^{0}}=-\widetilde{H}_{1} .
\]

где \( \tilde{H_{1}}=H_{1}-\bar{H}_{1} \) – периодическая часть функции \( H_{1} \), мы видим, что \( S_{1} \) – аддитивная функция \( R_{1} \) – остается неопределенной; зависящей кроме \( J_{k} \) еще и от \( { }_{6}^{6} \).
Определим ее в первом приближении. Функция \( S_{1} \) имеет вид
\[
S_{1}=S_{1}{ }^{0}+R_{1}
\]

где \( S_{1}{ }^{0} \) – есть известная нам функция.
Подставляя теперь это выражение в уравнение (17) § 41 первого приближения
(5) \( \sum_{a} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+\sum_{k j} \frac{1}{2} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{k} \partial J_{j}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{j}^{0}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}}+H_{2}=W_{2}(J) \) мы видим, что члены, содержащие \( S_{1}{ }^{0} \), можно рассматривать, как известные величины, в то время как члены с \( R_{1} \) еще неизвестны и (17) \( \$ 41 \) принимает форму
\[
\sum_{a} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}=\bar{\Phi}\left(w_{k}^{0}, J_{k}\right)+\sum_{\rho} \frac{\partial H_{1}}{\partial l_{\rho}} \frac{\partial R_{1}}{\partial w_{\rho}^{0}}=W_{2}(J) .
\]

Необходимо отметить, что коэфициенты \( \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{k} \partial J_{j}} \) квадратической формы в диференциальном уравнении только тогда отличаются от нуля, когда \( J_{k} \) и \( J_{j} \) принадлежат \( J_{\alpha} \). Из уравнения (6) можно отыскать \( W_{2}(J), R_{1} \) и часть \( S_{2}{ }^{0} \) функции \( S_{2} \).

Обозначая одной чертой среднее- значение по единичному кубу \( w_{\alpha}^{0} \)-пространства и двумя штрихами среднее значение по единичному кубу общего \( w_{k}^{0} \)-прогтранства, получаем:
\[
W_{2}(J)=\overline{\overline{\mathbf{\Phi}}}
\]

Далее

где
\[
\sum_{\rho} \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{\rho}} \frac{\partial R_{1}}{\partial w_{\rho}^{0}}=-\widetilde{\boldsymbol{\Phi}}
\]
\[
\widetilde{\widetilde{\Phi}}=\bar{\Phi}-\bar{\Phi} .
\]

Уравнение имеет тот же вид, как и (3), вследствие чего решается тем же способом. Наконец, мы имеем
\[
\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{*}} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}=-\widetilde{\boldsymbol{\Phi}}
\]

Отсюда находим
\[
S_{2}=S_{3}^{0}+R_{2},
\]

где \( S_{2}^{0} \) – известная функция \( w_{k}^{0}, J_{k} \) и \( R_{2} \) – пока еще неопределенная функция \( w_{\rho}^{0}, J_{k} \).

Теперь будем продолжать исследование дальше;. первым долгом находим \( W_{3}(J), R_{2}\left(w_{\rho}^{0} J_{k}\right) \) и часть \( S_{3}{ }^{0} \) функции \( S_{3} \). Результат представляет развернутую в ряд энергию
\[
W=W_{0}\left(J_{\alpha}+\lambda W_{1}\left(I_{k}\right)+\lambda^{2} W_{2}\left(J_{k}\right)+\ldots\right.
\]

Высшая степень приближения дает периодические колебания \( w_{k}^{0} \) и \( J_{k}^{0} \), амплитуда которых представляет величины порядка \( \lambda \) (максимум).

Вековые движения \( w_{\alpha}^{0} J_{\alpha}^{0} \) не имеют места. Метод исследования, употреблявшийся нами до сих пор, становится непригодным, если тождественно (относительно \( w_{\rho}^{0}, J_{\rho}^{0} \) )
\[
\bar{H}_{1}=0
\]
(очень часто встречающийся случай). Более точное исследование показывает, что вековое движение \( w_{p}^{0} J_{p}^{0} \) и дополнительная энергия \( W_{2} \) вытекают непосредственно из уравнения \( \Gamma \) амильтона-Якоби. Последнее легко получить, подставляя найденное из (3) выражение для \( S_{1}(5) \) и усредняя полученное уравнение по невозмущенному движению \( { }^{1} \). Вообще говоря, могут встретиться особенные случаи, напр. вековое движение, определяемое формулой (1), снова само будет вырожденным вследствие, скажем, наличия соизмеримостей между величинами \( \frac{\partial W_{1}}{\partial J_{\rho}} \).
Тогда вековые движения в первом приближении вырождаемых еще переменных определяются с помощью приближенных вычислений.