Метод, которым мы до сих пор пользовались при изучении эффекта Ш т а к а, опирался на ту особенность (которую, впрочем, можно рассматривать почти, как случайную), что существуют геометрически простые координаты, допускающие разделение переменных. Теперь мы покажем, каким образом можно притти к цели, ‘не учитывая вышеупомянутых особенностей, а систематически применяя теорию вековых возмущений. При этом мы будем производить наши вычисления двумя способами; первыйисследование вековых движений вырождающих угловых переменных и переменных действия, фигурировавших при рассмотрении кеплеровского движения в полярных координатах. Второй способ, являющийся более пригодным для геометрических процессов возмущения, имеет то преимущество, что он распространяется на больший круг явлений (скрещенное электрическое и магнитное поле).
Запишем функцию Гамильтона в форме
Рис. 今1.
(1)
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1} \text {, }
\]

причем
\[
H_{0}=-\frac{R h^{3} Z^{2}}{J_{1}^{0^{2}}}
\]

энергия кеплеровского движения без наличия поля и
\[
\lambda H_{1}=e E z
\]

функция возмущения (напряжение поля \( E \) можно рассматривать, как параметр \( \lambda \) ).
Выразим с помощыо правила § 18 среднее значение
(3)
\[
\lambda \overline{H_{1}}=e \overrightarrow{E z}
\]

через вырождающие угловые переменные и переменныз действия невозмущенного движения (см. \( \S 22 \) ), которые теперь мы обозначим
\[
w_{2}^{0}, w_{3}^{0} \text { и } J_{1}^{0} J_{2}^{0} J_{3}^{0} .
\]

Если \( \xi \) и \( \eta \)-прямоугольные координаты электрона в плоскости траектории, отнесенные к ядру, как к началу, и к большей оси, являющейся одновременно осью в, то (рис. 31) мы имеем
\[
z=\sin i\left(\xi \sin 2 \pi w_{2}^{0}+\eta \cos 2 \pi w_{2}^{0}\right)
\]

и
\[
\bar{z}=\sin i\left(\overline{\bar{\sigma}} \overline{\sin } 2 \pi w_{2}^{0}+\bar{\eta} \cos 2 \pi \omega_{2}^{0}\right) .
\]

Средние значения \( \bar{\xi} \) и \( \bar{\eta} \) мы находим из \( \S 22 \)
\[
\bar{\xi}=-\frac{3}{2} \xi a, \bar{\eta}=0 .
\]

Это-коордннати электрического центра тяжести движущегося электрона.
Выражая \( \sin i \) и через \( J_{1}^{0} J_{2}^{0} J_{3}^{0} \), получаем
\[
\bar{z}=-\sin 2 \pi w_{2}^{0} \cdot \frac{3}{2} a-\sqrt{1-\left(\frac{J_{3}^{0}}{J_{2}^{0}}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{J_{2}^{0}}{J_{1}^{0}}\right)^{2}}
\]

и
(4) \( W_{1}=-\lambda \overline{H_{1}}=-\sin 2 \pi w_{2}^{0} \cdot \frac{3}{2} a \cdot e E \sqrt{1-\left(\frac{J_{3}^{0}}{J_{2}^{0}}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{J_{2}^{0}}{J_{1}^{0}}\right)} \cdot \)

Угловые переменные \( w_{2}^{0} \) и \( w_{3}^{0} \) изменяются. Однако \( w_{3}^{0} \) ведет себя циклически, и \( J_{3}^{0} \) остается переменной действия возмущенного движения. Таким образом ю в усредненной функции возмущения является единственной нециклической координатой. Следовательно, мы имеем одну новую переменную действия
\[
J_{2}=\oint J_{2}^{0} d w_{2}^{0} .
\]

Ее можно определить из (4), как функцию от \( W_{1}, J_{1}=J_{1} \), \( J_{3}=J_{3}^{0} \). Беря интеграл, находим \( W_{1} \), а затем и \( W \), как функцию леременных действия.
Ради сокращения полагаем:
\[
J_{1}^{0^{2}}=A ; \quad J_{3}^{0^{2}}=B ;\left(\frac{2 W_{1}}{3 a e E}\right)^{2}=C
\]

и
\[
J_{2}^{0^{2}}=x
\]

тогда будет:
\[
J_{2}=\oint \sqrt{x} \frac{d w_{2}^{0}}{d x} d x
\]

причем
\[
\sin ^{2} 2 \pi w_{2}^{0}=\frac{C}{\left(1-\frac{x}{A}\right)\left(1-\frac{B}{x}\right)} .
\]

Вычисляя из последнего отношения \( \frac{d w_{2}^{0}}{d x} \), получаем:
\[
d \frac{C}{\sin ^{2} 2 \pi w_{2}^{0}}=d\left(-\frac{x}{A}-\frac{B}{x}\right)
\]

\[
\begin{array}{c}
\frac{d w_{2}^{0}}{d x}=-\frac{\sin ^{8} 2 \overline{w_{2}} w_{2}^{0}}{4 \pi C \cos 2 \pi w_{2}^{0}}\left(\frac{B}{x^{2}}-\frac{1}{A}\right) \\
\frac{d w_{2}^{0}}{d x}=\frac{\sqrt{A C} \cdot\left(x^{2}-A B\right)}{4 \pi \sqrt{x}(A-x)(x-B) \sqrt{(A-x)(x-B)-A C \bar{x}}} .
\end{array}
\]

Следовательно, наш интеграл запишется
\[
J_{2}=\frac{\sqrt{A C}}{4 \pi} \oint \frac{\left(x^{2}-A B\right) d x}{(A-x)(x-B) \sqrt{(A-x)(x-B)-A C x}} .
\]

Ввиду того, что подинтегральное выражение есть функция \( x \) и корень представляет квадратическое выражение относительности, интеграл вычисляется комплексным путем (срав. (9) приложение II)
\[
J_{2}=\frac{1}{2}(\sqrt{A}-\sqrt{B}-\sqrt{A C}) .
\]

Следовательно,
\[
J_{2}=\frac{1}{2}\left(J_{1}^{0}-J_{3}^{0}-J_{1}^{0} \frac{2\left|W_{1}\right|}{3 e E a}\right) .
\]

Оғсюда вычисляем \( W_{1} \), а именно (если положить \( J_{1}^{0}=J_{1}, J_{3}^{\circ}=J_{3} \) )
\[
W_{1}= \pm \frac{3 e E a}{2 J_{1}} \cdot\left(J_{1}-J_{3}-2 J_{2}\right)
\]

и если выразить \( a \) по (10) \( \S 22 \) через \( J_{1} \),
\[
W=-\frac{R h^{s} Z^{2}}{J_{1}^{2}} \pm \frac{3 E h^{2}}{8 \pi^{2} m e Z} J_{1}\left(J_{1}-J_{3}-2 J_{2}\right) .
\]

Это уравнение переходит в уравнение (13) \( \S 35 \), если прѐдварительно положить
\[
\begin{array}{c}
J_{1}=J \\
J_{1}-J_{3}-2 J_{2}= \pm J_{e} .
\end{array}
\]

Ниже мы покажем, что в рамках наших рассуждений область значений \( J_{e} \) получается та же, что и прежде.

Мы снова имеем квантовые условия (15) § 35 и уравнение энергии (16) § 35.

Займемся теперь исследованием вековых движений, возникновение которых обязано влиянию электрического поля. Перигелий эллиптической траектории изменяет свое положение относительно линии узлов, и сама эта линия узлов вращается равномерно вокруг оси поля. Из уравнения (5) получается, что на один оборот линии узлов приходится два периода движения перигелия. Это движение перигелия и сопровождающие его явления проще всего проследить наглядно на кривой движения в плоскости ( \( w_{2}^{0}, J_{2}^{0} \) ) (рис. 32 ).

Уравнение ее по (4) имеет следующую форму:
\[
\sin 2 \pi w_{2}^{0}=\frac{K_{1}}{\sqrt{1-\left(\frac{J_{3}^{0}}{J_{2}^{0}}\right)^{2}} \sqrt{1-\left(\frac{J_{2}^{0}}{J_{1}^{0}}\right)^{2}}},
\]

где для сокращения мы положили
\[
-\frac{2 h^{2} W_{1}^{\prime}}{3_{e} E a_{\mathrm{H}} J_{1}^{2}}=K_{1} \text {. }
\]

Она симметрична относительно прямых \( w_{2}^{0}=\frac{1}{4} \) или \( w_{2}^{0}=\frac{3}{4} \).
Если \( W_{1}=0 \), то \( w_{2}^{0} \) равно 0 или \( \frac{1}{2} \), или \( J_{2}^{0} \) имеет одно из значений \( J_{1}^{0} \) и \( J_{3}^{0} \). Если же \( W_{1}<0 \), то \( w_{2}^{0} \) не может больше принимать значений 0 или \( \frac{1}{2} \), а \( J_{2}^{0} \) значений \( J_{1}^{0} \) и \( J_{3}^{0} \). Кривая находится в прямоугольнике
\[
w_{2}^{0}=0, w_{2}^{0}=\frac{1}{2}, J_{2}^{0}=J_{1}^{0}, J_{2}^{0}=J_{3}^{0} .
\]

Если \( \mid W_{1 \downarrow} \) достатөнно мало, \( w_{2}^{0} \) только тогда не лежит вблизи 0 или \( \frac{1}{2} \), когда \( J_{2}^{0} \) находится близко возле \( J_{1}^{0} \) или \( J_{3}^{0} \) (рис. 32 ).
Рис. 32.
Кривая тесно примыкает к упомянутому четырехугольнику и для \( W_{1}=0 \) переходит в периметр прямоугольника. Для больworo \( \left|W_{1}\right| \) кривая свертывается и до \( w_{2}^{0} \) принимает такие значения, которые лежат вблизи \( \frac{1}{4}\left(\sin 2 \pi w_{2}^{0}=1\right) \), а затем и само это значение; при этом она свертывается в точку. Для \( W_{1}>0 \) получается то же самое, только предельная точка находится при \( w_{2}^{0}=\frac{3}{4} \).

Точки поворота \( w_{2}^{0} \) лежат там, где \( 2 \pi w_{2}^{0} \) имеет минимум или где
\[
\left[1-\left(\frac{J_{3}^{0}}{J_{2}^{0}}\right)^{2}\right]\left[1-\left(\frac{J_{2}^{0}}{J_{1}^{0}}\right)^{2}\right]
\]

имеет максимум, причем \( J_{1}^{0} \) и \( J_{3}^{0} \) следовательно,
\[
\left(\frac{J_{3}^{0}}{J_{2}^{0}}\right)^{2} \cdot\left(\frac{J_{2}^{0}}{J_{1}^{0}}\right)^{2}
\]

остаются постоянными,

Функция \( (1-x)(1-y) \) с побочным условием \( x y= \) const есть максимум, когда \( x=y \). Следовательно \( w_{2}^{0} \) испытывает вращение, когда
\[
J_{2}^{0}=J_{1}^{0} J_{3}^{0} .
\]

Таким образом \( J_{2}^{0} \) является геометрическим средним \( J_{1}^{0} \) и \( J_{3}^{0} \). Вековые движения пути под влиянием электрического поля теперь име от следующий вид: за время одного оборота линии узлов перигелий эллиптического пути совершает два колебания вокруг мәридиональной плоскости, перпендикулярной к линии узла. При переходе через эту меридиональную плоскость общий импульс \( \frac{J_{2}^{0}}{2 \pi} \) максимальный и, поэтому, эксцентрицитет минимальный. При проходе в другом направлении эксцентрицигет максимальный.

Так как компонент \( \frac{J_{3}^{0}}{2 \pi} \) импульса врацения в направлении поля постоянен, то наклон плоскости траектории колеблется с одинаковой с эксцентрицитетом частотой. Она принимает максимальное и минимальное значение, когда перигелий проходит положение равновесия, т. е. за время одного оборота линии узлов она принимает самое большее и самое меньшее значения. Во время этого колебания плоскости траектории и перигелия большая ось сохраняется ( \( J_{1}^{0}- \) постоянна). Эксцентрицитет изменяется так, что электрический центр тяжести остается всегда в одной плоскости
\[
z=\frac{W_{1}{ }^{*}}{e E}
\]

Она описывает на этой пооскости кривую вокруг оси поля. По той причине, что частоты наклона и вращения линии узлов относятся, как \( 2: 1 \), кривая гаикнута, и электрический центр тяжести за время одного оборота достигает дважды своего максимального расстояния от оси и дважды минимального. ННиже (§38) мы покажем, что электрический центр тяжести совершает гармоническое колебание вокруг оси поля.
Рассмотрим предельные случаи движения перигелия.
Если кривая рис. 34 в плоскости ( \( w_{2}^{0}, J_{2}^{0} \) ) свертывается в центре либрации в точку, то \( J_{3}=J_{1}+J_{e} \) представляет кратное целое число \( h \).

Эллипс траектории имеет постоянный эксцентрицитет, обладает постоянным наклоном и пространственно квантируем.

Еrо большая ось перпендикулярна линии узлов, и сама эта линия узлов равномерно врацается относительно оси поля. В нашем приближении это состояние движения не носит квантового характера, так как \( J_{2} \) нельзя определить с помощью одного квантового условия. С одной стороны, вычисление энергии в первом приближении привело бы к необходимости определения \( J_{2} \). В другом предельном случае \( W_{1}=0 \) или \( J_{2}=\frac{1}{2}\left(J_{1}-J_{3}\right) \), когда кривая рис. 32 в плоскости \( \left(J_{2}^{0}, w_{2}^{0}\right. \) ) проходит периметр прямоугольника, движение усложняется и делается запутанным. Линия углов вращается равномерно.

В определенной фазе движения траектория представляет круг \( \left(J_{2}{ }^{0}=J_{1}\right) \), положенй которого определяется \( J_{3} \) и \( J_{1} \).

Этот круг постепенно переходит в эллипс, перигелий которого лежит на линии узлов. Плоскость траектории во время этого процесса становится перпендикулярно к полю, В этом положении направление линии узлов делается неопределенным. Но если мы, продолжая равномерное движение, которым перед этим обладала линия узлов, определим его, то перигелий отстанет от линии узлов расстояния.

Затем поскость пути снова выравнивается, и траектория мало-помалу переходит в круг. В круге положение перигелия становится неопределенным, но мы можем, пользуясь нашей кривой на рис. 32 , установить, что он находится на линии узлов, если эксцентрицитет снова увеличивается и траектория наклоняется. За время одного оборота линии узлов кривая дважды превращается в круг.

Пределы значений \( J_{e} \) или \( n_{e} \) мы получаем следующим образом: \( J_{3}^{0}=J_{3} \) – положительно и в крайнем случае равно \( J_{1} \cdot J_{3} \) не может быть нулем, так как в противном случае, как это видно из (4), \( J_{2}^{0} \) либрировало бы между \( J_{1}^{0} \) и – \( J_{1}^{0} \). Эллипсы путей пройдут при этом предельный случай прямых (путь маятника ср. § 21 и § 35) и благодаря несоизмеримости вращения на эллипсе с каждой либрацией траектория подходит к ядру произвольно близко.
Из неравенства
\[
0<J_{3} \leqq J_{1}
\]

и соотношения, очевидного из рис. 32 ,
\[
0 \leqq J_{2} \leqq \frac{1}{2}\left(J_{1}-J_{3}\right)
\]

для \( J_{e} \) следует:
\[
-J_{1}<J_{e}<J_{1}
\]

и
\[
-(n-1) \leqq n_{e} \leqq n-1 .
\]

Вместо одного, определенного с помощью \( n \) квантового состояния, свободного от поля кеплеровского движения, появляются уже упомянутые в \( \S 352 n-1 \) состояния.