На примере с осциллятором, разобранном в \( \S 7 \), была ясно указана основная мысль интегральнога метода, играющего особенную роль для разрешения проблем атомной механики, (точно также и для небесной механики).

Хотя в применении к осциллятору он и казался громоздким, но зато с другой стороны этот метод является достаточно мощным для самых запутанных (особенно периодических) движений, чтобы привести к намеченной цели.

Сформулируем его теперь для случая, когда функция Гамильтона не содержит явно времени: необходимо переменные \( q_{k}, p_{k} \) с помощью канонических преобразований привести к новым переменным \( \varphi_{k} \alpha_{k} \) так, чтобы функция Гамильтона зависела только от величин \( \alpha_{k} \) (соответствующих импульсам). Для этого более всего пригодна форма канонических преобразований (2) \( \S 7 \). Итак мы желаем функцию
\[
S\left(q_{1}, q_{2} \ldots \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots\right)
\]

определить так, чтобы с помощью преобразований
\[
\begin{array}{l}
p_{k}=\frac{\partial}{\partial q_{k}} S\left(q_{1}, q_{2} \ldots \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots\right) \\
\varphi_{k}=\frac{\partial}{\partial \alpha_{k}} S\left(q_{1}, q_{2} \ldots \alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots\right)
\end{array}
\]

привести \( H \) к функции, зависящей лишь от \( \alpha_{k} \)
\[
W\left(\alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots\right) \text {. }
\]

Тогда \( \varphi_{k} \) является циклической переменной, и уравнения движения тотчас же приводят к решению:
\[
\begin{array}{l}
\alpha_{k}=\text { const } \\
\varphi_{k}=\omega_{k} t+\beta_{k}
\end{array} \quad \omega_{k}=\frac{\partial W}{\partial} \frac{W}{\alpha_{k}} .
\]

Определение функции \( S \) сводится к решению диференцильного уравнения первого порядка в частных производных. В частности выбирается функция равная \( \alpha_{1} \), и заменяется в выражении \( H \) через \( \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial q_{k}} \), при этом \( S \) удовлетворяет условию
\[
H\left(q_{1}, q_{2} \ldots q_{f}, \frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}} \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{f}}\right)=\alpha_{1},
\]

носящему название диференциального уравнения ГамильтонаЯкоби. Теперь задача заключается в нахождении так называемого полного решения, зависящего кроме а еще и от \( f-1 \) интегральных постоянных ( \( \left.\alpha_{2}, \alpha_{3} \ldots \alpha f\right) \); посредством функции \( S \) можно производитъ преобразования вида (1); причем здесь особенностью является то, что
\[
\omega_{1}=\frac{\partial W}{\partial a_{1_{j}}}=1 ; \quad \omega_{2}=\omega_{3}=\ldots=\omega_{f}=0 .
\]

Тогда решение уравнений движения дается решением уравнений (1) относительно \( q_{k} \). и \( p_{k} \), при условии подстановки
\( a_{k}= \) const
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{1}=t+\beta_{1} \\
\varphi_{2}=\beta_{2} \\
\cdots \cdots \\
\varphi_{f}=\beta_{f} .
\end{array}
\]

Таким образом проблема решения системы \( 2 f \) обыкновенных диференциальных уравнений первого порядка совершенно эквивалентна отысканию полного решения (для \( f>1 \) ) частных диференциальных уравнений (3). Это представляет особый случай общей теории связи между обыкновенными и частными диференциальными уравнениями. Для некоторых целей выгодно в противоположность тому, как было здесь, не выделять одной \( a \). Тогда выполняется каноническое преобразование, при котором \( \alpha_{k} \) (без связи с \( \varphi_{k} \) ) сводится к такому же количеству новых. переменных \( \alpha_{1} \ldots \alpha_{f} \); при этом \( \alpha_{1} \) переходит в
\[
W\left(\alpha_{1}, \alpha_{2} \ldots\left(\alpha_{f}\right) .\right.
\]

Тогда по доказанной теореме в \( \S 7 \) (уравнение 11) можно. ввести новье переменные \( \varphi_{k} \), являющиеся линейными сопряженными с \( \alpha_{k} \) функциями старых переменных \( \varphi_{k} \) с коэфициентами, зависящими лишь от постоянных \( \alpha_{k} \).

Новые \( \varphi_{k} \), таким образом, также будут линейные функции времени, и уравнения движения сохраняют силу в форме (2).

Ввиду эгого функцию \( S \) можно рассматривать, как решение диференциального уравнения
\[
H\left(q_{1}, q_{2} \cdots \frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}} \cdots\right)=W,
\]

зависящего от \( f \) постоянных \( \alpha_{1} \ldots \alpha_{f} \), причем между ними и \( W \) имеет место соотношение
\[
W=W\left(\alpha_{1} \ldots \alpha_{f}\right) .
\]

Преобразование (1) с помощью (5) сводит функцию \( H \) к функции \( W\left(\alpha_{1} \ldots \alpha_{f}\right) \). Здесь также
\[
\omega_{k}=\frac{\partial W}{\partial \alpha_{k}} .
\]

Из (1) получается важное свойство функции \( S \), а именно:
\[
d S=\sum_{k} \frac{\partial S}{\partial q_{k}} d q_{k}=\sum_{k} p_{k} d q_{k} .
\]

Следовательно \( S \) есть взятый по кривой интегрирования линейный интеграл
\[
S=\int_{Q_{0}}^{Q} \sum_{k} p_{k} d q_{k}
\]

где \( Q_{0} \) обозначает закрепленную, а \( Q \)-движущуюся точку пути. В классической механике и в покоящейся координатной системе этот интеграл имеет простое значение.
В самом деле (сравн. (8) §5):
\[
2 T=\sum_{k} p_{k} \dot{q}_{k}
\]

и
\[
S=2 \int_{t_{0}}^{t} T d t
\]

В теории относительности (для одной материальной точки) \( 2 T \) заменяется через
\[
T+T^{*}=m_{\triangleright} \frac{v^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} .
\]

В обоих случаях \( S \)-монотонно растущая функция времени. Благодаря кажущейся формальной связи (уравн. 7) с известным принципом наименьшего действия \( Я \) коби, \( S \) обычно называют функцией действия.

Рассмотрим простейший случай, а именно с одной степенью свободы. Тогда диференциальное уравнение (5) будет обыкновенным, и уравнение
\[
H(q, p)=H\left(q, \frac{\partial S}{\partial q}\right)=W
\]

можно решить относительно
\[
p=\frac{\partial S}{\partial q} .
\]

После этого получим
\[
S=\int_{q_{0}}^{q} p(q, W) d q
\]

что можно представить, как частный случай более общей формулы (6).

Таким образом, найденная функция \( S \), не содержащая никаких постоянных, кроме \( W \), дает общее решэние уравнений движелия, а именно:
\[
\varphi=\int_{q_{0}}^{q} \frac{\partial p(q, W)}{\partial W} d q=t-t_{0},
\]

огкуда, решая \( q \), как функцию времени, получаем с постоянными интеграции \( W \). и \( t_{0} \).
Для покоящейся координатной системы \( T \) имеет форму
\[
T=\frac{p^{2}}{2 p^{2}},
\]

где \( \mu \) обозначает массу, момент инерции или тому подобное. Поэтому
\[
H=\frac{p^{2}}{2 \mu}+U(q)=W .
\]

Следовательно,
\[
p=\frac{\partial S}{\partial q} \sqrt{2 \mu} \sqrt{W-U(q)},
\]
a
\[
S=\sqrt{2 \mu} \int_{q_{0}}^{q} \sqrt{W-\overline{U(q)}} d q
\]
\[
t-t_{0}=\sqrt{\frac{\mu}{2}} \int_{q_{0}}^{q} \frac{d q}{\sqrt{W-U(q)}} .
\]

Прим ер 1. Свободное паденае и вертикальный бросок. Пусть \( q \)-высота подъема движущегося тела и \( \mu \)-масса. Потенциальная энергия \( U=\mu g q \), где \( g \) – константа земного ускорения; тогда
\[
t-t_{0}=\sqrt{\frac{\mu}{2}} \int_{q_{0}}^{q} \frac{d q}{\sqrt{W-\mu g q}}=-\frac{\sqrt{2}}{g \sqrt{\mu}} \sqrt{W-\mu g q},
\]

где \( q_{0}=\frac{W}{\mu g} \) и, очеяидно, для времени \( t_{0} \) обозначает максимальную высоту подъм1. Решәние огносительно \( q \) дает известную формулу
\[
q-q_{0}=-\frac{g}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2} .
\]

Пример 2. Физический маятник.
Здесь \( q \) обозначает длину \( \mu=A \)-момент инерции маятника. Потенциальная энергия
\[
U=-D \cos q,
\]
(где \( D \) называется непосредственно ведущей силой.
Затем имеем.
10)
\[
\begin{array}{l}
p=\sqrt{2 A} \cdot \sqrt{W+D \cos q} \\
t-t_{0}=\sqrt{\frac{\bar{A}}{2} \int_{0}^{q} \frac{d q}{\sqrt{W}+D \cos q}}=\sqrt{\frac{A}{2}} \int_{0}^{\frac{d q}{\sqrt{W+D-2 D \sin ^{2} \frac{q}{2}}}} \\
\end{array}
\]

и, если подставить,
\[
W+D=2 D \sin ^{2} \frac{a}{2},
\]

тo
\[
t-t_{0}=\frac{1}{2} \sqrt{\frac{D}{A}} \int_{0}^{q} \frac{d q}{\sqrt{\sin ^{2} \frac{a}{2}-\sin ^{2} \frac{q}{2}}} .
\]

Решение этого уравнения, содержащего эллиптический интеграл, дает \( q \), как периодическую фуккцию времени, колеблющуюся между \( +a \) и – \( a \).
Для достаточно малого \( a \) можно написать
\[
t-t_{0}=\sqrt{\frac{\bar{A}}{D} \int_{0}^{q} \frac{d q}{\sqrt{a^{2}-q^{2}}}}
\]

и получится решение в закрытой форме

и
\[
\begin{array}{c}
t-t_{0}=\sqrt{\frac{A}{D}} \arcsin \frac{q}{a} \\
q=a \sin \left[\sqrt{\frac{\bar{D}}{A}}\left(t-t_{0}\right)\right] .
\end{array}
\]

В случае одной степени свободы, проблема, очевидно, сводится к тому, что все координаты, за исключением одной, становятся циклическими. Пусть
\[
H=H\left(q_{1}, p_{1}, p_{2} \ldots p_{f}\right) .
\]

Тогда решение представится в виде
и
\[
\begin{array}{c}
p_{2}=\alpha_{2}, \ldots p_{f}=\alpha_{f} \\
S=\int p_{1}\left(q_{1}, W, \alpha_{2} \ldots \alpha_{f}\right) d q_{1} .
\end{array}
\]

При этом \( p_{1} \) получается при решении
\[
H\left(q_{1}, p_{1}, a_{2} \ldots a_{f}\right)=W .
\]

Таким образом, будет
\[
\begin{array}{l}
t-t_{0}=\int \frac{\partial}{\partial W} p_{1}\left(q_{1}, W, \alpha_{2} \ldots \alpha_{f}\right) d q_{1} \\
\beta_{k}=\int \frac{\partial}{\partial \alpha_{k}} p_{1}\left(q_{1}, W, \alpha_{2} \ldots \alpha_{f}\right) d q_{1} \\
(k=2,3, \ldots f) .
\end{array}
\]

Пример 3. Движение бросания.
Пусть будет \( q_{1}=z \) – вертикальная \( { }^{2} \) координата и \( q_{2}=x, q_{8}=y \)-горизон тальные координаты.
Тогда
\[
\begin{array}{c}
T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right) \\
U=m g z .
\end{array}
\]

и, следовательно,
\[
H=\frac{1}{2}\left(p_{x}^{2}+p_{y^{2}}{ }^{2}+p_{z}^{2}\right)+m g z .
\]

Так как \( x \) и \( y \)-циклические переменные, то положим

и получим
\[
p_{x}=\alpha_{2}, \quad p_{y}=\alpha_{3}
\]
\[
t-t_{0}=\int_{z_{0}}^{z} \frac{p_{2}=\sqrt{2 m(W \div n g z)-\alpha_{2}^{2}-\alpha_{3}^{2}}}{\sqrt{2 m(W-m g z)-\alpha_{2}^{2}-\alpha_{3}^{2}}}-\sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{z_{0}-z} .
\]

где
\[
2 m W-\alpha_{2}^{2}-\alpha_{3}^{2}=2 m^{2} g z_{0} .
\]

Из этого следует, что
\[
z-z_{0}=-\frac{g}{2}\left(t-t_{0}\right)^{2} .
\]

Два другие уравнения следуют из
и мы находим
\[
m \dot{x}=\alpha_{2} \quad m \dot{y}=\alpha_{3}
\]
\[
\begin{array}{l}
x-x_{0}=\frac{\alpha_{2}}{m}\left(t-t_{0}\right) \\
y-y_{0}=\frac{a_{3}}{m}\left(t-t_{0}\right),
\end{array}
\]

Из трех уравнений движения, исключением \( t \), получается уравневие пути (парабола броса ния)
\[
\begin{array}{l}
z-z_{0}=-\frac{g}{2} \frac{m^{2}}{\alpha_{2}{ }^{2}}\left(x-x_{0}\right)^{2} . \\
z-z_{0}=-\frac{g}{2} \frac{m^{2}}{a_{3}{ }^{2}}\left(y-y_{0}\right)^{2} .
\end{array}
\]
2. Отсчет по направлению вертикали вверх положительный.

Пример 4. Тяжелый симметричный волчок.
В § 6 мы нашли для кинетической энергии выражение
\[
T=\frac{1}{2 A_{x}}\left[p_{\vartheta}^{2}+\left(\frac{p_{\downarrow}-p_{\varphi} \cos \theta}{\sin \theta}\right)^{2}\right]+\frac{p_{\varphi}^{2}}{2 A_{z}} .
\]

Потенциальная энергия изобразится в следующем виде:
\[
U=D \cos \vartheta,
\]

откуда:
\[
H=\frac{1}{2 A_{x}}\left[\dot{p}_{\vartheta^{2}}{ }^{2}+\left(\frac{p_{\psi}-p_{\varphi}}{\sin } \frac{\cos \vartheta}{\vartheta}\right)^{2}\right]+\frac{p_{\varphi^{2}}}{2 A_{z}}+D \cos \theta .
\]

Но, тав как \( \varphi \) и \( \downarrow \) – диклические пәременные, имеем
\[
\begin{array}{l}
p_{\varphi}=\alpha_{2} \\
p_{\psi}=\alpha_{8}
\end{array}
\]

и
\[
p_{\vartheta}=\sqrt{2 A_{x} W-\left(\frac{\alpha_{3}-\alpha_{2} \cos \vartheta}{\sin \vartheta}\right)^{2}-\frac{\alpha_{2}{ }^{2} A_{x}}{A_{z}}-2 A_{x} D \cos \vartheta}
\]

В уравнении для \( t \) положим \( \cos \vartheta=u \) и получим.
\[
t-t_{0}=-\int \frac{d u}{\sqrt{F}},
\]

где
\[
F=\frac{1}{A x^{2}}\left[\left(1-u^{2}\right)\left(2 A_{x} W-\frac{A}{A_{z}} \alpha_{2}^{2}-2 A_{x} D u\right)-\left(\alpha_{3}-\alpha_{2} u\right)^{2}\right] .
\]

Эйлеровские углы \( \varphi \) и также выражаются подобными эллиптическими интегралами. Именно, решая уравнение (3) \( \S 6 \) относительно \( \dot{\varphi} \) и \( \dot{\psi} \), принимая во внимание (12), получаем
\[
\begin{array}{c}
\dot{\varphi}=\alpha_{2}\left(\frac{1}{A_{z}}-\frac{1}{A_{x}}\right)+\frac{\alpha_{2}-\alpha_{3} \cos \vartheta}{A_{x} \sin ^{2} \vartheta} \\
\dot{\varphi}=\frac{\alpha_{3}-\alpha_{2} \cos \vartheta}{A_{z} \sin ^{2} \vartheta} \\
\varphi=\int \dot{\varphi} d t=\alpha_{2}\left(\frac{1}{A_{z}}-\frac{1}{A_{x}}\right) t-\int \frac{\alpha_{2}-\alpha_{3} u}{A_{x}\left(1-u^{2}\right)} \frac{d t}{\sqrt{F}}
\end{array}
\]

и
\[
\psi=\int \Psi d t=\int \frac{\alpha_{3}-\alpha_{2} u}{A_{x}\left(1-u^{2}\right)} \frac{d u}{\sqrt{F}} .
\]

Решение эллиптического интеграла в форме (13) дает \( \boldsymbol{u}=\cos \vartheta \), как периодическую функцию времени. Ова колеблется между двумя нулевыми положениями \( F \), заключающими интервал, в котором сама \( F \) положительна. Если \( \alpha_{2}=\alpha_{3} \), то.
\[
\begin{array}{l}
F(-1)=-\frac{1}{A_{x}^{2}}\left(\alpha_{3}+\alpha_{2}\right)^{2} \\
F(1)=-\frac{1}{A_{x}^{4}}\left(\alpha_{3}-\alpha_{2}\right)^{2},
\end{array}
\]
т. е. оба значения \( F \) – отрицательны.

Чтобы движение происходило, необходимо, чтобы \( F \) не была нигде в интервале ( \( -1,+1 \) ) отрицательной; она имеет два нулевых положения \( u_{1} \) и \( u_{2} \), могущих также сливаться в одно. Если нулевые положения различны, то это обозначает, что точка сферы оси вожчка колеблется между авумя параллельными кругами \( \vartheta=\vartheta_{1} \) и \( \vartheta=\vartheta_{2} \) (сфера, описанная из центра волчка). Эта точка описывает кривую, показанную на рис. 1.

В случае двойного корня, уравнения (13) и (14) непригодны, но движение легко описываегся элементарным путем, 一так как өты const и мы имеем случай регулярной прецессии.

Установить общее единое правіло для строгого решения диференциального уравнения (5) Гамильтона-Якоби невозможчо. Во многих случаях можно найти решение, благодаря теореме о том, что \( S \) представляет сумму функций, каждая из которых в отдельности зависит от координаты \( q \) (кроме того от постоянных интегрирования \( a_{1} \cdots a_{f} \) ).
\[
S=S_{1}\left(q_{1}\right)+\cdots+S_{f}\left(q_{f}\right) .
\]

Диференциальное уравнение с частными производными (5) разлагается тогда на \( f \) обыкновенных диференциальных уравнений
\[
F_{k}\left(\frac{\partial S_{k}}{\partial q_{k}}, q_{k}\right)=\alpha_{k} .
\]

или, решая по \( \frac{d S_{k}}{d q_{k}} \),
\[
\frac{d S_{k}}{d q_{k}}=p_{k}\left(q_{k}, a_{k}\right) .
\]

Рис. 1.
В этом случае говорят, что диференциальное уравнение (5) решается разделение и переменных. Выше рассмотренный случай, где все координаты кроме одной \( \left(q_{1}\right) \) были циклические, здесь получается, как предельный случай.
Предполагают, что
\[
S=S_{1}\left(q_{1}, \alpha_{1} \ldots \alpha_{f}\right)+\alpha_{2} q_{2}+\cdots+\alpha_{f} q_{f} .
\]

Тогда получаем диференциальное уравнение
\[
H\left(q_{1}, \frac{\partial S}{\partial q_{1}} \ldots \frac{\partial S}{\partial q_{f}}\right)=H\left(q_{1}, \frac{d S_{1}}{d q_{1}}, \alpha_{2} \ldots \alpha_{f}\right)=W,
\]

что точно совпадает с (11).