Главная > ЛЕКЦИИ ПО АТОМНОЙ MEXAHИКE TОМ 1 (МАКС БОРН)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Для описания вековых движений водородного атома в электрическом поле Бор предложил еще один очень наглядный путь 1. Затем Ленц и Клайн 2 разработали вопрос одновременного влияния магнитного и произвольно к нему направленного электрического поля. Мы приведем здесь вычисления для случая электрического поля ⿷ и магнитного поля b. Невозмущенное движение ( (E=W=0 ) имеет шесть независимых постоянных интеграции; выберем в качестве таких постоянных вектор P импульса вращения и радиус-вектор x электрического центра тяжести пути. Ввиду того, что झ и x взаимно перпендикулярны, мы имеем только пять независимых величин.

Шестой величиной выберем величину, которая определила бы фазу движения; но она для нас является не столь существенной. и нашей задачей является установление диференциальных уравнений для P и x. Электрическсе и магнитное поля обусловливают появление момента вращения, действующего на траекторию электрона. Этот момент дает нам производную по времени от импульса вращеиия . Из уравнения движения электрона
mr¨=Ze2grad1[r]e[E+ec[br˙]

посредством векторного умножения на x следует изменение импульса со временем:
H˙=m[rr]=e[Fr]+ec[r˙[q˙r˙]].

Вековую часть движения мы получаем, образовав среднее значение по невозбужденному движению.

Соответствующим образом получается магнитная часть, если предварительно ввести с помощью известных формул векторного анализа импульс вращения P
[r[Wr]]=[E[rr˙]]+[r˙[Fr]]==1m[HH]+[r˙[Gr]]

и далее принять во внимание, что
[r[yr˙]]+[r˙[Fx]]=ddt[x[br]]

усредненное по времени, равно нулю. Мы получаем таким образом:
2[r[Er˙]]=1m[EP]

I. Bohr, Quantentheorie der Linlenspektren, Braunschweig 1922, S. 101. 2 Проблема впервые была решена P. Epst in, Physical. Rev., Bd. «2 S. 202,1923 .

и
P˙=e[r]+e2mc[YP].

Первый член представляет вращательный момент электрического поля и действующий на электрон, находящийся в центре тяжести траектории. Второй член соответствует теореме Лармора и означает дополнительное вращение вектора $ и с угловой скоростью
e[E]2mc.

Параллельно трем уравнениям, записанным в векторной форме (2), мы выведем еще три уравнения.

Во-первых, среднее значение энергии возбуждения, усредненное по невозмущенному движению
W1=e(r+e2mcGB

постоянно; во-вторых, Я и r расположены взаимно перпендикулярно. Из этого следует
Pr=0

и в третьих β и связаны между собой благодаря еще наличию эксцентрицитета пути. Итак ($22)

ห (8) §22)
[x¯]=32aε
P2=(1ε2)(J2π)2,

где J-невырождающая переменная действия движения, совершающегося без присутствия поля. Исключая ε, имеем
r2+K2P2=(32a)2,

где для сокращения записи положили
(2πJ)2(32a)2=K2.

Пользуясь теперь (3), (4) и (5), можно вывести новое уравнение дла r˙, а именно: продиференцируем (3), (4) и (5) по времени и, выразив P˙ через формулу (2), находим
0=e(r˙+e32mcy[r]=eE(r˙+e2mc[ry])

0=r+e2mcr[yP]=P(r˙+e2mc[rg])0=rr˙+eK2P[r]=r(r˙+eK2[PE]).

Но это обозначает, что скалярные произведения вектора
r+eK2[PE]+e2mc[rE]

на и r исчезают.
Вследствие того, что, вообще как эти три вектора, так и все лежащие в одной плоскости исчезают, то вектор (7) должен быть сам равен нулю. Итак
x=eK2[PE)+e2mc[xW].

Если мы дадим решение системы уравнений (2), (8), то наша задача будет решена. Это проще всего проделать посредством введения вместо неизвестных и r новых векторов
r1=r+KPr2=rKP.

В силу взаимной перпендикулярности r и KP, векторы (9) имеют следующее эначение (форм. (9))
[r1]=[r2]=r2+K2P2=32a.

Далее из r1 и r2 с помощью уравнения
r=12(r1+r2)KP=12(r1r2)

можно всегда отыскать r и β.
Таким образом (2) и (8) переходят в систему уравнений
x1˙=eK[Er1~]+e2mc[Gr1~]r2˙=eK[r2[+e2mc[y~r2]

Если для сокращения написать, что
eKE=wee2mcW=wm2

то система уравнений перепишется следующим образом:
r˙1=[we+wm,r1]r2˙=[we+wm,r2].

Это выражение наглядно изображает равномерное вращение каждого вектора r1 и r2 вокруг осей, определяемых 12mcy+KE : и 12mcGKE, с угловыми скоростями |wm+we|и |wmwe|.

В каждое мгновение [по (11)] расстояние конечных точек обоих векторов пропорционально импульсу вращения движения, и их полусумма равна радиусу-вектору электрического центра тяжести. Если рассматривать случай действия только одного электрического поля E, то x~1 и r2 вращаются относительно оси поля с одинаковой скоростью, но в различных направлениях; за время полного оборота векторов они дважды находятся в одной плоскости с ( располагаясь при этом на одной и той же стороне от E.

В этом положении их разность, т. е. общий импульс P достигает минимума, эксцентрицитет достигает максимума и плоскость траектории минимально отклоняется от экваториальой плоскости поля. Между этими двумя положениями существует еще два других, где r1,r2 и (5 также лежат в одной плоскости, но на различных сторонах относительно (E. В этом положении P обладает максимумом, эксцентрицитет имеет самое меньшее значение и плоскость траектории наиболее сильно отклонена от экваториальной плоскости. За время, втечение которого брацию, направление P совершит только одно вращение, т. е. линия узлов плоскости траектории обернется один раз.

Описание движения электрического центра тяжести пути можно вывести непосредственно из уравнений (2) и (8) (для y=0 ). Диференцируя (8) по времени и подставляя значение P из: (2), получаем:
r¨=e2K2[(r~)]

Это обозначает, что r¨ всегда направлено перпендикулярно к оси поля и что |r¨| пропорционально расстоянию электрического центра тяжести [EE]^|E| к оси поля.

Таким образом электрический центр тяжести колеблется тармонически относительно оси поля (ср. § 37).

В случае наличия только одного магнитного поля, r1 и r2 вращаются вокруг оси поля в одинаковом направлении с равными угловыми екоростями
|wm|=e2mc|y|
т. е. вся система совершает равномерную прецессию (Л а р о рпрецессия) относительно оси поля.

Наконец, в случае действия обоих полей векторы r1 и r2 вращаются вокруг различных осей. Этим нарушается простое соотношение фаз, которое мы имели в электрическом поле между оборотами линии узлов с одной стороны и наклоном пути и эксцентрицитетом с другой.
Наступает очень сложное состояние движения.
Особенно затруднителен тот случай, когда сферы, описываемые векторами r1 и r2, пересекают друг друга, вследствие чего при соизмеримости частот вращения векторы x1 и r2 приближаются друг к другу произвольно близко, и,. значит, импульс вращения β делается произвольно малым.

Если же частота оборотов по эллипсу относится к обеим другим частотам, как отрицательные числа, то электрон подходдит к ядру произвольно близко.

Такие движения мы уже в силу наших основных положений исключили.

Правда, в дальнейшем, при выводе квантовых условий, мы увидим, что такие пути можно свести адиабатически к путям, характерным для эффекта 3 еемана или для явления Штарка, исследованием которых мы занимались выше.

Перейдем теперь к рассмотрению энергии возмущенного движения и к установлению стационарных состояний. Под влиянием обоих полей E и y к энергии W0 невозмўщенного движения присоединяется еще один член (3)
W1=erC+e2mcBq.

Выражая r и B по (11) через r1 и r2, получаем
W1=e2(r1+r¯2)c+e4mcK(r1r2)D

и если по (13) ввести вектора we и wm, то имеем:
W1=12K{r1(we+wm)+r2(wewm)}.

Определим теперь частоты u и u, как
\[
\begin{array}{l}

u^{\prime}=\frac{1}{2 \pi}\left|\mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}\right|, \

u^{\prime \prime}=\frac{1}{2 \pi}\left|\mathfrak{w}_{e}-\mathfrak{w}_{m}\right|,
\end{array}
\]

после чего энергия приводится к форме
W1=uJ+uJ,

где J и J имеют значения
J=122πK|r1cos(r1we+wm)J=122πK|r2|cos(r2,wewm).

Поэтому в силу (6) и (10) можно написать:
J=12Jcos(r1,we+wm)J=12Jcos(r2,wewm).

Так как u и u в уравнении (18) постоянные, то из формы этого уравнения следует, что J и J — переменные действия, сопряженные к угловым переменным
w=ut+δw=ut+δ.

Итак, все условия для периодичности § 15 выполнены совершенно, следовательно, величины J и J определяются квантовыми условиями
J=nhJn=nh.

Это обозначает, в несколько измененной форме, пространственное квантование, в то время как по (19):
cos(r1,w0+wm)=2nncos(r2,w0wm)=2nn.

Квантовые числа n и n, как мы видим, на этот раз ограничены интервалом (n2,n2). В случае исчезновения магнитного поля ξ появляется вырождение, так как тогда
\[

u^{\prime}=y^{\prime \prime}=v_{e} \text {. }
\]

Ворн-409-16

Поэтому вместо J и J вводится старая переменная действия Je=J+J и получается
W1=ueJe

в соответствии с прежними результатами. Совершенную аналогию мы имеем при одном только магнитном поле
Jnn=JnJn

и
W1=γmJm.

Если одновременно с конечным электрическим полем включить слабое магнитное поле, то оси вращения векторов r1 и r2 будут иметь почти противоположные направления. Из того факта, что при исчезающем магнитном поле сферы, описываемые векторами r1 и r2, не могут сливаться (это обозначало бы при эффекте Штарка, что P=0 ), можно сделать заключение, что они не пересекаются при слабом магнитном поле.

Однако при адиабатическом увеличении W угол раствора сохраняется, и мы, наконец, приходим к точке, где сферы встречаются. То же получается, если исходить из конечного магнитного и слабого электрического полей. Оси вращения имеют при этом почти одно направление, и сферы не пересекаются, но при адиабатическом увеличении ( они в конце концов встретятся. Таким образом, мы можем траектории свести к таким, по которым электрон может подходить произвольно близко к ядру. Дать сейчас объяснение этому затруднению еще невозможно. Можно лишь предполагать, что J при рассмотренных нами здесь адиабатических изменениях не будет строго инвариатна, так как мы все время имели дело с состояниями, при которых всегда были на лицо между частотами (нетождественные) соизмеримости (случайные вырождения см. § 15 и § 16).

1
Оглавление
email@scask.ru