Для описания вековых движений водородного атома в электрическом поле Бор предложил еще один очень наглядный путь \( { }^{1} \). Затем Ленц и Клайн \( { }^{2} \) разработали вопрос одновременного влияния магнитного и произвольно к нему направленного электрического поля. Мы приведем здесь вычисления для случая электрического поля ⿷ и магнитного поля \( \mathfrak{b} \). Невозмущенное движение ( \( (\mathfrak{E}=\mathfrak{W}=0 \) ) имеет шесть независимых постоянных интеграции; выберем в качестве таких постоянных вектор \( \mathfrak{P} \) импульса вращения и радиус-вектор \( \overline{\mathfrak{x}} \) электрического центра тяжести пути. Ввиду того, что झ и \( \mathfrak{x} \) взаимно перпендикулярны, мы имеем только пять независимых величин.

Шестой величиной выберем величину, которая определила бы фазу движения; но она для нас является не столь существенной. и нашей задачей является установление диференциальных уравнений для \( \mathfrak{P} \) и \( \mathfrak{x} \). Электрическсе и магнитное поля обусловливают появление момента вращения, действующего на траекторию электрона. Этот момент дает нам производную по времени от импульса вращеиия \( \mathfrak{\Re} \). Из уравнения движения электрона
\[
m \ddot{\mathfrak{r}}=Z e^{2} \operatorname{grad} \frac{1}{[\mathfrak{r}]}-e\left[\mathfrak{E}+\frac{e}{c}[\mathfrak{\mathfrak { b }} \dot{\mathfrak{r}}]\right.
\]

посредством векторного умножения на \( \mathfrak{x} \) следует изменение импульса со временем:
\[
\dot{\mathfrak{H}}=m[\mathfrak{r r}]=e[\mathfrak{F r}]+\frac{e}{c}[\dot{\mathfrak{r}}[\dot{\mathfrak{q}} \dot{\mathrm{r}}]] .
\]

Вековую часть движения мы получаем, образовав среднее значение по невозбужденному движению.

Соответствующим образом получается магнитная часть, если предварительно ввести с помощью известных формул векторного анализа импульс вращения \( \mathfrak{P} \)
\[
\begin{array}{c}
{[\mathfrak{r}[\mathfrak{W} \mathfrak{r}]]=[\mathfrak{E}[\dot{\mathfrak{r r}}]]+[\dot{\mathfrak{r}}[\mathfrak{F} \mathfrak{r}]]=} \\
=\frac{1}{m}[\mathfrak{H} \mathfrak{H}]+[\dot{\mathfrak{r}}[\mathfrak{G} \mathfrak{r}]]
\end{array}
\]

и далее принять во внимание, что
\[
[\mathfrak{r}[\mathfrak{y} \dot{\mathfrak{r}}]]+[\dot{\mathfrak{r}}[\mathfrak{F} \mathfrak{x}]]=\frac{d}{d t}[\mathfrak{x}[\mathfrak{b} \mathfrak{r}]]
\]

усредненное по времени, равно нулю. Мы получаем таким образом:
\[
\overline{2[\mathfrak{r}[\mathfrak{E} \dot{\mathfrak{r}}]]}=\frac{1}{m}[\mathfrak{E} \mathfrak{P}]
\]

I. Bohr, Quantentheorie der Linlenspektren, Braunschweig 1922, S. 101. 2 Проблема впервые была решена P. Epst in, Physical. Rev., Bd. «2 S. 202,1923 .

и
\[
\dot{\mathfrak{P}}=e[\overline{\mathfrak{\mathfrak { r }}}]+\frac{e}{2 m c}[\mathfrak{\mathfrak { Y }} \mathrm{P}] .
\]

Первый член представляет вращательный момент электрического поля и действующий на электрон, находящийся в центре тяжести траектории. Второй член соответствует теореме Лармора и означает дополнительное вращение вектора \( \mathfrak{\$} \) и с угловой скоростью
\[
\frac{e[\mathfrak{E}]}{2 m c} .
\]

Параллельно трем уравнениям, записанным в векторной форме (2), мы выведем еще три уравнения.

Во-первых, среднее значение энергии возбуждения, усредненное по невозмущенному движению
\[
W_{1}=e\left(\overline{\mathfrak{r}}+\frac{e}{2 m c} \mathfrak{G} \mathfrak{B}\right.
\]

постоянно; во-вторых, Я и \( \overline{\mathfrak{r}} \) расположены взаимно перпендикулярно. Из этого следует
\[
\overline{\mathfrak{P r}}=0
\]

и в третьих \( \mathfrak{\beta} \) и связаны между собой благодаря еще наличию эксцентрицитета пути. Итак (\$22)

ห (8) \( \S 22) \)
\[
[\bar{x}]=\frac{3}{2} a \varepsilon
\]
\[
\mathfrak{P}^{2}=\left(1-\varepsilon^{2}\right)\left(\frac{J}{2 \pi}\right)^{2},
\]

где \( J \)-невырождающая переменная действия движения, совершающегося без присутствия поля. Исключая \( \varepsilon \), имеем
\[
\overline{\mathfrak{r}}^{2}+K^{2} \mathfrak{P}^{2}=\left(\frac{3}{2} a\right)^{2},
\]

где для сокращения записи положили
\[
\left(\frac{2 \pi}{J}\right)^{2}\left(\frac{3}{2} a\right)^{2}=K^{2} .
\]

Пользуясь теперь (3), (4) и (5), можно вывести новое уравнение дла \( \dot{\overrightarrow{\mathrm{r}}} \), а именно: продиференцируем (3), (4) и (5) по времени и, выразив \( \dot{\mathfrak{P}} \) через формулу (2), находим
\[
0=e\left(\dot{\overrightarrow{\mathfrak{r}}}+\frac{e^{\mathfrak{3}}}{2 m c} \mathfrak{\mathfrak { y }}[\mathfrak{\mathfrak { \mathfrak { r } }}]=e \mathfrak{\mathscr { E }}\left(\dot{\overline{\mathfrak{r}}}+\frac{e}{2 m c}[\overrightarrow{\mathfrak{r} \mathfrak{y}}]\right)\right.
\]

\[
\begin{array}{l}
0=\mathfrak{\vec { \mathfrak { r } }}+\frac{e}{2 m c} \overline{\mathfrak{r}}[\mathfrak{y} \mathfrak{P}]=\mathfrak{P}\left(\dot{\overline{\mathfrak{r}}}+\frac{e}{2 m c}[\overline{\mathfrak{r}} \mathfrak{g}]\right) \\
0=\overline{\mathfrak{r}} \dot{\mathfrak{r}}+e K^{2 \mathfrak{P}}[\mathfrak{\mathfrak { r }}]=\overline{\mathfrak{r}}\left(\dot{\overline{\mathfrak{r}}}+e K^{2}[\mathfrak{P} \mathfrak{E}]\right) .
\end{array}
\]

Но это обозначает, что скалярные произведения вектора
\[
\stackrel{\bullet}{\mathfrak{r}}+e K^{2}[\mathfrak{P E}]+\frac{e}{2 m c}[\overline{\mathfrak{r}} \mathfrak{E}]
\]

на \( \mathfrak{\gtrless} \) и \( \overline{\mathfrak{r}} \) исчезают.
Вследствие того, что, вообще как эти три вектора, так и все лежащие в одной плоскости исчезают, то вектор (7) должен быть сам равен нулю. Итак
\[
\overline{\overline{\mathfrak{x}}}=e K^{2}[\mathfrak{P} \mathfrak{E})+\frac{e}{2 m c}[\overline{\mathfrak{x}} \mathfrak{W}] .
\]

Если мы дадим решение системы уравнений (2), (8), то наша задача будет решена. Это проще всего проделать посредством введения вместо неизвестных \( \mathfrak{\gtrless} \) и \( \overline{\mathfrak{r}} \) новых векторов
\[
\begin{array}{l}
\overline{\mathfrak{r}_{1}}=\overline{\mathrm{r}}+K \mathfrak{P} \\
\overline{\mathrm{r}_{2}}=\overline{\mathrm{r}}-K \mathfrak{P} .
\end{array}
\]

В силу взаимной перпендикулярности \( \overline{\mathfrak{r}} \) и \( K^{\mathfrak{P}} \), векторы (9) имеют следующее эначение (форм. (9))
\[
\left[\overline{\mathrm{r}}_{1}\right]=\left[\overline{\mathrm{r}_{2}}\right]=\sqrt{\overline{\mathrm{r}^{2}}+K^{2} \mathfrak{P}^{2}}=\frac{3}{2} a .
\]

Далее из \( \overline{\mathrm{r}}_{1} \) и \( \overline{\mathrm{r}}_{2} \) с помощью уравнения
\[
\begin{aligned}
\overline{\mathfrak{r}} & =\frac{1}{2}\left(\overline{\mathrm{r}_{1}}+\overline{\mathrm{r}_{2}}\right) \\
K \mathfrak{P} & =\frac{1}{2}\left(\overline{\mathrm{r}_{1}}-\overline{\mathrm{r}_{2}}\right)
\end{aligned}
\]

можно всегда отыскать \( \overline{\mathfrak{r}} \) и \( \mathfrak{\beta} \).
Таким образом (2) и (8) переходят в систему уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{\overline{\mathfrak{x}_{1}}}=e K\left[\widetilde{\mathfrak{E} \mathfrak{r}_{1}}\right]+\frac{e}{2 m c}\left[\widetilde{\mathfrak{G r}_{1}}\right] \\
\dot{\overline{\mathrm{r}_{2}}}=-e K\left[\mathfrak { \mathfrak { r _ { 2 } } } \left[+\frac{e}{2 m c}\left[\tilde{\mathfrak{y}} \overline{\mathrm{r}}_{2}\right]\right.\right. \\
\end{array}
\]

Если для сокращения написать, что
\[
\begin{array}{c}
e K \mathfrak{E}=\mathfrak{w}_{e} \\
\frac{e}{2 m c} \mathfrak{W}=\mathfrak{w}_{m 2}
\end{array}
\]

то система уравнений перепишется следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\overline{\mathfrak{r}}}_{1}=\left[\mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}, \overline{\mathfrak{r}}_{1}\right] \\
\dot{\mathfrak{\mathfrak { r }}_{2}}=\left[-\mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}, \overline{\mathfrak{r}_{2}}\right] .
\end{array}
\]

Это выражение наглядно изображает равномерное вращение каждого вектора \( \overline{r_{1}} \) и \( \overline{r_{2}} \) вокруг осей, определяемых \( \frac{1}{2 m c} \mathfrak{y}+K \mathfrak{E} \) : и \( \frac{1}{2 m c} \mathfrak{G}-K \mathfrak{E} \), с угловыми скоростями \( \left|\mathfrak{w}_{m}+\mathfrak{w}_{e}^{-}\right| \)и \( \left|\mathfrak{w}_{m}-\mathfrak{w}_{e}\right| \).

В каждое мгновение [по (11)] расстояние конечных точек обоих векторов пропорционально импульсу вращения движения, и их полусумма равна радиусу-вектору электрического центра тяжести. Если рассматривать случай действия только одного электрического поля \( \mathfrak{E} \), то \( \widetilde{\mathfrak{x}}_{1} \) и \( \mathrm{r}_{2} \) вращаются относительно оси поля с одинаковой скоростью, но в различных направлениях; за время полного оборота векторов они дважды находятся в одной плоскости с ( располагаясь при этом на одной и той же стороне от E.

В этом положении их разность, т. е. общий импульс \( \mathfrak{P} \) достигает минимума, эксцентрицитет достигает максимума и плоскость траектории минимально отклоняется от экваториальой плоскости поля. Между этими двумя положениями существует еще два других, где \( \overline{\mathfrak{r}}_{1}, \overline{\mathfrak{r}}_{2} \) и (5 также лежат в одной плоскости, но на различных сторонах относительно (E. В этом положении \( \mathfrak{P} \) обладает максимумом, эксцентрицитет имеет самое меньшее значение и плоскость траектории наиболее сильно отклонена от экваториальной плоскости. За время, втечение которого брацию, направление \( \mathfrak{P} \) совершит только одно вращение, т. е. линия узлов плоскости траектории обернется один раз.

Описание движения электрического центра тяжести пути можно вывести непосредственно из уравнений (2) и (8) (для \( \mathfrak{y}=0 \) ). Диференцируя (8) по времени и подставляя значение \( \mathfrak{P} \) из: (2), получаем:
\[
\ddot{\overline{\mathfrak{r}}}=e^{2} K^{2}[\Subset(\widetilde{\mathfrak{r}})] \text {. }
\]

Это обозначает, что \( \ddot{\overline{\mathfrak{r}}} \) всегда направлено перпендикулярно к оси поля и что \( |\ddot{\mid \vec{r}}| \) пропорционально расстоянию электрического центра тяжести \( \frac{\widehat{[\mathfrak{E} E]}}{|\mathfrak{E}|} \) к оси поля.

Таким образом электрический центр тяжести колеблется тармонически относительно оси поля (ср. § 37).

В случае наличия только одного магнитного поля, \( \overline{\mathfrak{r}_{1}} \) и \( \overline{r_{2}} \) вращаются вокруг оси поля в одинаковом направлении с равными угловыми екоростями
\[
\left|\mathfrak{w}_{m}\right|=\frac{e}{2 m c}|\mathfrak{y}|
\]
т. е. вся система совершает равномерную прецессию (Л а р о рпрецессия) относительно оси поля.

Наконец, в случае действия обоих полей векторы \( \overline{r_{1}} \) и \( \overline{r_{2}} \) вращаются вокруг различных осей. Этим нарушается простое соотношение фаз, которое мы имели в электрическом поле между оборотами линии узлов с одной стороны и наклоном пути и эксцентрицитетом с другой.
Наступает очень сложное состояние движения.
Особенно затруднителен тот случай, когда сферы, описываемые векторами \( \overline{\mathfrak{r}}_{1} \) и \( \overline{\mathfrak{r}}_{2} \), пересекают друг друга, вследствие чего при соизмеримости частот вращения векторы \( \overrightarrow{\mathfrak{x}}_{1} \) и \( \overline{\mathfrak{r}}_{2} \) приближаются друг к другу произвольно близко, и,. значит, импульс вращения \( \mathfrak{\beta} \) делается произвольно малым.

Если же частота оборотов по эллипсу относится к обеим другим частотам, как отрицательные числа, то электрон подходдит к ядру произвольно близко.

Такие движения мы уже в силу наших основных положений исключили.

Правда, в дальнейшем, при выводе квантовых условий, мы увидим, что такие пути можно свести адиабатически к путям, характерным для эффекта 3 еемана или для явления Штарка, исследованием которых мы занимались выше.

Перейдем теперь к рассмотрению энергии возмущенного движения и к установлению стационарных состояний. Под влиянием обоих полей \( \mathfrak{E} \) и \( \mathfrak{y} \) к энергии \( W_{0} \) невозмўщенного движения присоединяется еще один член (3)
\[
W_{1}=e \cdot \overline{\mathfrak{r}} \mathfrak{C}+\frac{e}{2 m c} \cdot \mathfrak{B} \mathfrak{q} .
\]

Выражая \( \overline{\mathfrak{r}} \) и \( \mathfrak{B} \) по (11) через \( \overline{\mathrm{r}}_{1} \) и \( \overline{\mathrm{r}}_{2} \), получаем
\[
W_{1}=\frac{e}{2}\left(\overline{r_{1}}+\bar{r}_{2}\right) \mathfrak{c}+\frac{e}{4 m c K}\left(\overline{r_{1}}-\overline{r_{2}}\right) \mathfrak{D}
\]

и если по (13) ввести вектора \( \mathfrak{w}_{e} \) и \( \mathfrak{w}_{m} \), то имеем:
\[
W_{1}=\frac{1}{2 K}\left\{\overline{r_{1}}\left(\mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}\right)+\overline{\mathfrak{r}_{2}}\left(\mathfrak{w}_{e}-\mathfrak{w}_{m}\right)\right\} .
\]

Определим теперь частоты \(
u^{\prime} \) и \(
u^{\prime \prime} \), как
\[
\begin{array}{l}

u^{\prime}=\frac{1}{2 \pi}\left|\mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}\right|, \\

u^{\prime \prime}=\frac{1}{2 \pi}\left|\mathfrak{w}_{e}-\mathfrak{w}_{m}\right|,
\end{array}
\]

после чего энергия приводится к форме
\[
W_{1}=
u^{\prime} J^{\prime}+
u^{\prime \prime} J^{\prime \prime},
\]

где \( J^{\prime} \) и \( J^{\prime \prime} \) имеют значения
\[
\begin{array}{l}
\left.J^{\prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{K} \right\rvert\, \overline{r_{1}} \cos \left(\overline{\mathfrak{r}_{1}} \mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}\right) \\
J^{\prime \prime}=\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \pi}{K}\left|\overline{r_{2}}\right| \cos \left(\overline{\mathfrak{r}_{2}}, \mathfrak{w}_{e}-\mathfrak{w}_{m}\right) .
\end{array}
\]

Поэтому в силу (6) и (10) можно написать:
\[
\begin{array}{l}
J^{\prime}=\frac{1}{2} J \cos \left(\overline{\mathfrak{r}_{1}}, \mathfrak{w}_{e}+\mathfrak{w}_{m}\right) \\
\left.J^{\prime \prime}=\frac{1}{2} J \cos \overline{\left(\mathfrak{r}_{2}\right.}, \mathfrak{w}_{e}-\mathfrak{w}_{m}\right) .
\end{array}
\]

Так как \(
u^{\prime} \) и \(
u^{\prime \prime} \) в уравнении (18) постоянные, то из формы этого уравнения следует, что \( J^{\prime} \) и \( J^{\prime \prime} \) – переменные действия, сопряженные к угловым переменным
\[
\begin{array}{c}
w^{\prime}=
u^{\prime} t+\delta^{\prime} \\
w^{\prime \prime}=
u^{\prime \prime} t+\delta^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Итак, все условия для периодичности § 15 выполнены совершенно, следовательно, величины \( J^{\prime} \) и \( J^{\prime \prime} \) определяются квантовыми условиями
\[
\begin{aligned}
J^{\prime} & =n^{\prime} h \\
J^{n} & =n^{\prime \prime} h .
\end{aligned}
\]

Это обозначает, в несколько измененной форме, пространственное квантование, в то время как по (19):
\[
\begin{array}{l}
\cos \left(\overline{\mathfrak{r}_{1}}, \mathfrak{w}_{0}+\mathfrak{w}_{m}\right)=2 \frac{n^{\prime}}{n} \\
\cos \left(\overline{\mathfrak{r}_{2}}, \mathfrak{w}_{0}-\mathfrak{w}_{m}\right)=2 \frac{n^{\prime \prime}}{n} .
\end{array}
\]

Квантовые числа \( n^{\prime} \) и \( n^{\prime \prime} \), как мы видим, на этот раз ограничены интервалом \( \left(-\frac{n}{2}, \frac{n}{2}\right) \). В случае исчезновения магнитного поля \( \mathfrak{\xi} \) появляется вырождение, так как тогда
\[

u^{\prime}=y^{\prime \prime}=v_{e} \text {. }
\]

Ворн-409-16

Поэтому вместо \( J^{\prime} \) и \( J^{\prime \prime} \) вводится старая переменная действия \( J_{e}=J^{\prime}+J^{\prime \prime} \) и получается
\[
W_{1}=
u_{e} \cdot J_{e}
\]

в соответствии с прежними результатами. Совершенную аналогию мы имеем при одном только магнитном поле
\[
J_{n n}=J^{n}-J^{n}
\]

и
\[
W_{1}=\gamma_{m} \cdot J_{m} .
\]

Если одновременно с конечным электрическим полем включить слабое магнитное поле, то оси вращения векторов \( \overline{r_{1}} \) и \( \overline{r_{2}} \) будут иметь почти противоположные направления. Из того факта, что при исчезающем магнитном поле сферы, описываемые векторами \( \overline{\mathfrak{r}_{1}} \) и \( \overline{\mathfrak{r}_{2}} \), не могут сливаться (это обозначало бы при эффекте Штарка, что \( \mathfrak{P}=0 \) ), можно сделать заключение, что они не пересекаются при слабом магнитном поле.

Однако при адиабатическом увеличении \( \mathfrak{W} \) угол раствора сохраняется, и мы, наконец, приходим к точке, где сферы встречаются. То же получается, если исходить из конечного магнитного и слабого электрического полей. Оси вращения имеют при этом почти одно направление, и сферы не пересекаются, но при адиабатическом увеличении ( они в конце концов встретятся. Таким образом, мы можем траектории свести к таким, по которым электрон может подходить произвольно близко к ядру. Дать сейчас объяснение этому затруднению еще невозможно. Можно лишь предполагать, что \( J \) при рассмотренных нами здесь адиабатических изменениях не будет строго инвариатна, так как мы все время имели дело с состояниями, при которых всегда были на лицо между частотами (нетождественные) соизмеримости (случайные вырождения см. § 15 и § 16).