В обоих законах атомной механики, выведенных в \( \$ 10 \), находит свое обоснование требование устойчивости атома, вопрос о котором возбуждался еще во введении.

Обратимся теперь к вопросу, в какой степени они соответствуют требованиям о сохранении классической теории, как предельного случая квантовой теории.

В обоих квантовых законах характерной величиной выступает планковская постоянная \( h \), измеряющая расстояние квантовых состояний.

Наше требование означает, что в предельном случае, когда \( h \rightarrow 0 \), квантовые законы переходят в классические. Тогда дискретные уровни энергии сливаются в континуум классической теории. Особенно тщательного исследования требует условие частот. Исследуем, согласуется ли частота, вычисленная на его основании, с частотой в предельном случае, ожидаемой по классической теории.
1 Это квантовое условие впервые в геометрической форме было приведено М. Планком в Лекциях по теории теплоизлучения“ 1 изд. § 150, 1906. Оно также встречаетс у П. Дебая \”Доклады по кинетической теории материи и электричества\”. S. 27, 1913.

По классической теории излучение системы электрически заряженных частиц с зарядами \( e_{k} \) в местах \( \mathfrak{r}_{k} \) определяется электрическим моментом
\[
\mathfrak{p}=\sum_{k} e_{k} \mathfrak{r}_{k} .
\]

Если излучение за период незначительно, то для определенного промежутка времени можно не принимать во внимание затухания. В случае системы с одной степенью свободы, что имеет здесь место, прямоугольные координаты зарядов будут периодическими функциями
\[
w=y t+\delta
\]

с периодом 1. Тадк как то же действительно и для \( \mathfrak{p} \), каждую компоненту электрического момента можно развернуть в ряд Фурье в виде
\[
\sum_{\tau=\infty}^{\infty} C_{\tau} e^{2 \pi i \tau w} .
\]

Здесь \( C_{\tau} \) – комплексиые числа, но, так как электрический момент реальньй, то \( C_{\tau} \) и \( C_{-\tau} \) должны быть сопряженными комплексными величинами.

На основании этого положения колебания электрического момента во времени можно представлять себе, как некоторое наложение гармонического колебания и частоты гү; амплитуды соответствующих частичньх колебаний момента равны \( \left|C_{\tau}\right| \), а их энергии пропорииональны \( \left|C_{\tau}\right|^{2} \).

Одно такое частичное колебание классически давало бы частоту излучения
\[
\widetilde{
u}_{k l}=\tau
u=\tau \frac{d W}{d J}=\frac{d W}{d \frac{J}{\tau}} .
\]

Сравним ее с квантотеоретической частотой \( { }^{2} \)
\[
\tilde{v_{q u}}=-\frac{\Delta W}{h} .
\]

В рассматриваемом здесь квантовом переходе уменьшим квантовое число \( n \) на \( \tau \)
\[
\Delta J=J_{2}-J_{1}=\left(n_{2}-n_{1}\right) h=-\tau h,
\]

так что можно написать
\[
\widetilde{
u}_{q u}=\frac{\Delta W}{\Delta \frac{J}{\tau}} .
\]
1 В ряде фурье рядом с \( \tau \) появляется всегда и \( -\tau \), как коэфнциент; знак для классической частоты не имеет значения.
2 Положительное \( \widetilde{
u} \) в выражении квантотеоретической частоты обозначает эмиссию, отрицательное – поглощение.

Переходя к пределу \( h \rightarrow 0 \) или \( \Delta \frac{J}{\tau} \rightarrow 0 \), замечаем тождественность (1) и (2).

Для конечных \( h \) соотношение между частотами (1) и (2) можно сформулировать следующим образом:

В квантовой теории производнье классической теории заменяются частными разностей. Переходов к пределу бесконечно малых изменений независимых переменных, при конечных интервалах величины \( h \), не делается.

Переход между двумя соседними квантовыми состояниями при \( \tau=1 \) соответствует классическому основному колебанию; переход, при котором \( n \) изменяется на \( \tau \), соответствует классическому \( \tau \)-ому оберколебанію \( \sim=\tau \).

Это взаимоотношение между классической и квантотеоретической частотами представляет сущность принципа соответствия Бора.

В общем случае, при таком соответствии, квантотеоретическая частота \( \tilde{
u} \) и классическая \( \tau
u \) все же различнь.

Если переходить (вместо \( \lim h \rightarrow 0 \) ) к пределу больших квантовых чисел \( W \) и рассматривать лишь изменения \( n \), являющиеся относительно малыми по сравнению со значением \( n \), то благодаря монотонному характеру (9) функции \( W(J) \) производные будут очень близко совпадать с частными разностей, и тогда получается приближенно прави.тьное уравнение.
\[
\dot{\hat{v}}=\tau
u=\left(n_{1}-n_{2}\right)
u \quad\left(n_{1}, n_{2} \text { большие; } \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}} \text { мало }\right) .
\]

Если \( n_{1}-n_{2} \) не мало по сравнению с \( n_{1} \), то совпадение классической и квантово-теоретической частоты еще менее соответствует действительности.

При заданном \( n_{1} \) даже соответствие частот при эмиссии \( \left(n_{1}>n_{2}\right. \) ) имеет предел, в то время как \( \tau=n_{1}-n_{2} \) не может быть больше \( n_{1} \).

До сих пор установленные квантовые законы еще не дают полного описания процессов излучения. Например, световая волна, кроме частоты, определяется еще интенсивностью, фазой и состоянием поляризации. Но квантовая теория в настоящий момент не в состоянии еще дать точного ответа. Правда, Бор показал, как можно получить во всяком случае приближенное понятие об интенсивности и поляризации, перенося принци соответствия от частот на амплитуды.

Чтобы квантовая и классическая теории, несмотря на различные механизми излучения, в предельном случае больших квантовых чисел (или при \( \lim h \rightarrow 0 \) ! придавали то же значение излучению, также и в отношении распределения интенсивности при частичнњх колебания \( \mathbf{x} \), – необходимо предположить, что коэфициенты Фурье \( C_{\tau} \) в каждом предельном случае определяют силу кванто-теоретической световой эмиссии.

Их физическое значение различно смотря по тому, как понимать механизм излучения. Предположим, что излучение происходит лишь во время процесса перехода, при строгом соблюдении закона сохранения энергии; тогда \( C_{\text {т }} \) определяют вероятность перехода.

По новому учению Бора атомная система в возбужденном состоянии (состояние высокой энергии) излучает произвольно частоты \( \widetilde{\gamma}_{q_{u}} \), соответствующие переходам к состояниям низших энергий с определенными амплитудами \( C_{\tau, q u} \). Принцип соответствия говорит, что для больших квантовых чисел \( C_{i} \), qu приближенно совпадают с классическими \( C_{\tau} \).

При этом \( C_{\tau, q_{u}} \) определяют вероятности переходов с условием, чтобы закон сохранения энергии сохранялся статистически. Рассматривая различные компоненты электрического момента \( \mathfrak{p} \) одновременно с интенсивностями, мы получаем определение поляризационных отношений.

Особенно важен случай, когда \( C_{\mathrm{z}}=0 \); тогда соответствующая частота квантотеоретически не будет высылаться, и переход, соответствующий ей, не наступит. Так как принцип соответствия дает лишь соответствие между классическим и квантотеоретическим излучением, – выведенные из него возможности имеют силу лишь в тех случаях, когда атомная система находится во взаимодействии с излучением. Сохранение его для переходов между атомными системами при ударах не обязательно.

На основании принципа соответствия, легко преодолевается затруднение, встретившееся нам при резонаторе еще во введении (§ 1,2 ).
Представим длину \( q \), как функцию угловой переменной по (9) §9.
\[
\Rightarrow \sqrt{\frac{J}{2 \pi^{2}
u m}} \sin 2 \pi w .
\]

Это очевидно представляет ряд Фурье лишь с одним членом \( \tau= \pm 1 \), смотря по тому, возьмем ли мы положительный корень или отрицательный. По принципу соответствия, квантовое число при резонаторе должно измениться только на 1 и поэтому следует
\[
\tilde{
u}=v .
\]

Вследствие принципа соответствия получается, что некоторый резонатор в отношении частоты излучения ведет себя как кванто-теоретически, так и классически; но при других аномальных системах, как мы увидим в дальнейшем, это ни в коем случае не имеет места.