Уже проблема трех тел, а тем более проблема многих тел принадлежат к таким задачам механики, решить которые невозможно с помощью разделения переменных; и вообще говоря, решаются они трудно. В таких случаях пользуются методом последовательного приближения. Этот метод применим, если в функцию Гамильтона можно ввести параметр \( \lambda \) так, чтоона для \( \lambda=0 \) переходит в функцию Гам ильтона \( H_{0} \) некоторой проблемы, решаемой способом разделения переменных. Кроме того, ее можно развернуть в ряд
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1}+\lambda^{2} H_{2}+\ldots
\]

сходящийся для достаточно большого интервала значений координат и импульсов.

Проблемами этого типа занимается небесная механика, пользуясь при этом приводящими к решению методами, носящими общее название теории возмущения. Дополнительный член \( \lambda H_{1}+\lambda^{2} H_{2}+\cdots \) можно рассматривать, как член, обусловленный \”возбуждением “ движения, определяющегося членом \( H_{0} \). Кван\”овая теория рассматривает многопериодические решения проблемы движений. Методы, которыми мы в дальнейшем будем пользоваться для решения этих проблем, в основном будут являться методами, изложенными подробно Пуанкаре в его работе \”Méthodes nouvelles de la mécanique céleste\”, 3 тома, Париж, 1892 – 99).

Под решением мы понимаем здесь, как всегда, нахождение функции действия \( S \), дающей канонические преобразования
\[
p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}}, \quad w_{k}=\frac{\partial s}{\partial J_{k}},
\]

что сводит первоначальные координаты и импульсы к угловым переменным и переменныя действия. Предположим, что проблема невозмущенного движения решена, и далее допустим, чтоэто движение является невырожденным. Таким образом мы предполагаем, что между частотами невозмущенного движе ния не существует никаких целочисленных соотношений формы
\[
\left(
u^{0} \tau\right)=
u_{1}{ }^{0} \tau_{1}+\ldots+
u_{f}^{0} \tau_{f}=0
\]

ни тождественно между переменными действия \( J_{k}^{0} \), ни для частных значений \( J_{k}^{0} \), характеризующих исходное движение.

Введем теперь угловые переменные и переменные действия \( w_{k}^{0}, J_{k}^{0} \) невозмущенного движения, как определяющие элементы в функции Гамильтона возмущенной системы. Они принимаются здесь уже не в качестве угловых переменных и переменных действия, а как канонические переменные. Более того, из канонических уравнений
\[
\dot{J}_{k}^{0}=-\frac{\partial H}{\partial w_{k}^{0}}, \quad \dot{w}_{k}^{0}=\frac{\partial H}{\partial J_{k}^{0}}
\]

непосредственно видно, что \( J_{k}^{0} \) зависят от времени и что \( w_{k}^{0} \) больше не являются линейными функциями времени. Для \( \lambda=0 \), \( H \) переходит в функцию Гамильтона \( H_{0} \) невозмущенной системы, зависящую только от \( J_{k}^{\prime} \) :
\[
H_{0}\left(J_{1}^{\circ}, J_{2}^{0}, \ldots\right) \text {. }
\]

Угловые переменные и переменные действия возмущенной системы для \( \lambda=0 \) так же точно переходят в таковые невозмущенной системы.

Для того, чтобы их отыскать, определим производящую функцию канонических преобразований \( S\left(w^{\prime}, J\right) \)
\[
J_{k}^{0}=\frac{\partial S}{\partial w_{k}^{0}} \quad w_{k}=\frac{\partial S}{\partial J_{k}} .
\]

переводящих переменные \( w^{0}, J^{j} \) в новые переменные \( w, J \). При этом необходимо выполнение следующих трех условий (ср. § 15):
(A) координаты положения системы суть периодические функции \( w_{k} \) с простым периодом. 1 ,
(B) \( H \) переходит в функцию \( W \), зависящую только от \( J_{k} \).
(C) \( S^{*}=S-\sum_{k} w_{k} J_{k} \) периодична относительно \( w_{k} \) с периодом 1 .
Следовательно, прямоугольные координаты системы представляют функции \( w_{k}^{0} \) и \( w_{k} \), т. е. периодный параллелепипед \( w_{k}^{0} \)-пространства отображается в такой же \( w_{k} \)-пространства. Если не принимать во внимание произвольного целочисленного линейного взаимного преобразования \( w_{k} \) с детерминатом \( \pm 1 \), то: (4) \( w_{k}=w_{k}^{0}+ \) периодическая функция \( w_{k}^{0} \) (периода 1).

Из этого и из (С) мы можем сделать заключение, что и \( S-\sum_{k} w_{k}^{0} J_{k} \) – также периодическая функция \( w_{k}^{0} \) с периодом 1.

Наоборот, полагая \( S-\sum_{k} w_{k}^{\mathrm{c}} J_{k} \) периодической функцией относительнно \( w_{k}^{0} \) с простым периодом 1 , из
\[
w_{k}=\frac{\partial S}{\partial J_{k}}
\]

следует уравнение (4), а значит и периодичность \( S^{*} \). Ввиду того что координаты положения системы мы заранее задавали, как периодические функции \( w_{k}^{0} \), то они будут также периодическими функциями \( w_{k} \). Следовательно, имеют место условия (A) и (C).

Развернем искомую функцию \( S \) также по \( \lambda \)
(5)
\[
S=S_{0}+\lambda S_{1}+\lambda^{2} S_{2}+\ldots
\]

При этом \( S_{0} \) является производящей функцией тождественного преобразования, следовательно (ср. §7) имеет вид
\[
S_{0}=\sum_{k} w_{k}^{0} J_{k}
\]

и \( S_{1}, S_{2} \).. периодические относительно \( w_{k}^{0} \).
Наоборот, любая функция \( S \), обладающая этими свойствами, приводит к переменным, удовлетворяющим условиям (A) и (C). Подставим разложение \( S \) (5) в уравнение Гамильтона-якоби возмущенного движения
(7) \( \quad H_{0}\left(\frac{\partial S}{\partial w^{0}}\right)+\lambda H_{1}\left(w^{0}, \frac{\partial S}{\partial w^{0}}\right)+\lambda^{2} H_{2}\left(w^{0}, \frac{\partial S}{\partial w^{0}}\right)+\cdots=W(J) \)

и развернем также \( W \) по і:
\[
W=W_{0}(J)+\lambda W_{1}(J)+\lambda^{2} W_{2}(J)+\cdots .
\]

Сравнение коэфициентов равных степеней \( \lambda \) дает некоторое число диференциальных уравнений.
Во-первых получаем
\[
H_{0}(J)=W_{0}(J)
\]
т. е. \( W_{0} \) получается из энергии невозмущенного движения, если заменить \( J_{k}^{0} \) на \( J_{k} \).

Мы будем называть \( W_{0} \) нулевым приближением энергии.

Уравнение для первого приближения мы получаем, уравнивая множители при \( \lambda \).
\[
\sum_{k} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}}+H_{1}\left(w^{0}, J\right)=W_{1}(J),
\]

где \( H_{0}(J) \) и \( H_{1}\left(w^{0}, J\right) \) нужно понимать так, что в \( H_{0}\left(J^{0}\right) \) и \( H_{1}\left(\varpi^{0}, J^{0}\right) \) при неизменной форме функции \( J^{0} \) заменено на \( J \). Из этого уравнения можно определить обе неизвестные функции \( W_{1} \) и \( S_{1} \).

Ввиду того, что \( S_{1} \) должна быть периодическая относительно \( w_{k}^{0} \), то среднее значение суммы (9), распространенной на единичный куб \( w^{0} \)-пространства или по невозмущенному движению во времени, равно 0 . Тогда из (9) следует
\[
W_{1}(J)=\overline{H_{1}\left(w^{0}, J\right)},
\]

где \( H_{1} \) также усреднено по временному изменению невозмущенного движения. Таким образом, мы имеем для \( W_{1} \) выражение, полученное из вычислений векозых возмущений, хотя здесь были сделаны совершенно другие допущения, а именно, что невозбужденное движение не есть вырожденное. Здесь мы такжеможем высказать следующую теорему: энергия возмущенного движения в первом приближении равна энергии невозбужденного движения, увеличенной на среднее по времени значение первого члена функции возмущения по невозбужденному движению. Итак, для определения энергии в этом приближении достаточно только знание невозмущенного движения.
После вычисления \( W_{1}(J) \) для \( S_{1} \) мы имеем уравнение
\[
\sum_{k} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}}=-\widetilde{H}_{1},
\]

где знак \( \sim \) над \( H_{1} \) поставлен для того, чтобы не путать этой функции с ее средним значением
\[
\widetilde{H}_{1}=H_{1}-\bar{H}_{1} .
\]
\( \widetilde{H}_{1} \) мы будем сокращенно называть „периодической частью “ \( H_{1} \). Ее можно записать в виде ряда Фурье с постоянными членами (что помечено индексом при знаке суммы).
\[
\widetilde{H}_{1}=\sum_{\tau}^{\prime} A_{\tau}(J) e^{2 \pi i\left(\tau w^{\bullet}\right)} .
\]

Если представить \( S_{1} \) также з виде ряда \( \Phi \) урье
\[
S_{1}=\sum_{\tau} B_{\tau}(J) e^{2 \pi i\left(\pi w^{0}\right)},
\]

то неизвестные коэфициенты \( B \) (J) можно выразить из (11) через известные \( A_{\tau}^{*}(J) \). Тогда получается
\[
2 \pi i\left(y^{0} \tau\right) B_{\tau}(J)=A_{\tau}(J),
\]

где мы положили
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}}=
u_{k}^{0}(J)
\]

Следовательно, \(
u_{k}^{0}(J) \) из частот \(
u_{k}^{c}\left(J^{0}\right) \) получается благодаря тому, что вместо \( J_{k}^{0} \) мы подставили \( J_{k} \).
Так.мы получаем решение (11)
\[
S_{1}=\sum_{\tau}^{\prime} \frac{1}{2 \pi i} \frac{A_{\tau}}{\left(\tau
u^{0}\right)} e^{2 \pi i\left(\tau w^{\prime}\right)} .
\]

При этом здесь не исключена возможность появления произвольной функции, зависящей только от \( J_{k} \). Для угловых переменных движения в нашем приближении мы получаем
\[
w_{k}=w_{k}^{0}+\lambda \frac{\partial S_{1}\left(w^{0} J\right)}{\partial J_{k}},
\]

из чего находим \( w_{k}^{0} \), как функции времени. На невозмущенное движение накладываются малые периодические колебания, амплитуды которых – величины порядка \( \lambda \), следовательно пропорциональны возмущенным силам, между тем как частоты, от которых невозмущенное движение откловяется мало, равны
\[

u_{k}=
u_{k}^{0}+\lambda \frac{\partial \bar{H}_{1}}{\partial J_{k}}
\]

Для \( J_{k}^{0} \) мы имеем
\[
J_{k}^{0}=J_{k}+\lambda \frac{\partial S_{1}\left(w^{0} J\right)}{\partial w_{k}^{0}}
\]
т. е. и постоянные \( J_{k}^{0} \) в невозбужденном движении испытывают малые колебания с амплитудами величин порядка \( \lambda \). Так называемые вековые возмущения отсутствуют, т. е. изменения постоянных в невозмущенном движении имеют порядок их собственных величин, что мы имели в случае вырождения невозмущенного движения (ср. § 18).

Нужно отметить, что предположение невырожденного характера невозмущенного движения является необходимым допущением, в противном случае выражение (13) не имело бы никакого смысла, так как некоторые из знаменателей ( \( \left(
u^{0}\right) \) исчезали бы. Но мы видим далее, что и при отсутствии такого вырождения знаменатели могут быть бесконечно малыми, если только выбрать соответствующим образом числа \( \tau_{1} \ldots \tau_{f} \). И это возможно бесконечно часто, если \( \tau_{k} \) изменяются от – \( \infty \) до \( \infty \). Этим самым ставится вопрос о сходимости ряда Фурье (13), но к нему мы вернемся еще в конце параграфа, а теперь будем продолжать пока формально-приближенное исследование.

Из (7) посредством сравнения коэфициентов получаются дальнейшие диференциальные уравнения, из которых мы приведем здесь второе (коэфициент при \( \lambda^{2} \) ) и \( n \)-тое (коэфициент при \( \lambda^{n} \) ):
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{k}^{0}}+\sum_{k, j} \frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{k} \partial J_{j}} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{j}^{0}}+ \\
+\sum_{k} \frac{\partial H_{1} \frac{\partial S_{1}}{\partial J_{k}}+H_{2}=W_{2}(J)}{\partial w_{k}^{0}} \\
\sum_{k} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{n}}{\partial w_{k}^{0}}+\sum_{k, j} \frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{k} \partial J_{f}} \sum_{p+q=n} \frac{\partial S_{p}}{\partial w_{k}^{0}} \frac{\partial S_{q}}{\partial w_{j}^{0}}+ \\
+\sum_{k, j, l} \frac{1}{3 !} \frac{\partial^{?} H_{0}}{\partial J_{k} \partial J_{j} \partial J_{l}} \sum_{p+q+r=n} \frac{\partial S_{p}}{\partial w_{k}^{0}} \frac{\partial S_{q}}{\partial w_{j}^{0}} \frac{\partial S_{r}}{\partial w_{l}^{0}}
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{c}
+\ldots+\sum_{k \ldots k_{n}} \frac{1}{n !} \frac{\partial^{n} H_{0}}{\partial J_{k_{1}} \cdots \partial J_{k n}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k_{1}}^{0}} \cdots \frac{\partial S_{n}}{\partial w_{k_{n}}^{0}}+ \\
+\sum_{k} \frac{\partial H_{1}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{n-1}}{\partial w_{k}^{0}}+\ldots \\
+\sum_{k_{1} \cdots k_{n-1}} \frac{1}{(n-1) !} \frac{\partial^{n-1} H_{1}}{\partial J_{k_{1}} \cdots \partial J_{k_{n-1}}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k_{1}}^{0}} \cdots \frac{\partial S_{n-1}}{\partial w_{k_{n-1}}^{0}}+\ldots \\
+\sum_{k} \frac{\partial H_{n-1}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}}+H_{n}=W_{n}(J) .
\end{array}
\]

Все уравнения можно записать в форме
\[
\sum_{k} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{k}} \frac{\partial S_{n}}{\partial w_{k}^{0}}=W_{n}(J)-\Phi_{n}\left(w^{0} J\right),
\]

где \( \Phi_{n} \)– известная функция, периодическая относительно \( { }^{0} \) и \( S_{n} \) и \( W_{n} \) – искомые функции.

Поступая здесь так же, как мы делали и прежде-усредняя по изменению невозмущенного движения во времени, мы имеем

и
\[
\begin{array}{c}
W_{n}(J)=\overline{\boldsymbol{\Phi}_{n}\left(w^{0} J\right)} \\
\sum_{k}
u_{k}^{0}(J) \frac{\partial S_{n}}{\partial w_{k}^{0}}=-\Phi_{n},
\end{array}
\]

где \( \widetilde{\Phi}_{n} \) обозначает снова \( { }_{n} \) периодическую часть“ функции \( \Phi_{n} \). Если написать и здесь правую сторону в виде ряда Фурье
\[
\widetilde{\Phi}_{n}=\sum_{\tau}^{\prime} A_{\tau}(J) e^{2 \pi i\left(\tau w^{0}\right)},
\]

в котором нет ни одного постоянного члена, то интегрирование (21) дает
\[
S_{n}=\sum_{\tau} \frac{1}{2 \pi i} \frac{A_{\tau}}{\left(\tau
u^{0}\right)} e^{2 \pi i\left(\tau w^{0}\right)} .
\]

Этим и решается формально поставленная задача. Для того, чтобы точнее изучить наш метод исследования, проведем вычисления, выражая \( W_{2} \) через коэфициент ряда Фу р ь для функции возмущения. По (13) имеем
\[
S_{1}=\sum_{\tau}^{\prime} \frac{1}{2 \pi i} \frac{A_{\tau}}{\left(\tau
u^{0}\right)} e^{2 \pi i\left(\tau w^{0}\right)},
\]

где \( A_{\tau} \)-коэфициенты ряда Фурь д для \( H_{1} \) и член \( \tau_{1}=\tau_{2}=\ldots= \) \( =\tau_{f}=0 \) отсутствует. Уравнение (17) запишется теперь следующим образом:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k}
u_{k}^{0} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{k}^{0}}+\sum_{k, j} \frac{1}{2 !} \frac{\partial
u_{j}^{0}}{\partial J_{k}} \sum_{\tau}^{\prime} \sum_{\sigma}^{\prime} \frac{\tau_{k} \sigma_{j} A_{\tau} A_{\sigma}}{\left(\tau
u^{0}\right)\left(\sigma
u^{0}\right)} e^{2 \pi i\left(\tau+\sigma, w^{0}\right)}+ \\
\left.+\sum_{k} \sum_{\tau}^{\prime} \sum_{\sigma}^{\prime} \frac{\partial A_{\tau}}{\partial J_{k}} \frac{\sigma_{k} A_{\sigma}}{\left(\sigma
u^{0}\right)^{2}} e^{2 \pi i\left(\tau+\sigma, w^{0}\right.}\right)+H_{2}=W_{2}
\end{array}
\]

Усредняя, получаем \( W_{2} \)
\[
\frac{1}{2} \sum_{k, j} \frac{\partial
u_{j}^{0}}{\partial J_{k}} \sum_{\tau}^{\prime} \tau_{k} \tau_{j} \frac{A_{\tau} A_{-\tau}}{\left(\tau
u^{0}\right)^{2}}-\sum_{k} \sum_{\tau}^{\prime} \frac{\partial A_{\tau}}{\partial J_{k}} \frac{\tau_{k} A_{-\tau}}{\left(\tau
u^{0}\right)}+\bar{H}_{2}=W_{2}
\]

вследствие чего можно написать
\[
W_{2}=\bar{H}_{2}-\frac{1}{2} \sum_{\tau}^{\prime} \sum_{k} \tau_{k} \frac{\partial}{\partial J_{k}}\left(\frac{\left|A_{\tau}\right|^{2}}{\left(\tau
u^{0}\right)}\right)
\]

или (что то же самое, случай (г \( \left.
u^{0}\right)=0 \) исключается)
\[
W_{2}=\bar{H}_{2}-\sum_{\left(\tau
u^{0}\right)>0} \sum_{k} \tau_{k} \frac{\partial}{\partial J_{k}}\left(\frac{\left|A_{\tau}\right|^{2}}{\left(\tau
u^{0}\right)}\right)
\]

Перейдем к вопросу о сходимости полученных этим путем рядов.

Первым долгом нужно решить, нарушает ли сходимость ряда факт малости знаменателей ( \( \left.\tau
u^{0}\right) \) или это компенсируется такой же малостью числителей. Брунс \( { }^{1} \) показал, что решение этого вопроса вполне зависит от теоретического характера отношения частот \(
u_{1}{ }^{0}: v_{2}{ }^{0}: \ldots: v_{f}{ }^{0} \). Он установил следующее положение: те значения периодов \( { }_{v}^{0} \), для которых ряды абсолютно сходятся, и те значения, для которых ни один из отдельных членов ряда. не равен нулю, располагаются произвольно плотно. Если \(
u_{k}^{0} \) будут функции \( J_{k} \), то из этого следует, что функция \( S \), построенная по нашему методу, не является непрерывной функцией \( J_{k} \). Но так как, с другой стороны, эта непрерывность должна всегда предполагаться для того, чтобы уравнения \( \Gamma \) ам ильтон а удовлетворялись в силу (3) и \( J_{k}= \) const, \( w_{k}=\frac{\partial H}{\partial I_{k}} t+ \) const, то отсюда

\( { }^{1} \) H. Bruns, Astr. Nachr., Bd. 109, S. 215, 1884; C. L. Charlier, Mechanik des Himmels, Bd. 2, S. 307, Leipzig, 1907.

следует, что наши ряды не обязательно должны описывать совершенно точно движение даже и тогда, когда они непосредственно. сходятся. Эти результаты исследований Бруна были дополнены работами Пуанкаре \( { }^{\text {. }} \).
Такие дополнения выразились в следующем:
Исключая некоторые частные случаи, даже и при условии малости фуукиии возмущения, вообще говоря, невозможно стро-20 описать движение во времени возмущенной системь посредством fкратных сходящихся рядоз Фурье, и также нельзя воодить постоянные во времени величины \( J_{k} \), служащие для определения квантовых траекторий.

По этой причине нам не удалось до сих пор доказать устойчивость системы планет, т. е. доказать, что взаимные расстояния планет и их расстояние от солнца остаются всегда в пределах конечных неизменных границ и тогда, когда мы оперируем с бесконечно длинными промежутками времени.

Хотя в нашем приближенном способе вычислений мы и не пользуемся сходящимися, строго говоря, рядами, однако, этот метод в небесной механике стал очень распространенным.

Если пользоваться ими с нужной для нас точностью, т. е. останавливаться на – соответствующем для нас члене, то с помощью их можно описать достаточно точно движение возмущенной системы, хотя и не для произвольно больших промежутков времени, но практически очень продолжительных.

Уже из этого видно, что таким путем невозможно обосновать факта абсолютной устойчибости атома. Но мы не станем останавливаться на этих затруднениях и в качестве опыта произведем вычисление энергии с той целью, чтобы проверить, сходятся ли и здесь результаты вычислений с данными опыта, қак это имело место в небесной механике.