Мы предпосылаем сжатое изложение физических основ математической теории атомной механики.

Развитие этих основ имеет два источника: исследсвание теплового излучения, приведшего к открытию квантовых законов, и исследование атомного и молекулярного строения.

Среди всех проявлений атома, могущих быть обнаруженными в физических и химических свойствах тел, явления излучения отличаются тем, что они непосредственно указывают на законы и строение основных составных частей материи.

Самые универсальные законы матєрии выступают в таких явлениях, которые не зависят от природы тел, принимающих участие в этих явлениях.

Именно в этом заключается важность открытия Кирхгофа, показавшего, что тепловое излучение в некоторой закрытой пустоте не зависит от природы, находящейся внутри и образующей стенки субстанции.

В пустоте, заполненной равномерно тепловым излучением и находящейся в равновесии, плотность энергии, приходящейся на интервал частоты \( \vec{q}
u \), равна \( \rho_{
u} d v \), где \( \rho \) – некоторая универсальная функция и температуры T. С точки зрения волновой теории, равномерное макроскопическое излучение энергии понимается, как множество волн всевозможных направлений, интенсивностей, частот и фаз, находящихся в статистическом равновесии с испускающими или поглощающими свет частицами материи.

Для теоретических изысканий взаимодействия между излучением и материей по Кирхгофу действительные атомы субстанции можно заменить простыми моделями, не противоречащими, однако, ни одному из известных законов природы.

В качестве простейшей модели атома, способного испускать или поглощать свет, использовывается гармонический осциллятор.

Здесь движущаяся частица представляет электрон, связанный в определенном равновесном состоянии внутриатомными силами, причина которых заключается в существовании такой же величины положительного заряда.

Это есть некоторый диполь с изменяющимся во времени моментом (длина \( \times \) заряд).

Герц показал, как, на основании уравнений Максвелла, можно высчитать излучение такого колеблющегося диполя. Еще проще получаются вычисления при возбуждении внешними электромагнитными волнами такого резонатора, который использовывается в классической теории дисюерсии для объяснения преломления и поглощения света твердыми телами.
М. Планк произвел статистический подсчет такого взаимодействия. Он нашел, что средняя энергия \( \bar{W} \) системы резонаторов с частотой \(
u \) пропорциональна средней плотности излучения \( p_{y} \), причем коэфициент пропорциональности зависит только от \( у \), но не от \( T \).
\[
\rho_{v}=\frac{8 \pi}{c^{3}} v^{2} \bar{W} .
\]

Позтому полное определение \( \rho_{v}(T) \) сводится к определению средней энергии резонатора и определяется по законам обыкновенной статистики.

Пусть \( q \)-длина некоторого линейного осциллятора; тогда \( p=m q \) импульс и
\[
W=\frac{m}{2} \dot{q}^{2}+\frac{x}{2} q^{2}=\frac{1}{2 m} \cdot p^{2}+\frac{x}{2} q^{2}
\]

энергия
Квази-упругая сила \( x \) с круговой частотой и обыкновенной связана соотношением \( { }^{1} \)
\[
\frac{x}{m}=\omega^{2}=(2 \pi
u)^{2} \text {. }
\]

При вычислении среднего значения некоторой величины, зависящей от \( p \) и \( q \) по правилу статистической механики, эта величина множится на весовой множитель \( e^{-\beta w} \), где \( \beta=\frac{1}{k T} \), после чего идет усреднение по всем состояниям „фазового пространства“ \( (p, q) \). Таким образом в нашем случае средняя энергия
\[
\bar{W}=\frac{\iint W e^{-\beta W} d p d q}{\iint e^{-\beta W} d p d q} .
\]

На основании этого можно, очевидно, написать

где
\[
\bar{W}=-\frac{\partial}{\partial \beta} \log Z,
\]
\[
Z=\iint e^{-\beta W} d p d q \text {. }
\]
1 В дальнейшем мы будем обозначать всегда через ш число колебаний или оборотов системы за \( 2 \pi \) сек. (циклическая частота), а через \(
u \) число их за 1 секунду (частота).

Это есть так называемый иитеграл состояния.
Вычисление \( Z \) дает
\[
Z=\int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\beta}{2 m} p^{2}} d p \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{\beta \mathrm{x}}{2} q^{2}} d q .
\]

Известно, что
\[
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x} d x \doteq \sqrt{\pi}
\]

Следовательно
\[
Z=2 \pi \sqrt{\frac{m}{x} \cdot \frac{1}{\beta}}=\frac{1}{v \beta} .
\]

Таким образом
\[
\bar{W}=\frac{1}{\beta}=k T \text {. }
\]

Это приводит к следующей формуле плотности излучения:
\[
\rho_{
u}=\frac{8 \pi}{c^{3}}
u^{2} k T
\]

Мы получили так называемый закон Релея-Джинса. Он противоречит не только простым данным опыта, показывающим, что интенсивность не растет все время с частотой, но и приводит к невозможному следствию бесконечности общей плотности
\[
\int_{0}^{\infty} \rho_{r} d v .
\]

Формула (3) имеет силу лишь в предельном случае для малых у (длинных волн). В. Вин установил закон, правильно отражающий падение интенсивности в случае высоких частот. Планк остроумной интерполяцией нашел формулу (вскоре после этого обосновав ее теоретически), выражающую в предельном случае эти два закона. Формула следующая:
\[
\rho_{
u}=\frac{8 \pi
u^{2}}{c^{3}} \frac{h
u}{e^{\frac{h v}{k T}}-1},
\]

где \( h \) новая натуральная постоянная, так называемая постоянная Планка. Так как она стоит в центре всей квантовой теории, то мы дадим ее численное значение, а именно она равна
\[
h=6,54 \cdot 10^{-27} \text { эрг. сек. }
\]

Этому закону излучения, как показывают выражения (4) и (1), соответствует энергия резонаторов:
\[
\bar{W}=\frac{h
u}{e^{\frac{h
u}{k T}}-1} .
\]

Чтобы вывести теоретически эту формулу, необходим полнейший отказ от принципов классической механики.
М. Планк заметил, что к цели приводит следующее высказанное им предположение:

Энергия резонаторов должна выражаться не любыми значениями, но лишь такими, которые суть целые кратные числа некоторого элемента энергии \( W_{0} \).
Интеграл состояния по гипотезе Планка заменяется суммой
\[
Z=\sum_{n=0}^{\infty} e^{-\frac{n W_{0}}{k T}}
\]

Суммирование этого геометрического ряда дает
\[
Z=\frac{1}{1-e^{-\frac{W_{0} T}{k T}}} .
\]

Отсюда следует
\[
\bar{W}=\frac{\partial}{\partial \beta} \log \left(1-e^{-\beta W_{0}}\right)=\frac{W_{0} e^{-\beta W_{0}}}{1-e^{-\beta W_{0}}} .
\]

Таким образом
\[
\bar{W}=\frac{W_{0}}{e^{\frac{W_{0}}{k T}}-1} .
\]

Это как раз совпадает с законом Планка (5), где \( W_{0}=
u / h \) Последнюю зависимость можно обосновать на законе смещения теплового излучения Вина.

Он заключается в объединении термодинамических понятий с принципом Доплера а истанавливает зависимость плотности излучения от температуры и частоты следующим образом:-
\[
\rho_{
u}=
u^{3} f\left(\frac{
u}{T}\right) .
\]

Поэтому энергия резонаторов имеет вид:
\[
\bar{W}=
u F\left(\frac{
u}{T}\right) .
\]

Из уравнения (7) вытекает пропорциональность между \( W_{0} \) и \%-
Важной поддержкой для самой гипотезы Планка о квантах энергии является открытое Эйнштейном свойство удельных теплот твердых тел.

Самой простой моделью твердого тела, состоящего из \( \mathrm{N} \) атомов, может служить система из \( 3 \mathrm{~N} \) линейных осцилляторов, каждый из которых известным образом заменяет колебание атома в одном из трех направлений пространства. Если вычислить энергию такой системы, предположив непрерывное распределение ее энергии, то из (2) получится
\[
E=3 N k T \text {. }
\]

Когда речь идет об одной молекуле, то \( N k=R \), и и мы получим закон Дюлонга и Пти в форме
\[
c_{v}=\frac{d E}{d T}=3 R=5,9 \mathrm{cal},
\]

подтверждающейся опытом только для высоких температур; при низких температурах это выражение стремится к нулю:

Эйнштейн вместо классического взял среднее значение энергии по Планку (5) и получил для одной молекулы
\[
E=3 R T \frac{\frac{h
u}{k T}}{e^{\frac{h
u}{k T}}-1} .
\]

Последнее выражение более или менее правильно выражает падение \( c_{v} \) для одноатомных веществ при низких температурах (напр., алмаз).

Дальнейшее развитие теории подтвердило основное предположение Эйнштейна.

В то время как принцип Планка встретил поддержку со стороны Эйнштейна, 一он все же, относительно обоснований формул излучения, допускает очень веское возражение, заключающееся в том, что соотношение между плотностью излучения \( p \). и средней энергией резонатора \( \bar{W} \) выведено с помощью классической механики и электродинамики, в то время как статистически вычисленная \( \bar{W} \) опирается на несовместимый с ними квантовый принцип.

Планк пытался сгладить это противоречие, но дальнейшеe развитие науки показало, что классическая теория принципиально не состоятельна для объяснения всего разновидного множества явлений природы, тогда как действительными законами атомного мира являются чисто квантовые законы.

Повторим еще раз, в чем расхождение квантовых законов с законами классической теории.

По классической теории резонатор во время колебаний излучает электромагнитные волны, несущие с собой энергию. По квантовой теории энергия резонатора во время колебания остается постоянно равной \( n \cdot v \). Таким образом, обмен энергией в случае резонатора прсисходит лишь с изменением , \( n \) на целые числа \”квантовыми скачками\”. Таким образом, необходимо придумать совершенно новую связь между излучением и колебаниями резонатора. Для этого есть два пути: или нужно предположить, что резонатор во время колебаний вообще не излучает и только при некотором квантовом скачке вполне неясным для нас образом дает излучение частоты \( u \), причем постоянная энергия (или приобретенная) резонатора забирается (или отдается) эфиром (тогда для элементарного акта закон сохранения энергии оправдывается); или же резонатор излучает во время колебаний и сохраняет все же свою энергию. В этом последнем случае закон сохранения энергии для отдельного процесса искажается, и это может быть поправимо лишь тем, что вероятность перехода от одних состояний постоянных энергий в другие связывается с излучением соответствующим образом.

Первое толкование было гссподствующим долгое время, и только недавно Бор, Крамерс, Слатер \( { }^{1} \) выступили за второе толкование процессов.

Наши выводы в этом томе вообще не будут зависеть от решения в пользу того или другого предположения. Вообще говоря, оба понятия выражают факт существования движений с постоянной энергией, называемых по Бору „стационарными движениями“.