Мы уже видели, что для систем с одной степенью свободы можно ввести вместо переменных \( q \), \( p \) новые переменные \( \varphi \) и \( \alpha \) таким образом, что \( \alpha \) будет постоянной, а ? линейной функцией времени. Поэтому переменные \( \varphi \) и а определяются не однозначно; напротив, \( \alpha \) можно заменить любой функцией от \( \alpha \), причем \( \varphi \) перемножается на некоторый множитель, зависящий от \( \alpha \).

При периодических движениях выгодно делать вполне определенный выбор ч и \( \alpha \). Существует два рода периодичности. Первый род заключается в том, что различным положениям системы соответствует различное значение \( q \), а \( q \) и \( p \)-периодические функции времени; одновременно они являются функциями линейно связанного с ними переменного \( \varphi \) :
\[
q(\varphi+\widetilde{\omega})=q(\varphi) .
\]

Второй – заключается в том, что всякий раз после каждого определенного приращения \( q \), которое мы положим равным \( 2 \pi \), система занимает одно и то же положение. Так как эти приращения происходят всегда за одинаковый промежуток времени, то
\[
q(\varphi+\hat{\mathbf{u}})=q(\varphi)+2 \pi
\]

В первом случае мы говорим о либрации, во втором-о вращении. Примерами этого могут служить колеблющийся и вращающийся маятник (см. ниже).

Выберем в обоих случаях \( \varphi \) вполне определенным образом, а именно так, чтобы за время одного периода движения она получала приращение 1; пусть \( \varphi=w- \) угловая переменная. Соответствующую ей сопряженную переменную обозначим через \( J \) и назовем ее переменной действия.
Если тепер рассматривать \( S \) как функцию \( q \) и \( J \), то имеем
\[
w=\frac{\partial S(q, J)}{\partial J} .
\]

Таким образом, производная от \( w \) по пути будет
\[
\frac{d w}{d q}=\frac{\partial}{\partial J}\left(\frac{\partial S}{\partial q}\right)
\]

Требование, чтобы периоды \( w \) равны были 1, означает, что
\[
\oint d w=\frac{\partial}{\partial J} \oint \frac{\partial S}{\partial q} d q=\frac{\partial}{\partial J} \oint p d q=1 .
\]

При этом знак \( \oint \) обозначает интегрирование по всему периоду, т.е. в случае либрации пробегает по пути \( q \), возвратившись в исходную точку, а в случае вращения – по пути длиною в \( 2 \pi \). Это требование выполняется, если положить, что
\[
J=\oint \frac{\partial S}{\partial q} d q=\oint p d q
\]
т. е. под \( J \) нужно понимать приращение \( S \) за один период ‘.

Итак, введение новых переменных \( w, J \) можно произвести описанным ниже образом.

Если \( H \) дана, как функция каких-нибудь канонических переменных \( q \) и \( p \), то, определив функцию действия \( S=S(q, a) \) интегрированием уравнения Гамильтона-Якоби, вычисляем интеграл
\[
J=\oint \frac{\partial S}{\partial q} d q
\]

как функцию \( \alpha \) или \( W \). После этого вводится \( J \) вместо \( \alpha \) (или \( W \) ) в \( S \). Благодаря преобразованиям
\[
\begin{array}{l}
p=\frac{\partial S(q, J)}{\partial q}, \\
w=\frac{\partial S(q, J)}{\partial J} .
\end{array}
\]
\( q \) и \( p \) будут периодическими функциями \( w \) с периодом 1 , и \( H \) функцией \( W \) от одного \( J \).
Из канонических уравнений следует
\[
J=\text { const }
\]
u
\[
\dot{\boldsymbol{w}}=\frac{d W}{d J}=
u
\]
\( 1 \oint p d \tau \sim J+ \) const удовлетворял бы тому же требованию. Действительно, прео бразование ( \( ๆ, \alpha) \rightarrow(w, J) \), удовлетворяющее требованию периодичности, содержит рядом с фазовой постоянной для \( w \) еще произвольную постоянную. Ее производящей функцией будет \( V= \pm \underset{\omega}{\oplus J}+c_{1} p+c_{2} J \). Приведенное выше определевие \( J \) в квантовой теории оказалось очень плодотворным.
(3)
\[
w=
u t+\beta .
\]

Так как \( w \) мы выбираем так, чтобы оао после каждого периода движения увеличивалось на 1 , то \(
u \) будет положительным числом, и притом числом периодов в единицу времени, т. е. частотой движения.

Далее из \(
u>0 \) следует, что \( W \) является монотонно растущей функцией \( J \). Зная сопряженную с \( \dot{\alpha} \) и переменную \( \varphi \), можно найти \( J \) из уравнения
\[
J=\oint \alpha d \varphi= \pm \alpha \tilde{\omega} .
\]

Тогда уравнения преобразований будут
\[
J= \pm \tilde{\omega} \alpha \quad \omega= \pm \frac{\varphi}{\tilde{\omega}} .
\]

Приведенное выше определение \( J \), как приращение \( S \) за время одного периода, имеет то следствие, что функция
\[
S^{*}=S-w J
\]

является периодической функцией \( w \) с периодом 1.
Можно также использовать это требование для однозначного определения величины \( J \) с помощью \( \oint d w=1 \) вплоть до аддитивной постоянной; при этом приходим к уравнению (1). Функцию \( S^{*} \) также можно вместо \( S \) рассматривать, как производящую канонических преобразований, сводящую \( q \) и \( p \) к \( w \) и \( J \). По § 7 \( S \) удовлетворяет уравнению
\[
\dot{p} \dot{q}=-w \dot{J}+\frac{d S}{d t}
\]

из чего для \( S^{*} \) следует.
\[
p \dot{q}=J \dot{w}+\frac{d S^{*}}{a t}
\]

а это говорит о том, что \( S^{*-п р о и з в о д я щ а я ~ ф у н к ц и я ~ п р е о б р а-~} \) зований
\[
p=\frac{\partial}{\partial q} S^{*}(q, w)
\]
\[
J=-\frac{\partial}{\partial w} S^{*}(q, w) \text {. }
\]

Вычисление интеграла \( J \) требует исследования зависимости между \( q \) и \( p \), дающейся уравнением
\[
H(q, p)=W .
\]

Эта зависимость изображается группой кривых (с параметром \( W \) ) в плоскости ( \( p, q \) ). Случаям либрации и вращения соответствуют характерные рисунки.

При либрации должна необходимо существовать замкнутая область кривой, и \( J \) обозначает замкнутую площадь (являющуюся по (19) \( \S 7 \) каноническим инвариантом).

При вращении \( p \) должно быть периодической функции \( q \) с периодом \( 2 \pi \), и \( J \) должно обозначать площадь, ограниченную кривой, осью \( q \) и двумя ординатами, находящимися на расстоянии \( 2 \pi \). Для наглядного представления рассмотрим это с точки зрения классической механики, взяв за основание покоящуюся систему координат.
По (8) §8 имеем
\[
p=\sqrt{2 \mu} v \overline{W-U(q)} \text {. }
\]

Чтобы наступила либрация, подрадикальное выражение должно иметь два нулевых значения \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \), между которыми оно положительно; тогда \( p \) будет исัчезать только
Рис. 2.
Рис. 3. на концах интервала ( \( q, q^{\prime \prime} \) ). Чтобы из обоих ответвлений кривой (6) могла получиться кривая, остающаяся при обходе замкнутой,необходимо, чтобы \( \frac{d p}{d q} \) для \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \) была бесконечно малой.
Далее имеем
\[
\frac{d p}{d q}=-\sqrt{\frac{\mu}{2}} \frac{1}{\sqrt{W-U(q)}} \cdot \frac{d U}{d q} .
\]

Это условие выполняется, если одновременно \( \frac{d U}{d q}=0 \), т.е. когда \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \) – простые нулевые положения подрадикального выражения.

В этом случае возникающий обход кривой, симметричный относительно оси \( q \), имеет тот же обход, что и кривая, так как по (8) \( \S 5 \)
\[
\dot{p} \dot{q}_{\rightleftharpoons} 2 T
\]

и произведение \( p d q \) всегда положительно; при этом необходимо при одном обходе ( \( d q>0 \) ) сперва совершать обход по верхнему ( \( p>0 \) ) разветвлению, а при обратном обходе \( (d q<0 \) ) по нижнему разветвлению.

Координата \( q \) описывает всю область между нулевыми положениями \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \). Эти нулевые положения представляют \( n р е \) дель либрации. Если варьировать \( W \), то все соответствующие кривые лягут одна внутри другой, не пересекаясь.

При уменьшении \( W \) нулевые положения смещаются друг к другу и сходятся в одну точку, лишь бы между ними не появлялись новые нулевые положения. Эта точка называется центром либрации, в котором
\[
\frac{d U}{d q}=\mathbf{0}
\]

Она соответствует устойчивому положению равновесия системы, потому что движение, возникающее при незначительном изменении начальных условий, остается вблизи ее. Если между \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \) появляются новые нулевые положения, то в перьое мгновение они сливаются, при этом также
Рис. 4.
\[
\frac{d U}{d q}=0
\]

Но здесь мы имеем дело с неустойчивым положением равновесия, ибо при незначительном изменении \( W \) движение не остается в непосредственной близости от точки равновесия. При увеличении \( W \) может наступить такой слунай, когда при \( q^{\prime} \) и \( q^{\prime \prime} \) производная \( \frac{d U}{d}{ }^{q} \) исчезает; в этом случае мы также имеем дело с неустойчивым положением равновесия.

Для других значений \( W \) движение асимптотически во времени приближается к неустойчивому положению равновесия. Тогда говорят о предельном движении.

Для наступления вращательного движения необходимо, чтобы \( U \) бкла периодична в отношении \( q \) (мы понимаем период в \( 2 \pi \) ); далее, подрадикальное выражение всегда должно быть положительным.

Для более наглядного объяснения этих понятий, рассмотрим колебание маятника, при котором возможны все три случая: вращения, либрации и предельного движения.
Сравнивая с (10) \( \S 8 \), имеем
\[
p=\sqrt{2 A} \sqrt{W+D \cos q} \quad D>0 .
\]

Кривые (6) имеют вид, изображенный на рисунке 5 .
Для \( W=-D \) кривые стягиваются к центру либрации \( q=0 \);
Для \( -D<W<D \) имеем либрацию между пределами
\[
\begin{array}{c}
q^{\prime}=\arccos \left(-\frac{D}{W}\right) \\
q^{\prime \prime}=-\arccos \left(-\frac{D}{W}\right) .
\end{array}
\]

Напротив, для \( W>D \) мы имеем вращение, при котором маятник делает обороты постоянно в неизменном направлении. В предельном случае \( W=D \) он приближается асимптотически к положению \( q=\pi \).
Интеграл
\[
J=\oint \sqrt{2 A} \sqrt{W+D \cos q d q}
\]

в этом случае эллиптический. Его можно привести к более простому интегралу лишь при том условии, когда пределы либрации лежат близко друг от друга (по сторонам центра либрации). В этом случае расчеты полностью соответствуют решению задачи линейного гармонического осциллятора, к которому сейчас и перейдем.

Пример. Линейный гармонический осциллятор. В § 7 мы уже нашли переменные \( \varphi \) и а, при этом \( q \) имеет по (1४) \( \S 7 \) относительно \( \varphi \) период \( \tilde{\omega=2 \pi} \). Переход к \( w \) и \( J \) совершается по формулам
\[
J=\int_{0}^{2 \pi} a d \varphi=2 \pi \alpha .
\]

и
\[
w=\frac{3}{2 \pi}=v t+\delta,
\]

где
Рис. 5.
\[

u=\frac{\omega}{2 \pi}, \quad \delta=\frac{\bar{\beta}}{2 \pi} .
\]

Движение теперь выразится:

Энергия будет
\[
\begin{array}{l}
q=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 J}{m v}} \sin 2 \pi w \\
p=\sqrt{2 m \vee J} \cos 2 \pi w .
\end{array}
\]
\[
H=W=
u J .
\]

Из этого немедленно вытекает соогношение
\[

u=\frac{W}{\partial J} \text {. }
\]

Чтобы показать, как, не зная \( \varphi \) и в, перейти х угловым переменным и переменным действия, сделаем снова расчет осыиллятора, исходя из
\[
H=\frac{p^{2}}{2 m}+\frac{m}{2} \omega^{2} q^{2}
\]

Положим это выражение равным \( W \), тогда
\[
p=\sqrt{2 m W-m^{2} \omega^{2} q^{2}}=\sqrt{2 m W} \sqrt{1-\frac{q^{2}}{a^{3}}},
\]

где для сокращевия
\[
\frac{2 W}{m \omega^{2}}=a^{2} .
\]

Из этого заключаем, что пределы либрации заключаются между
\[
q=+a \text { и } q=-a
\]

Вводя с помощью уравнения
\[
q=a \sin \varphi
\]

вспомогательную переменную \( \varphi \), пробегающую за период движения от 0 до \( 2 \pi \), вычислим интеграл
\[
J=\sqrt{2 m W} \oint \sqrt{1-\frac{q^{2}}{a^{2}}} d q .
\]

После подстановки имеем
\[
J=\frac{2 W}{\omega} \int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \varphi d \varphi=\frac{2 \pi}{\omega} W
\]

и поэтому энергия или функция Гам ильтона
(8)
\[
\begin{array}{c}
W=H=
u J, \\
\omega=2 \pi
u,
\end{array}
\]

где
Чтобы выразить координату \( q \) в новых переменных \( w, J \), а, следовательно и функцию времени,–нет надобности вычислять само \( S \).
А именно:
\[
w=\frac{\partial}{\partial J} S(q, J)=\int \frac{\partial p}{\partial J} d q,
\]

где \( p \) является функцией \( q \) и \( J \) : *
\[
p=\sqrt{2 m \vee J-4 \pi^{2} v^{2} m^{2} q^{2}} .
\]

Мы получаем
\[
w=\int \frac{m \vee d q}{\sqrt{2 m \vee J-4 \pi^{2} v^{2} m^{2} q^{2}}}=\frac{1}{2 \pi} \arcsin \sqrt{\frac{2 \pi^{2} \vee m}{J}} q
\]

и
\[
q=\sqrt{2 \pi^{2} \frac{j}{m}} \sin 2 \pi w,
\]

где
\[
w=v t+\delta \text {. }
\]

Для \( p \) следует

Для маятника с малой длиной соответствующие формулы имеют вид
\[
W=
u J
\]
\[
\begin{array}{c}
q=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{2 J}{A
u}} \sin 2 \pi w \\
p=\sqrt{2 \vee J} \cos 2 \pi
\end{array}
\]