Исходным пунктом всех дальнейших рассуждений будут служить уравнения движения Ньютона системы свободных материальных точек.
$$\frac{d}{dt}\left(m_k{\mathfrak{b}}_k\right)={\mathrm{\Re }}_k,$$

где $m_k$ обозначает массу $k$-ой точки, а ${\mathfrak{v}}_k$-ее скорость и ${\mathrm{\Re }}_k$-действующую на нее силу. Произведение $m_k{\mathfrak{b}}_k$ называется импуяьсом или количеством движения. В таком смысле уравнение (1) сохраняется и тогда, когда масса зависит от величины ско- рости по теории относительности Эйнштейна.

Во многих случаях система уравнений (1) имеет то же значение, что и вариационный принцип, так называемый прикцип Гамильтона.
$${\int }_{t_1}^{t_{\mathrm{s}}}Ldt=\text{ экстремум. }$$

Здесь $L$ — определенная функция координат и скоростей всех точек, а при некоторых обстоятельствах также и времени.

Экстремальность надо понимать следующим образом: в моменты времени $t_1$ и $t_2$ конфигурация (координаты) материальной системы задана и ищется такое движение (координаты, как функции времени), которое переводит систему из первой конфигурации во вторую таким образом, что интеграл имеет экстремум ‘. Существенное преимущество такого вариационного принципа заключается в том, что он не зависит от системы координат (2). Вариационный принцип, как необходимое условие, дает уравнение Лагранжа ${\mathrm{a}}^2$.
$$\frac{d}{dt}\cdot \frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}-\frac{\partial L}{\partial x_k}=0.$$
1 Здесь нет речи о том, максивум ли это или минимум, или какое-либо промежуточное эначение.
2 Из трех уравнений соответствующих коордннатам $(x,y,z)$ в последствии мы будем писать только первое.

$L$ здесь определяется так, чтобы это уравнение соответствовало уравнению Ньютона (1).
Если силы ${\mathfrak{R}}_k$ имеют потенциал $U$, т. е.
$${\mathrm{\Re }}_{kx}=-\frac{\partial U}{\partial x_k},$$

то определим функцию $T^{\ast }$ от компонентов скорости так, что
$$\begin{array}{l}\frac{\partial T^{\ast }}{\partial {\dot{x}}_k}=m_{\dot{k}}{\dot{x}}_k\\ \frac{\partial T^{\ast }}{\partial {\dot{y}}_k}=m_k{\dot{y}}_k\\ \frac{\partial T^{\ast }}{\partial {\dot{z}}_k}=m_k{\dot{z}}_k.\end{array}$$

Тогда уравнение (1) может быть переписано в форме
$$\frac{d}{\partial t}\cdot \frac{\partial T^{\ast }}{\partial {\dot{x}}_k}-\frac{\partial (-U)}{\partial x_k}=0$$

или
$$\frac{d}{\partial t}\frac{\partial (T^{\ast }-U)}{\partial {\dot{x}}_k}-\frac{\partial (T^{\ast }-U)}{\partial x_k}=0.$$

При этом в нашем вариационном принципе мы пишем
$$L=T^{\ast }-U\text{. }$$

Еели же не принимать во внимание теории относительности, то $m_1$ — постоянная и $T^{\ast }$ равно кинетическон энергии $T$.
Положим, как учит нас теория относительности, что:
$$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}},$$

где $m_0$ — „масса в состоянии покоя\» и $c$-скорость света.
Тогда (для одной точки) получаем
$$T^{\ast }=m_0{c}^2[1-\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}],$$

что переходит в выражение $\frac{m_0}{2}{v}^2$ при граничном случае $c=\mathrm{\infty }$.

Эта функция отличается от кинетической энергии
$$T=m_0{c}^2[\frac{1}{\sqrt{1-{\left(\frac{v}{c}\right)}^2}}-1].$$

Конечно, и $T$ при $c=\mathrm{\infty }$ переходит в выражение $\frac{m_0}{2}{v}^2$.
Часто силы кроме одной составной части $\mathrm{\Re }$, могущей быть выведенной из потенциала, содержат еще одну составную часть ${\mathrm{\Re }}^{\ast }$, зависящую от скорости (как при магнитных силах, действующих на электрический заряд). Тогда определяют некоторую функцию $M$ так, что
$$\frac{d}{dt}\cdot \frac{\partial M}{\partial \dot{x}}-\frac{\partial M}{\partial x}=\bigcap _x^{\ast }$$

и подставляют в вариационный принцип (2)
$$L=T^{\ast }-U-M.$$

Следовательно, уравнение Лагранжа (3) представится в следующем виде:
$$\frac{d}{dt}\frac{\partial T^{\ast }}{\partial \dot{x}}+\frac{\partial U}{\partial x}-\frac{d}{dt}\frac{\partial M}{\partial \dot{x}}+\frac{\partial M}{\partial x}=0$$
т. е. вариационный принцип в действительности имеет то же значение, что и уравнение движения Ньютона:
$$\frac{d}{dt}(m\dot{x})-{\mathrm{\Re }}_x-{\mathrm{\Re }}_x^{\ast }=0$$

Принцип Гамильтона остается в силе и в том случае, если между материальными точками существуют „связи\», выражающиеся уравнением взаимной зависимости координат ${}^1$
$$f_h(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_2,\dots )=0.$$

По правилам вариационного исчисления к силам прибавляются еще добавочные силы, происходящие от реакции связи
$${\mathrm{\Re }}_k(h)={\lambda }_h\frac{\partial f_h}{\partial x_k},$$

где ${\lambda }_n$ так называемые „множители Лагранжа“. Их рассматривают наряду с координатами, как неизвестные; и вэтом случае число диференциальных уравнений движения и дополнительных
1 Условия, не содержащие компонентов скорости, называются голономными.

условий вновь равно числу неизвестных. Главное преимущество принципа Гамильтона (как уже подчеркивалось) cocmoum в том, что он представляет возможность истолкования законов движения, независимо от координат.

Если задано некоторое число дополнительных условий. то при помощи их можно исключить такое же число координат. Остается лишь отдельное число независимых координат
$$q_1{q}_2\dots q_f$$
$f$ называется числом степеней свободы.
Функция Лагранжа будет тогда функцией $q$, их производных по времени и, при некоторых обстоятельствах, также и времени:
$$L=L(q_1,{\dot{q}}_1,q_2,{\dot{q}}_2,\dots q_f,{\dot{q}}_f,t)$$

и вариационный принцип даєт уравнения Лагранжа
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dt}\cdot \frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_k}-\frac{\partial L}{\partial q_k}=0\\ k=1,2\dots f.\end{array}$$

Оно справедливо также и тогда, когда $q_k$ суть координаты произвольно движущейся или даже деформирующейся системы координат.