Как уже было сказано выше, в астрономии случайное вырождение невозмущенной системы представляет редкое исключение. Однако, в атомной физике оно играет очень большую роль. С одной стороны, по представлениям Бора о строении высших атомов, предполагается наличие в них целого ряда однообразных траекторий; с другой стороны, по квантовой теории, периоды кеплеровских движений всегда соизмеримы с различными главными квантовыми числами, так как они относятся между собой, как кубы целых чисел.

Приведем здесь наиболее простой способ получения соотношений фаз, т. е. будем производить все наши вычисления в первом приближении.

Таким образом в этом параграфе мы будем пренебрегать всеми выражениями, содержащими \( \lambda \) выше первого порядка, так, например, уже \( \lambda^{\mathrm{a} / \mathrm{s}} \) будем пренебрегать.

Предварительно не будем принимать во внимание собственные вырождения; тогда мы можем угловые переменные и переменные действия \( w_{k}^{0}, J_{k}^{0}(k=1,2 \ldots f) \) невозмущенной системы выбрать так, что \(
u_{\alpha}^{0}(x=1,2 \ldots s) \) будут отличны от нуля и в тоже время соизмеримы, между тем как \( v_{p}^{0}(\rho=s+1 \ldots f) \) для частных значений \( J_{k}^{0} \) в случае невозмущенного движения исчезают. Итак, должно иметь место ( \( f-s \) )-кратное собственное вырождение.

Запишем (изменяя индексацию) функцию Гамильтона в форме:
\[
H=H_{0}\left(J_{k}^{0}\right)+\lambda H_{2}\left(w_{k}^{0}, J_{k}^{0}\right) .
\]

и попробуем представить постоянную энерию в виде ряда
\[
W=W_{0}\left(J_{k}\right)+\lambda W_{2}\left(J_{k}\right) .
\]

Полагая, что это мы делали выше
\[
S=S_{0}\left(w_{k}^{0}, J_{k}\right)+\lambda S_{2}\left(\dot{w}_{k}^{0}, J_{k}\right)
\]

приходим к выражениям для \( S_{2} \), в которых знаменатели появляются, а для \( \lambda=0 \) исчезают, т. е. для \( \lambda=0 S \) уже больше не является аналитической функцией і.

Болин \( { }^{1} \) показал, что к цели приводит ряд развернутый по степеням \( \sqrt{\lambda} \)
\[
S=S_{0}+\sqrt{i} S_{1}+\lambda S_{2}+\ldots
\]

Здесь опять (ср. § 41)
\[
S_{0}=\sum_{k} w_{k}^{0} J_{k} .
\]

и \( S_{1}, S_{2} \) – периодические относительно \( w_{k}^{0} \) (период 1).
Подставляя \( \frac{\partial S}{\partial w_{k}^{0}} \) для \( J_{k}^{0} \) в функцию Гамильтона (1), видим, что формула (2) тогда выполняется, если считаются действительными следующие уравнения:
\[
\begin{array}{c}
H_{0}\left(J_{j}^{\prime}=W_{0}(J)\right. \\
\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}} \cdot \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}=0
\end{array}
\]
\[
\sum_{\alpha}^{Y} \frac{\partial H_{0}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial S_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+\frac{1}{2 !} \sum_{k j} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{k} \partial J_{j}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{k}^{0}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{j}^{0}}+H_{2}=W_{2}(J) .
\]

Из \( \left(4_{0}\right) \) находим \( W_{0} \). В силу периодичности функции \( S_{1} \) относительно \( w_{k}^{0} \), из \( \left(4_{1}\right) \) вытекает
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{\alpha}^{\rho}}=0
\]

Однако величины \( \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{\rho}^{0}} \) остаются еще неопределенными.
Усредняя по невозмущенному движению (следовательно только по \( \left.w_{\alpha}^{0}\right) \), из \( \left(4_{2}\right. \) ) получаем:
(5) \( \frac{1}{2 !} \sum_{\rho, \sigma} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{\rho} \partial J_{\sigma}} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{\rho}^{0}} \frac{\partial S}{\partial w_{\sigma}^{0}}+\bar{H}_{2}\left(w_{\rho}^{0}\right)=W_{2}(\rho, \sigma=s+1 \ldots f) \).
\( { }^{1} \) Bohlin, Über eine neue Annäherungsmethode in der Störungstheorie. Bihang till K. Svenska Vet. Akad, Handl, Bd. 14, Afd. I, Nr. 5, 1888; см. также P o in c a ré, Méthodes nouvelles, Bd. II, Kap. XIX.

Применение квантовой теории см. L. Nordheim, Zeitschr. f. Physik, Bd. 17, S. 316, 1923; Bd. 21. S. 242, 1924.

Это уравнение представляет собой тип диференциального уравнения в частных производных Гамильтона-Якоби. Его в общем случае нельзя проинтегрировать, и поэтому наш метод делается непригодным для отыскания движений для любых значений \( J_{k} \).

Однако, мы знаем, как это показано в примере § 44, что движения, при которых шо являются постоянными в нулевом приближении и остаются постоянными также при первом приближении, представляют квантотеоретически стационарные движения.

Покажем это сперва для одной случайно вырождающей степени свободы – последней ( \( t \) ).
Уравнение (5) получит форму:
\[
\frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}}\right)^{2}+\bar{H}_{2}\left(w_{f}^{0}\right)=W_{2} .
\]

Это диференциальное уравнение типа уравнения Гамильтона-Якоби для одной степени свободы всегда решается квадратурами, и мы находим:
\[
S_{1}=\int \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}} d w_{f}^{0}=\int \sqrt{\frac{W_{2}-\overline{H_{2}}\left(w_{f}^{0}\right)}{\frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}}}} d w_{f}^{0} .
\]

Входящая здесь постоянная интеграла определяется
\[
\begin{aligned}
J_{f}=\oint J_{f}^{0} d w_{f}^{0} & =\oint \frac{\partial S_{0}}{\partial w_{f}^{0}} a w_{f}^{0}+\sqrt{\lambda} \oint \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}} d w_{f}^{0}= \\
& =J_{f} \oint d w_{f}^{0}+\sqrt{\lambda} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}} d w_{f}^{0}
\end{aligned}
\]
т. е. оно представляет кратное целое число от \( h \). Из этого следует, смотря по тому, совершает \( w_{f}^{0} \) вращение \( \left(\oint d w_{f}^{0}=1\right) \) или либрацию \( \left(\oint d w_{f}^{0}=0\right) \)
\[
\sqrt{\lambda} \oint \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}} d w_{f}^{0}=0
\]

или
\[
\sqrt{\lambda} \oint \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}} d w_{f}^{0}=J_{f}=n_{f} h .
\]

Подинтегральное виражение \( \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}} \) на пути интегрирования всегда положительное; следовательно, в случае вращения для всех \( w_{f}^{0} \) должно быть действительным
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{f}^{0}}=0 .
\]

т. е. \( \bar{H}_{2} \) никогда не будет зависеть от \( w_{f}^{0} \). Конечно, в этом приближении об \( w_{f}^{0} \) нельзя ничего сказать.

В єлучае либрации \( J_{j} \) и \( \sqrt{2} \) должны быть малы и, следовательно, \( J_{f}=0 \), т. е. интеграл распространяется на бесконечно короткое сечение раздвоения плоскости \( w_{f}^{0} J_{f}^{0} \); в силу этого либрация сужается в точку. Ввиду того, что \( w_{f}^{0} \) во время движения сохраняет постоянное значение, возмущенное движение имеет только \( f-1 \) частот, т. е. не ииеет высшей степени периодичности по сравнению с невозмущенным движением.

Значение, которое имеет во время движения \( w_{f}^{0} \), должно быть двойным корнем \( W_{2}-\bar{H}_{2}\left(w_{f}^{0}\right) \); следовательно, оно должно удовлетворять уравнениям
\[
W_{2}=\overleftarrow{H}_{2}\left(w_{f}^{0}\right)
\]

и
\[
\frac{\partial \bar{H}_{2}}{\partial w_{f}^{0}}=0 .
\]

Тот факт, что \( w_{f}^{0} \) может иметь только вполне определенные значения, например, корни (10), означает соотношение фаз в движении системы.

Если таким образом определенное движение действительно будет являться предельным случаем либрации – а только тогда оно устойчиво, то подрадикальное выражение (6) вблизи корня w \( _{f}^{0} \) должно быть отрицательным, т. е. выражение
\[
\frac{\bar{H}_{2}\left(w_{f}^{0}\right)}{\frac{1}{2 !} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}}}
\]

должно иметь минимум.
Если последнее условие не выполняется, то при этом уравнения движения
\[
\dot{w}_{f}^{0}=\frac{\partial \bar{H}_{2}}{\partial J_{f}^{0}}, \quad \dot{J}_{f}^{0}=-\frac{\partial \bar{H}_{2}}{\partial w_{f}^{0}}
\]

удовлетворяются.
В случае, если \( \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{2}} \) положительно (как в примере двух ротаторов \( \S 44 \) ), механически устойчивое движение имеет минимальное значение \( \bar{H}_{2} \).

Но если \( \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{f}^{\epsilon}} \)-отрицательное (случай, встречающийся в атомной механике), то механически устойчивое движение обладает, наоборот, максимальным значением \( \bar{H}_{2} \), а механически неустойчивое – минимальным.

Сейчас нельзя еще сказать, допускаются ли только механически устойчивые движения в качестве стационарных движений или нет.

Если допустить, скажем, только стабильные движения, то может случиться, что функция возмущения \( \bar{H}_{2} \), имеет максимум, в противоположность статической модели, где энергия всегда представляет минимум. При допущении механических лабильных движений (их соседние движения квантотеоретически запрещаются) может случиться, что этому соответствует (минимум энергии) нормальное состояние.

Для того, чтобы обсудить этот вопрос, представим себе два электрона на круговых кеплеровских орбитах (безразлично, вращаются ли они вокруг одного ядра или вокруг различных ядер), возмущающих друг друга незначительно.

Положение орбиты и форму ее мы будем представлять неизменными, и рассмотрим только изменение фаз движения под влиянием возмущающих сил. Энергия возмущенного движения равна
\[
H=-A\left(\frac{1}{J_{1}^{2}}+\frac{1}{J_{2}^{2}}\right),
\]

а невозмущенные частоты будуг:
\[

u_{1}=\frac{2 A}{J_{1}^{3}} \quad
u_{2}=\frac{2 A}{J_{2}^{3}} .
\]

Следовательно, для каждого квантового состояния ( \( J_{1}=n_{1} h \); \( J_{2}=n_{2} h \) ) они соизмеримы: \( \tau_{1}
u_{1}+\tau_{2}
u_{2}=0 \). Разлагая теперь посредством канонической подстановки угловые переменные и переменные действия на вырождающие и невырождающие, мы должны положить
\[
\begin{array}{ll}
\bar{w}_{1}=\frac{1}{2}\left(\tau_{1} w_{1}-\tau_{2} w_{2}\right), & J_{1}=\frac{\tau_{1}}{2}\left(\bar{J}_{2}+\bar{J}_{1}\right) \\
\bar{w}_{2}=\frac{1}{2}\left(\tau_{1} w_{1}+\tau_{2} w_{2}\right), & J_{2}=\frac{\tau_{2}}{2}\left(\bar{J}_{2}-\bar{J}_{1}\right) .
\end{array}
\]

Имеем:
\[
H_{0}=-4 A\left[\frac{1}{\tau_{1}^{2}\left(\bar{J}_{2}+\bar{J}_{1}\right)^{2}}+\frac{1}{\tau_{2}^{2}\left(\bar{J}_{2}-\bar{J}_{1}\right)^{2}}\right],
\]

где \( \bar{J}_{2} \) – вырождающая переменная действия. Образовывая теперь
\[
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial \bar{J}_{2}^{2}}=-24 A\left[\frac{1}{\tau_{1}^{2}\left(\bar{J}_{2}+J_{1}\right)^{4}}+\frac{1}{\tau_{2}^{2}\left(\bar{J}_{2}-\bar{J}_{1}\right)^{4}}\right],
\]

мы видим, что это выражение для всех значений \( \bar{J} \) отрицательно.

Бop:-409-18

Таким образом, минимум энергии возмущения \( \bar{H}_{2} \) здесь соответствует неустойчивому движению. Легко заметить, что это соотношение свойств связывается неравенством
\[
\frac{\partial^{2} H_{\mathrm{n}}}{\partial J^{2}}<0
\]

где \( H_{0} \) обозначает энергию невозмущенного кеплеро вского движения. Значит, оно будет иметь место при том условии, если взаимодействуют друг с другом, в каких-нибудь атомах или молекулах, траектории электронов. Из наших соображений видно, что в случае одной степени свободы движения с фазовыми соотношениями квантотеоретически суть единственно возможные. То же самое можно сказать, если уравнение (j) решается разделением переменных. Хотя доказать в общем случае необходимость соотношения фаз и не представляется возможным, но зато можно показать, что существуют возмущенные движения со степенью периодичности, равной ей же для невозмущенных движений, для которых имеют место соотношения баз и которые подчиняются квантотеоретическим законам.

Диференциальное уравнение (5) эквивалентно системе канонических уравнений
\[
\dot{q}_{\rho}=\frac{\partial K}{\partial p_{\rho}}, \quad \dot{p}_{\rho}=-\frac{\partial K}{\partial q_{\rho}},
\]

где для \( K \) необходимо подставить выражение, вытекающее из левой стороны (5), где вместо \( w_{p}^{0} \) подставлено „координаты “ \( q_{0} \) и вместо \( \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{p}^{0}} \) подставлены сопряженные „импульсы “ \( p_{p} \) :
\[
K=\frac{1}{2} \sum_{\rho \sigma} \gamma_{\rho \sigma} p_{\rho} p_{\sigma}+\bar{H}_{2}\left(q_{\rho}\right) .
\]

При этом величины \( y_{\rho \sigma}=\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial J_{\rho} \partial J_{\sigma}} \) необходимо рассматривать, как постоянные. Механическая система, характеризуемая формулой (11), ‘в общем случае обладает многими положениями равновесия. Определим, например, значения \( q_{p}=q_{p}^{0} \) из уравнения
\[
\frac{\partial K}{\partial q_{\mathrm{p}}}=\frac{\partial \bar{H}_{2}}{\partial q_{\mathrm{p}}}=0 .
\]

Тогда \( q_{p}=q_{\rho}^{0}, p_{\rho}=0 \) есть система решений канонических уравнений. Поэтому
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial w_{p}^{0}}=0, \quad S_{1}=\text { const }
\]

предетавляет частный интеграл диференциального уравнения (5). Для нахождения его нужно предварительно вычислить из уравнения
\[
\frac{\partial \bar{H}_{2}}{\partial w_{p}^{0}}=0
\]

канонические значения \( w_{p}^{0} \) и положить
\[
W_{2}=\bar{H}_{2}\left(w_{\mathrm{p}}^{0}\right) \text {. }
\]

Способ этот становится негодным только тогда, когда система уравнений (13) не может быть решена относительно \( w_{\rho}^{0} \), т. е. если исчезает „детерминант Гессе“
\[
\left|\frac{\partial^{2} \bar{H}_{2}}{\partial w_{\rho}^{0} \partial w_{\sigma}^{0}}\right| \text {. }
\]

Найденное движение возмүщенной системы обладает той же степенью периодичности \( s \), что и невозмущенное. То обстоятельство, что постоянные \( w_{\rho}^{0} \) могут иметь только определенные значения, означает соотношения фаз возмущенного движения.

Движение только тогда будет устойчивым, если вспомогательные переменные \( q_{p} \) уравнения (11) вместо \( q_{p}=q_{p}^{0} \) обладают устойчивым равновесием. Тогда соседние движения будут малыми колебаниями относительно рассматриваемого нами движения. Что найденные здесь движения удовлетворяют квантовым условиям, можно показать следующим образом. \( J_{\rho}^{0}= \) const и равный значению, которое он имел при невозмущенном движении; далее имеем
\[
J_{p}^{0}=J_{p}+\sqrt{\lambda} \frac{\partial S_{1}}{\partial w_{p}^{0}}
\]

следовательно, благодаря (12)
\[
J_{\rho}^{0}=J_{\mathrm{p}}
\]

чем также квантуется \( J_{\rho} \).