Наш приближенный метод исследования § 41 может оказаться непригодным и при отсутствии наличия собственного вырождения невозмущенной системы, а именно если для частных значений \( f_{k}^{0} \), которые он принимает в случае невозбужденного движения и которые определяются квантовыми условиями, существует соотношение вида:
\[
\sum \tau_{k}
u_{k}^{0}=0
\]

В этом случае мы говорим о случайном вырождении. Тогда нужно \( w_{k}^{0} \) выбратьтак, что для каждого из частных значений \( J_{k}^{0} \) частоты
\( { }^{1} \) Cм. M. Born u. W. Heisenberg, Ann. d. Physik, Bd. 74, S. 1, 1924.

\(
u_{p}^{0} \) исчезают \( (\rho=s+1 \ldots f) \), а частоты \(
u_{\alpha}(\alpha=1,2 \ldots s) \)-соизмеримы. При невозмущенном движении, как уже говорилось, \( J_{p}^{0} \) также определяются квантовыми условиями. Таким образом случайно вырождающие степени свободы подчиняются квантовым условиям, в то время как собственно вырождающие не подчиняются им. В астрономии случайное вырождение представляет редкое исключение, вероятность его точного совершения почти равна нулю. Оно имеет место приблизительно, напр., при возмущениях некоторых малых планет (Ахиллес, Гектор, Нестор), обладающих почти равным с Юпитером периодом вращения; напротив, в атомной механике, где \( J_{k}^{0} \) могут принимать только дискретные значения, случайные вырождения являются очень частыми.

Исследуем основные свойства случайно вырожденной системы на простом примере \( { }^{1} \). Представим себе на одной оси два ротатора, обладающие моментом инерции \( A \), расположение которых определяется двумя углами \( \varphi_{1} \) и \( \varphi_{2} \). До тех пор, пока отсутствует их взаимодействие друг с другом, они вращаются вокруг данной оси равномерно. Угловые переменные и переменные действия определяются из уравнений:
\[
\begin{array}{l}
w_{1}^{0}=\frac{\varphi_{1}}{2 \pi}, \quad J_{1}^{0}=2 \pi p_{1} \\
w_{2}^{0}=\frac{\varphi_{2}}{2 \pi}, \quad J_{2}^{0}=2 \pi p_{2}
\end{array}
\]
\( p_{1} \) и \( p_{2} \)-импульсы вращения. Энергия будет равна
\[
H_{0}=\frac{1}{8 \pi^{2} A}\left(f_{1}^{0^{2}}+J_{2}{ }^{2}\right)=W_{0} .
\]

Если \( J_{1}^{0} \) и \( J_{2}^{0} \) определены квантовыми условиями, то обе частоты вращений всегда соизмеримы; в частном случае, если \( J_{1}^{0}=J_{2}^{0} \), они равны. Допустим, что возмущением этого движения является взаимодействие ротаторов, момент вращения которых пропорционален \( \sin \left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right) \); тогда энергия будет равна
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1} \text {, }
\]

где
\[
H_{1}=1-\cos 2 \pi\left(w_{1}^{0}-w_{2}^{0}\right)
\]

и \( \lambda \) определяет степень связи. Здесь мы можем проблему возмущения решить совершенно строго.

1 M. Born u. W. Heis nberg, Zeitschr. f. Physik, Bd. 14, S. 44, 1923.

Во-первых, выполним каноннческие преобразования:
\[
\frac{1}{2}\left(w_{1}^{0}+w_{2}^{0}\right)=w^{0}, J_{1}^{0}+J_{2}^{0}=J
\]
(3)
\[
\frac{1}{2}\left(w_{1}^{0}-w_{2}^{0}\right)=w^{\prime 0} \quad J_{1}^{0}-J_{2}^{0}=J^{\prime} \bullet
\]

Тогда
\[
H=\frac{J^{2}+J^{1 \prime c^{2}}}{16 \pi^{2} A}+i\left(1-\cos 4 \pi w^{\prime 0}\right)
\]

и это выражение содержит только одну координату \( w^{\prime 0} \), Координата \( w^{0} \)-циклическая и, следовательно, \( J^{0}= \) const; положим его равным \( J \). Ввиду того, что преобразование (5) \( J_{k}^{0} \) не имеет детерминанта \( \pm 1 \), то \( J^{0} \) и \( J^{\prime 0} \) не являются четными переменными действия невозмущенной системы. Поэтому необходимо \( J \) определить с помощью квантовых условий так, чтобы при переходе к невозмущенной системе сумма \( J+J^{\prime 0} \) была бы четным числом, кратным \( h \).

При возмущенном движении вместо \( J^{\prime 0} \) мы имеем интеграл действия
\[
J^{\prime}=\oint J^{\prime 0} d w^{\prime 0}=\oint \sqrt{16 \pi^{2} A\left[W-i\left(1-\cos 4 \pi w^{\prime 0}\right)\right]-J^{2}} d w^{\prime} \hat{v}
\]
(7)
\[
J^{\prime}=\oint \frac{V \overline{8 \lambda A}}{k} V \overline{1-k^{2} \sin ^{2} 2 \pi w^{\prime 0}} d\left(2 \pi w^{\prime}\right)
\]

где
\[
\frac{2 \lambda}{W-\frac{J^{2}}{16 \pi^{2} A}}=k^{2} \text {. }
\]

Пользуясь сокращенной записью

имеем
\[
\oint \sqrt{1-k^{2} \sin ^{2} \psi} a^{2} \psi=4 \cdot E(k),
\]
\[
J^{\prime}=8 \frac{\sqrt{2 \lambda A}}{k} E(k)
\]

Для получения энергии, как функции переменных действия, решаем (9) относительно \( k \), и это решение подставляем в уравнение, вытекающие из (8)
\[
W=\frac{J^{2}}{16 \pi^{2} A}+\frac{2 \lambda}{k^{2}} .
\]

В случае \( k>1 \), \( w^{0} \) совершает либрационное движение. В пределах либрации
\[
\sin 2 \pi w^{\prime 0}= \pm \frac{1}{k}
\]

и интеграл \( E \) ( \( k \) ) распространяется на весь интервал с пределами
\[
\sin \psi= \pm \frac{1}{k} .
\]

В случае \( k<1 \), w \( { }^{\prime 0} \) совершает движение вращения, он распространяется от 0 до \( 2 \pi \) и \( E \) ( \( k \) ) обозначает эллиптический интеграл второго рода.

В дальнейших наших вычислениях мы будем различать два случая:
I. Когда \( J_{1}^{0}
eq J_{2}^{0}, J^{\prime 0}
eq 0 \), невозмущенное движение имеет две неравные частоты
Тогда \( W_{0}-\frac{J^{2}}{16 \pi^{2} A} \) отлично от нуля и \( k \) исчезает вместе с \( \lambda \).
Рис. 38.

Для достаточно малого \( \lambda \) мы имеем движение вращения \( \dot{w}^{\prime 0} \) и для \( E(k) \) можно использовать развертку ряда

Из (9) мы получаем:
\[
E(k)=\frac{\pi}{2}\left(1-\frac{k^{2}}{4}+\cdots\right) .
\]

и из (10)
\[
\frac{2 \lambda}{k^{2}}=\frac{J^{2}}{16 \tau^{2} A}+\lambda
\]
\[
W=\frac{1}{16 \pi^{2} A}\left(J^{2}+J^{\prime 2} j+\lambda .\right.
\]
II. Пусть \( J_{1}^{0}=J_{2}^{0}, J^{\prime 0}=0 \), т. е. частоты невозмущенного движения равны друг другу. Тогда \( W_{0}-\frac{J^{2}}{16 \pi^{2} A}=0 ; \) знаменатель в уравнении (8) будет порядка величины \( \lambda \) и \( k^{2} \) для конечных значений \( W_{1} \) имеет порядок величин 1.

Может наступить как либрация, так и врацение \( w^{0} \), и тогда не придется пользоваться рядом (11).

Для больших значений \( W_{1} k<1 \), следовательно, наступает вращение; для малых значений \( W_{1} k>1 \), следовательно, наступает либрация. Пределы либрации будут тем уже, чем меньше \( W_{1} \).

Для \( W_{1}=0 \) кривая, изображающая движение, свертывается в плоскости \( w_{1}^{\prime 0} J^{\prime 0} \) в центр либрации \( w^{\prime 0}=0, J^{\prime 0}=0 \) или \( w^{\prime 0}=\frac{1}{2} \), \( J^{\prime 0}=0 \).

Отрицательных \( W_{1} \) не существует, так как \( J^{\prime} \) было бы мнимой величиной (по 7).

Но если не учитывать квантовых условий, то все эти движения вполне возможны, так как \( W_{1} \) может принимать непрерывный континуум значений.

По квантовой теории \( J^{\prime} \) может принимать только значения целых кратных чисел от \( h \); далее \( J^{\prime} \) пропорционально \( \sqrt{\lambda} \) (по 7 ), следовательно, для малых \( \lambda \) может принимать произвольно малые значения.
Этим двум условиям удовлетворяет только значение
\[
J^{\prime}=0 \text {. }
\]

В случае вращения \( w^{0} \) это вообще невозможно, а при либрации возможно только в предельном случае \( w^{\prime 0}=0, J^{\prime 0}=0 \) или \( w^{\prime 0} \frac{1}{2}, J^{\prime 0}=0 \).

Итак, при возмущенном движении оба ротатора вращаются строго в одинаковых фазах. Мы имеем только одну частоту и два квантовых условия.

Ставя требование о выполнении уравнений движения, не налагая при этом на состояние условий стабильности, видим, что возможны и такие случаи, когда
\[
w^{\prime 0}=\frac{1}{4}, \quad J^{\prime 0}=0 \text { и } w^{\prime 0}=\frac{3}{4}, J^{\prime 0}=0 .
\]

Но в каждой совокупности движений, определяющихся значениями \( w^{0}=\frac{1}{4} \) или \( \frac{3}{4} \), существуют движения вращения и движения либрации, при которых значения \( w^{\prime 0} \) намного отличаются от их значений \( w^{\prime 0}=\frac{1}{4} \) или \( \frac{3}{4} \).

Следовательно для \( w^{0}=\frac{1}{4} \) и \( \frac{3}{4} \) наше движение с фазовым соотношением в механическом смысле неустойчиво.

В случае \( w^{0}=\frac{1}{4} \) и \( \frac{3}{4} \) оно *акже не стабильно, в то время как \( H \) при этом обладает максимумом. Однако, мы будем рассматривать и такие случаи, когда механически устойчивое движение в энергетическом отношении является неустойчивым. Эти особенные виды движений отличаются тем, что они представляют собой единственные решения уравнений движения
\[
\frac{d w^{\prime 0}}{d t}=\frac{d H}{\partial J^{\prime 0}}, \quad \frac{d J^{\prime 0}}{d t}=-\frac{d H}{\partial w^{\prime 0}},
\]

где \( w^{0} \) – постоянно, следовательно, ротаторы вращаются с постоянной разностью фаз. Из закона сохранения энергии
\[
H\left(J^{0}, J^{\prime 0}, \dot{w}^{\prime 0}\right)=W
\]

вытекает, в силу постоянства \( J^{0} \), постоянство \( J^{\prime} \).
Таким образом
\[
\frac{\partial \dot{H}}{\partial w^{\prime 0}}=0
\]

Решение этого уравнения по (6) будет
\[
w^{0}=0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4},
\]

Тогда из первого уравнения движения по (6) следует
\[
J^{\prime 0}=0 .
\]

Здесь мы рассмотрели впервые пример, когда непосредственно с помощью квантовых условий, из целой системы сложных механических движений выделяется особенно простое движение в качестве стационарного состояния.