а) Теорема. Если д какое-либо иррациональное число, то можно выьрать два целых числа \( \tau \) и \( \tau^{\prime} \) так, что ( \( \left.\tau+\tau^{\prime} \lambda\right) \) будет произвольно мала.
Доказательство.
Пр дставим себе, что из \( O^{+} \)на единичный отрезок \( O E \) проведены отрезки \( O P_{1}, O P_{2} \ldots \), длины которых равны \( \lambda-[\lambda] \), \( 2 \lambda-[2 \lambda] \ldots,([x] \) при этом обозначает максимальное целое число, непревышаюшее \( x \) ). Из иррациональности \( \lambda \) следует, что точки \( O, P_{1}, P_{2} \ldots \) не сливаются вместе и, так как все они расположены на единичном отрезке, то они должны иметь точку, напр., \( P \). Вблизи этой точки лежат среди нашей системы точек точки \( P_{\sigma} \) и \( P_{\sigma+\tau} \), расстояние которых меньше наперед заданого числа \( \delta \). Это расстояние равно:
\[
\sigma \lambda-[\sigma \lambda]-\left(\sigma+\tau^{\prime}\right) \lambda+\left[\left(\sigma+\tau^{\prime}\right) \lambda\right],
\]

оно менее целого числа на \( \tau^{\prime} \lambda \).
Полагая целое число равным – \( \tau \), имеем
\[
\left|\tau+\tau^{\prime} \lambda\right|<\delta \text {. }
\]
b) Траектория движения, в пространстве угловых переменных, и есть прямая. Не ограничивая общности, мы можем начальную точку поместить на траектории, после чего замечаем, что направляющие косинусы прямого пути пропорциональны частотам \(
u_{1},
u_{2} \ldots
u_{f} \).

Мы утверждаем следующую теорем у: Ecлu omсутствует вырождение, то всегда можно для одной произвольной наперед заданой точки отыскать эквивалентную ей точку, к которой траектория движения подходит произвольно близко.

Ограничивая траекторию единичным кубом, где мы каждую ее точку заменяем эквивалентной точкой единичного куба, мы можем нашу теорему выразить в следующей форме:

Теорема: Траектория движения подходит произвольно близко к любой точке единичного куба. Она соответствует нашей теореме чисел:

Если задано \( n \) иррациональных чисел \( a_{1} \ldots a_{n} \) и произвольное число \( b \), то можно всегда найти \( n \) целых чисел \( \tau_{1} \ldots \tau_{n} \) так, чтобы
\[
(\tau a)=\tau_{1} a_{1}+\ldots+\tau_{n} a_{n}
\]

отличалось от \( b \) на произвольно малое число.

Теорему о траектории мы докажем следующим образом \( { }^{1} \) :
Пусть \( O- \) начало и \( O E_{1}, O E_{2} \ldots O E_{f} \)-единичные отрезки системы координат ( \( w_{1}, w_{2} \ldots w_{f} \) ). Пусть затем точки пересечения траєктории, ограниченной единичным кубом с гранями \( (f-1) \)-измерений, органиченными ребрами \( O E_{1}, O E_{2} \ldots O E_{f} \), будут \( P_{0}, P_{1}, P_{2} \ldots \) допустим, что точки \( P_{0} \) и \( O \) совпадают. Ввиду того, что направляющие косинусы несоизмеримы, из всех наших точек не сливается ни одна.

В каждой из этих ( \( f-1 \) )-мерных граней расположено бесконечное множество векторов \( \overline{P_{m}} \overline{P_{m+n}} \), значение которых меньше наперед . заданого числа \( \delta \).

Выясним вопрос о распределении точек пересечения траектории на ограничивающей поверхности. Для этого рассмотрим какие-нибудь перпендикулярные к отрезкам \( O E_{1} \ldots \) части, скажем,

Pй. 41. принадлежащие \( O E_{f} \). Пусть для определенности \( P_{\sigma} \) будет первая точка пересечения из всего ряда \( P_{1}, P_{2} \ldots \), приходящегося на эту грань ( – конечное число; в противном случае появляется вырождение).

Проведя от \( P_{\sigma} \) лежащие на грани вектора \( \bar{P}_{m}^{-} \bar{P}_{m+n} \), мы получаем новые точки нашего ряда: \( Q_{1}, Q_{2} \ldots \)

Первым долгом мы покажем, что они не лежат все в одном линейном ( \( f-2 \) )-мерном пространстве, проходящем через \( P_{\text {a }} \). Доказывать будем в предположении, что этот случай уже однажды имел место.

Точка \( P_{\sigma} \) в рассматриваемой \( (f-1) \)-мерной грани имеет координаты
\[
w_{k}=\frac{
u_{k}}{
u_{f}}-\left[\frac{
u_{k}}{
u_{f}}\right] \quad(k=1 \cdots f-1)
\]

Тогда для \( f-1 \) других точек ряда \( P_{x_{1}}, P_{\dot{x}_{2}} \ldots P_{x_{f-1}} \) можно написать:

2 См. литерат. F. Leit enmeyer, Proc. of the London Math. Soc. (2), Bd. 21, S. 306, 1923 .

или после простого преобразования

В силу того, что не должно иметь места ни одно из соотношений
\[
\tau_{1} \frac{
u_{1}}{
u_{f}}+\tau_{2} \frac{
u_{2}}{
u_{f}}+\ldots+\tau_{f-1} \frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}+\tau_{f}=0
\]

за исключением, когда все \( \tau \) равны нулю, коэфициенты при \( \frac{v_{1}}{v_{f}} \) должны исчезать:

Если теперь первую строчку разделить на \( x_{1}-1 \) и перейти к переделу \( x_{1} \rightarrow \infty \), то получим:
\[
\begin{array}{l}
\frac{v_{2}}{v_{f}}-\left[\frac{v_{2}}{v_{f}}\right] \cdots \\
\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}-\left[\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right] \\
\left.\left[x_{2} \frac{
u_{2}}{
u_{f}}\right]-x_{2}\left[\frac{
u_{2}}{
u_{f}}\right] \ldots \quad\left[x_{2} \frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right]-x_{2}\left[\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right] \quad x_{2}-1\right]=0 . \\
\left\lvert\,\left[x _ { f – 1 } \frac {
u _ { 2 } } {
u _ { f } } \left[\left.-x_{f-1}\left[\frac{
u_{2}}{
u_{f}}\right] \cdots\left[x_{f-1} \frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right]-x_{f-1}\left[\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right] x_{f-1}-1 \right\rvert\,\right.\right.\right. \\
\end{array}
\]

Здесь коэфициент при \( \frac{
u_{2}}{
u_{f}} \) исчезает. Если разделить первую его строчку на \( x_{2}-1 \) и принять, что \( x_{2} \) стремится к \( \infty \), то
\( 3) 2 \)

Продолжӓя наш способ исследования, мы придем к следующим уравнениям
\[
\left|\begin{array}{l}
\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}-\left[\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right] \\
{\left[x_{f-1} \frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right]-x_{f-1}\left[\frac{
u_{f-1}}{
u_{f}}\right] x_{f-1}-1}
\end{array}\right|=0 .
\]

Но последнее притиворечит иррациональности \( \frac{
u_{f-1}}{v_{f}} \). нейном \( (f-2) \) – мерном пространстве, то мы можем выделить \( f-1 \) векторов \( \overline{P_{\sigma} Q_{m}} \), образующих ( \( f-1 \) )-мерное \( (f-1) \)-ребро. Если мы от конца каждого из этих векторов снова проведем все \( f-1 \) векторов и так будем продолжать далее, мы покроем всю перпендикулярную к \( O E_{f}(f-1) \) – мерную грань единичного куба целой сетью ячеек, стороны которых будут меньше \( \delta \).

То же самое, конечно, можно проделать и для других ортогональных к \( O E_{i} \) частей ограничивающей поверхности.

Этим мы доказали, что точки пересечения траектории заполняют ограничивающую поверхность \”без пробелов ; следовательно, прямая траектория проходит произвольно близко к каждой точке единичного куба.