Из общей теории интегрирования канонических уравнений возьмем некоторые простейшие случаи.
\&. Пусть функция Гамильтона \( H \) не содержит однойкакойнибу координаты, напр. \( q_{1} \),
\[
H=H\left(p_{1} q_{2} p_{2} \ldots t\right)
\]

тогда из канонических уравнений следует
\[
\begin{array}{l}
\dot{p}_{1}=0 \\
p_{1}=\text { const. }
\end{array}
\]

Таким образом мы нашли один интеграл движення. Координату \( q_{1} \) называют, по Гельмгольцу, циклической координатой, что имеет место в том случае, если ее изменение не отражается на состоянии механической системы (в частности при переносе или вращении).

Если, например, система материальных точек \( \left(\mathfrak{x}_{1} \mathfrak{r}_{2} \ldots \mathfrak{x}_{n}\right. \) ) движется лишь под действием взаимных сил, то потенциальная энергия зависит только от разностей
\[
\mathfrak{s}_{2}=\mathfrak{r}_{2}-\mathfrak{r}_{1}, \mathfrak{s}_{3}=\mathfrak{r}_{3}-\mathfrak{r}_{1} \ldots \mathfrak{s}_{n}=\mathfrak{r}_{n}-\mathfrak{r}_{1} .
\]

Поэтому вводятся в качестве координат компоненты \( \mathfrak{r}_{1} \) \( x_{1} y_{1} z_{1} \) и компоненты \( \xi_{k} \eta_{k} \zeta_{k} \) разностей \( \tilde{\varepsilon}_{k} \). Так как \( U \) не зависит от \( x_{1} y_{1} z_{1} \), то \( p_{x_{1}} p_{y_{1}} p_{z_{1}} \) – постоянные. Теперь кинетическая энергия.
\[
T=\sum_{k} \frac{m_{k}}{2}\left(\ddot{x}_{k}^{2}+\dot{y}_{k}^{2}+\dot{z}_{k}^{2}\right) \quad(k=1,2 \ldots n)
\]

Вследствие того, что

следует
\[
\dot{x}_{k}=\dot{x}_{1}+\dot{\xi}_{i} \text {, }
\]
\[
(k=2,3 \ldots n)
\]
\[
p_{x_{2}}=\frac{\partial T}{\partial \dot{x}_{1}}=\sum_{k} m_{k} \dot{x}_{k}
\]
\[
(k=1,2 \ldots n)
\]
т. е. три интеграла дают теорему импульсов.

Другой важный случай наступает тогда, когда потенциальная энергия при вращении всей системы вокруг пространственной оси остается неизменной. Если \( \varphi_{1}, \varphi_{2} \)…азимуты системы точек вокруг этой оси, то координатами вводятся величины
\[
\boldsymbol{\Phi}_{1}=\varphi_{1} ; \Phi_{k}=\varphi_{k}-\varphi_{1} \quad(k=2,3 \ldots)
\]

и кроме этого еще некоторые другие, зависящие лишь от взаимного относительного расположения системы точек и оси (напр., цилиндрические координаты \( r_{k}, z_{k} \) или полярные \( r_{k}, \vartheta_{k} \) ). Так как функция Гамильтона не зависит от \( \Phi_{1} \), то \( \Phi_{1} \) – циклическая переменная, в полном смысле этого слова, и ее сопряженный импульс \( p_{\Phi}=p_{\Phi_{1}} \) – постоянен. Так как
\[
\varphi_{k}=\dot{\Phi}_{1}+\dot{\Phi}_{k} \quad(k=2,3, \ldots n)
\]

и
\[
T=\sum_{k=1}^{n} \frac{m_{k}}{2}\left(r_{k}^{2} \dot{\psi}_{k}^{2}+\ldots\right)
\]

где \( r_{k} \) – расстояние от, оси \( p_{\Phi} \) имеет значение
\[
p_{\Phi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\Phi}_{1}}=\sum_{k=1}^{n} \frac{\partial T}{\partial \varphi_{k}}=\sum_{k=1}^{n} m_{k} r_{k}^{2} \dot{\varphi}_{k},
\]

то это является импульсом өращения вокруг оси симметрии.
В случае движения системы материальных точек только под действием взаимных сил наше соображение остается в силе для любого пространственного направления.

Величина \( p_{\Phi} \) является \( в \) любом направлении компонентой общего импульса
\[
\sum_{k=1}^{n} m_{l}\left[\mathfrak{r}_{k} \dot{\mathfrak{r}}_{k}\right] \text { и всегда постоянна, }
\]

из чего следует постоянство вектора импульса вращения. Может случиться, что \( H \) зависит лииь от \( p_{k} \)
\[
H=H\left(p_{1} p_{2} \ldots\right) \text {, }
\]

могда канонические уравкения тотчас же полно стью интегрируются. А именно:
\[
\begin{array}{ll}
\dot{p}_{k}=0 & p_{k}=\alpha_{k} \\
\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}=\omega_{k} & q_{k}=\omega_{k} t+\beta_{k} .
\end{array}
\]

При этом \( \omega_{k} \) для системы – своеобразные постоянные; \( \boldsymbol{\alpha}_{i} \) и \( \beta_{k} \) – постоянные интегрирования.

Из этого мы видим, что механическая проблема легко разрешима тогда, когда можно ввести такие коордшнаты, которые делают функцию Гам ильтона зависимой только от канонически сопряженных импульсов.

Эта цель будет преследоваться во всех методах, излагаемых в дальнейшем.

В общем случае, притти к таким переменным простым преобразованиям \( q_{k} \) в новые координаты невозможно.

Необходимо выразить в новых переменных всю совокуп. ность импульсов и координат ( \( q_{k} p_{k} \) ).
Рассмотрим іेеред этим некоторые примеры.
1. Poтaтор. Под этим названием разумеется твердое тело, могущее вращаться вокруг пространствевной оси.
Если \( \varphi \) – угол вращения и \( A \) – момент инерции относительно оси, то
\[
T=\frac{1}{2} A \dot{\varphi}^{2}
\]

и соответствующнй \( \varphi \) импульс \( -p=A \dot{\varphi} \).
Для движения без участия сил ( \( U=0 \) )
\[
H=T=\frac{1}{2 A} p^{2},
\]

вследствие чего \( \varphi \) есть циклическая координата и поэтому \( p= \) const ห
\[
\dot{\varphi}=\omega=\frac{p}{A}, \varphi=\omega t+\beta .
\]

Итак, движение без участия сил является равномерным вращением вокруг оси
2. Симметричный волчок. Пусть \( A_{x} \) – момент инериии вокруг оси, перпендикулярной к оси симметрии ( \( z \) ), \( A_{z} \) – момент инерции вокруг оси симметрии и \( \mathfrak{D}_{x}, \mathfrak{D}_{y}, \mathfrak{D}_{z} \) – компоненты скорости вращения в прикрепленной к телу координат: ной системе \( (x, y, z) \); тогда
\[
T=\frac{1}{2}\left[A_{x}\left(\delta_{x}{ }^{2}+\delta_{y}{ }^{2}\right)+A_{z} \delta_{z}{ }^{2}\right] .
\]

Введем в качестве координат углы Эйлера \( \vartheta, \varphi \),, ;
\( \theta \) – угол между осью симметрии (2) и некоторым направлением в пространстве ( \( \bar{z}- \) ось),
\( \varphi \) – угол между осью \( x \) и узловой линней. \( { }^{1} \)
\( \varphi \) – угол между осью \( \bar{x} \) и узловой гинией.
1 Узловая линия – прямая пересечевия ( \( x, y \) )-плоскосги и плоскости \( (\bar{x}, \bar{y}) \), перпендикулярвой \( \times \) оси \( -\bar{z} \), идущая через нулевую точку.
\( 2 \theta \)

Компоненты скорости вращения выразятся следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\mathrm{D}_{x}=\dot{\theta} \cos \varphi+\dot{\varphi} \sin \theta \sin \varphi \\
\mathrm{D}_{y}=\dot{\theta} \sin \varphi-\dot{\psi} \sin \theta \cos \varphi \\
\mathrm{D}_{z}=\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta
\end{array}
\]

и кинетическая энергня
\[
T=\frac{1}{2}\left[A_{x}\left(\dot{\vartheta}^{2}+\dot{\psi}^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)+A_{z}(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \theta)^{2}\right],
\]

Соответствующие импульсы:
\[
p_{\vartheta}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\theta}}=A_{x} \dot{\theta}
\]
\[
\begin{array}{l}
p_{\varphi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\varphi}}=A_{2}(\dot{\varphi}+\dot{\psi} \cos \vartheta) \\
p_{\psi}=\frac{\partial T}{\partial \dot{\psi}}=\left(A_{x} \sin ^{2} \theta+A_{z} \cos ^{2} \vartheta\right) \dot{\psi}+A_{z} \cos \vartheta \dot{\varphi} .
\end{array}
\]

С целью выяснения физического значения импульсов, подставим из (2) вместо
\[
\begin{array}{l}
p_{\vartheta}=A_{x}\left(\mathrm{D}_{x} \cos \varphi+\mathfrak{D}_{y} \sin \varphi\right) \\
p_{\varphi}=A_{z} \mathrm{D}_{z} \\
p_{\psi}=A_{x}\left(\mathrm{D}_{x} \sin \varphi-\mathfrak{D}_{z} \cos \varphi\right) \sin \vartheta+A_{z} \mathfrak{D}_{z} \cos \vartheta .
\end{array}
\]

и ( \( \oint_{x} \cos \varphi-\oint_{y} \sin \) ) очевидно означает скорость вращения вокруг узловои линии и ( \( \mathfrak{D}_{x} \sin \varphi-\mathfrak{D}_{y} \cos \varphi \) ) – скорость вращения вокруг перпендикулярного к плоскости \( (x, y) \) направления. Таким образом на основания уравнения заключаем:
\( p_{9} \) – импулвс вращевия вокруг узловой линин,
\( p_{\varphi} \) – импульс вращения вокруг оси симметрии,
\( p_{\phi} \) – импульс вращения вокруг направления (z) в пространстве.
Для двнжения, свободного от действия сил ( \( U=0 \) ), получаётся следующее выражение:
\[
H=T=\frac{1}{2 A_{x}}\left[p_{\vartheta}^{2}+\left(\frac{p_{\psi}-p_{\varphi} \cos \theta}{\sin \vartheta}-\frac{p_{\phi}^{2}}{2 A_{s}} .\right.\right.
\]

Так как \( \varphi \) и \( \psi \) здесь не содержатся, то они являюются циклическими координатами, а поэтому
\[
p_{\varphi}=\text { const }, p_{\psi}=\text { const. }
\]

Так как мы имеем в своем распоряжении теорему об общем импульсе вращения, то можно произвести полностью интеграцию. А именно ось \( \bar{z} \), являющуюся до этого произвольной, отложим по направлению общего импульса вращения и, так как узловая линия перпендикулярна к вему, то импульс вращения вокруг узловой линии
\[
p_{9}=0 .
\]

Канонические уравнения дают \( \vartheta= \) const.
\[
\frac{\partial H}{\partial \vartheta}=0 ; \quad\left(p_{\varphi}-p_{\psi} \cos \theta\right)\left(p_{\psi}-\eta_{\varphi} \cos \gamma\right)=0 .
\]

в результате чего, проделав преобразование, мы приходим к выражению:
\[
p_{\varphi}-p_{\psi} \cos \vartheta=0 \quad \text { (ибо } p_{\psi} \geqq p_{\varphi} \text { ). }
\]

Функцня Гамильтона теперь получит простую форму
\[
H=\frac{1}{2 A_{x}} p_{\psi}^{2}+\frac{1}{z}\left(\frac{1}{A_{z}}-\frac{1}{A_{x}}\right) p_{\varphi}^{2} ;
\]
\( \psi \) и \( \varphi \) изменяются равномерно с угловыми скоростями:
\[
\dot{\varphi}=\omega_{\varphi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\varphi}}=\left(\frac{1}{A_{x}}-\frac{1}{A_{x}}\right) p_{\varphi}, \quad \dot{\psi}=\omega_{\psi}=\frac{\partial H}{\partial p_{\psi}}=\frac{1}{A_{x}} \cdot p_{\psi} .
\]

Движение симметричного волчка, свободного от дейсгвия сил, состоит, таким образом, в равномерном врацении вокруг оси симметрии, связанном с равномерной прецессией этой оси вокруг направления общего импульса вращения.