Применения принципов квантовой механики, вывеленных в первой главе, сильно ограничиваются тем фактом, что все эти принципы относятся к многопериодическим системам. Первый пример, разобранный Бором, а именно системы, состоящие из одного электрона и одного ядра (водородный атом и ему подобные йоны \( \mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{++} \)и т. д.) удовлетворял предположению периодичности. Но для других атомов, при исследовании свойств периодичности движения, появляются затруднения такого характера, как затруднения в проблеме большого числа тел в астрономии. Здесь, следовательно, могут помочь лишь приближенные вычисления. Бор показал, что большое число свойств атома, особенно тех, которые изучаются с помощью спектров, можно легко понять, приняв предположение, что в стационарных состояниях играет особенную роль один электрон, оптический электрон. Эти состояния должны отличаться главным образом тем, что светящий электрон движется по траектории, которая в худшем случае частично находится далеко от остова и поэтому на остов атома влияет незначительно.

По этой причине мы будем всегда говорить о стационарных путях оптического электрона, если при этом не будут приниматься во внимание процессы, происходящие в остове атома. Тогда спектр атома будет соответствовать переходам светящегося электрона из одной стационарной орбиты на другую. Это предположение включает то, что движение внешнего электрона движение периодическое и что во время пересечения остова электроном он не теряет и не приобретает никакой энергии. Движения такого рода по классической механике вполне возможны и распространены; необходимое требование при этом, чтобы движения электронов остова происходили так, чтобы энергия их после каждого периода внешнего электрона оставалась той же самой.

Оно выполнимо только при условии вполне строгого периодического решения проблемы большего числа тел.

Ввиду того, что с помощью таких стационарных орбит оптического электрона поразительно просто объясняется целый ряд опытов, то казалось бы, что здесь речь идет об общем процессе, трудно объяснимом многочисленными обыкновенными формами движения. Более того, оказалось, что здесь дело идет о несостоятельности классической механики, которая подтверждается опытами Франка. С ударами электронов в обоих случаях обмен энергией между электроном и атомом или остовом атома ограничен таким же образом, как и в случае привычного обмена между атомом и излучением. Мы не можем заблаговременно выразить этот не механический процесс математическим языком. Необходимо предварительно создать модель атома, которая соответствовала бы действительному атому хотя бы в главных чертах, а именно, чтобы отсутствовал обмен энергии между остовом и электроном и чтобы к энергии были применимы принципы квантовой теории, выведенные во второй главе. Простейшим предположением будет служить то, что остов действует на оптический электрон подобно центрально симметричному силовому полю:-

Исходя из этого предположения, исследуем движение материальной точки в центральном поле.

Движение в поле кулоновских сил, как мы имели при водородном атоме, получается из наших результатов при некоторых условиях. Для вычисления безразлично, будем ли мы решать задачу, как проблему одного тела или как проблему двух тел. В первом случае мы имеем один силовой центр и потенциал сил поля есть функиия \( U(r) \) расстояния от центра. Во втором случае мы имеем две массы, потенциальная энергия \( U(r) \) которых зависит только от их расстояния; они движутся вокруг общего центра тяжести.

Как это мы показали в \( \$ 20 \), функция Гамильтона в полярных координатах точно равна той функции, которую имела бы в случае проблемы одного тела масса \( \mu \) движущегося тела с расстоянием от центра \( r \). Величина \( \mu \) тогда определялась с помощью уравнения (2) \( \S 20 \).
\[
\frac{1}{\mu}=\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}} .
\]

Наши дальнейшие уравнения допускают как ту, так и другую постановку вопроса. Введем пространственные полярные координаты \( r, \vartheta, \varphi \). Использовывая канонические преобразования (13) \( \S 7 \), сводящие прямоугольные координаты к полярным, мы получаем для кинетической энергии
\[
T=\frac{1}{2 \mu}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\vartheta}^{2}}{r^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta}\right),
\]

где \( p_{r}, p_{\vartheta}, p_{\varphi} \) – сопряженные импульсы относительно \( r, \vartheta, \varphi \).
То же выражение мы получаем, если из
\[
T=\frac{\mu}{2}\left(\dot{r}^{2}+r^{2} \dot{\vartheta}^{2}+r^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}^{2}\right)
\]

вычислим импульсы:
\[
\begin{array}{l}
p_{r}=\mu \dot{r} \\
p_{\vartheta}=\mu r^{2} \dot{\vartheta} \\
p_{\varphi}=\mu r^{2} \sin ^{2} \dot{\vartheta} \dot{\varphi}
\end{array}
\]

и выразим через их \( \dot{\boldsymbol{r}}, \dot{\boldsymbol{v}} \), \( \dot{\varphi} \).
Из функции Гамильтона
\[
H=\frac{1}{2 \mu}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\vartheta}^{2}}{r^{2}}+\frac{p_{\varphi}^{2}}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta}\right)+U(r)
\]

следует, что \( r, \vartheta \), -разделимые переменные.
Положим:
\[
S=S_{r}(r)+S_{\circlearrowleft}(\vartheta)+S_{\varphi}(\varphi)
\]

тогда диференциальное уравнение Гамильтона-Якоби
\[
\left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2}}\left(\frac{\partial S}{\partial \vartheta}\right)^{2}+\frac{1}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta}\left(\frac{\partial S}{\partial \varphi}\right)^{2}+2 \mu[U(r)-W]=0
\]

распадается на три обыкновенных диференциальных уравнения:
\[
\frac{d S_{\varphi}}{d \varphi}=\alpha_{\varphi},\left(\frac{d S_{\vartheta}}{d \vartheta}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}=\alpha_{\vartheta}^{2},\left(\frac{d S_{r}}{d r}\right)^{2}+\frac{\alpha_{\vartheta}^{2}}{r^{2}}+2 \mu[U(r)-W]=0,
\]

решаюцихся относительно производных по \( S \) :
3)
\[
\frac{d S_{r}}{d r}=p_{r}=\sqrt{2 \mu[W-U(r)]-\frac{\alpha_{\vartheta z}}{r^{2}}}
\]
\[
\frac{d S_{\vartheta}}{d \vartheta}=p_{\vartheta}=\sqrt{\alpha_{\vartheta}^{2}-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}} ; \quad \frac{d S_{\varphi}}{d \varphi}=p_{\varphi}=\alpha_{\varphi},
\]

Из трех постоянных интеграции \( W \) обозначает энергію;
\[
\alpha_{\varphi}=p_{\varphi}=\mu r^{2} \sin ^{2} \vartheta \dot{\varphi}
\]

есть импульс вращения вокруг полярной оси и
\[
\alpha_{\vartheta}=\sqrt{p_{\vartheta}^{2}+\frac{p^{2} \varphi}{\sin ^{2} \vartheta}}=\mu r \sqrt{(r \vartheta)^{2}+(r \sin \vartheta \cdot \dot{\varphi})^{2}}=\mu|[\mathrm{r} \cdot \mathrm{r}]|
\]

представляет значение общего импульса вращения.

Ввиду того, что направление импульса вращения постоян ное (как вообще в системе, находящейся под влиянием только внутренних сил) траектория движения – плоская, и нормаль плоскости траектории параллельна вектору импульса вращения. Наклон \( i \) плоскости траектории к плоскости \( (r, \varphi) \) определяе тся из отношения
\[
\alpha_{\varphi}=x_{\theta} \cos i .
\]

Исследуем сперва общий характер движения, после чего определим энергию как функцию переменных действия для случая периодического движения и, наконец, рассмотрим прощесс движения.

Координата \( \varphi \) представляет циклическую координату, а координата \( \vartheta \) производит либрационное или ограниченное движение в ин тервале, симметричном относительно значения \( \frac{\pi}{2} \), пределы которого определяются с помощью нулевых мест подрадикальных выражений в формуле для \( p_{9} \), а именно:
\[
\sin \vartheta= \pm \frac{\alpha_{\varphi}}{\alpha_{\vartheta}}= \pm \cos i .
\]

Далее, характер движения зависит существенным образом от соотношения подрадикальных выражений в уравнении для \( p_{r} \)
\[
F(r)=2 \mu[W-U(r)]-\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{r^{2}} .
\]

Проанализируем возможные при этом случаи, предполагая, что \( U(r) \) – монотонная функция, \( r \) нормированная так, что для \( r=\infty \) она исчезает.
1 случай. В отталкивающем центральном поле \( U(r) \) – положительна. Чтобы, вообще, существовали только положительные значения \( F(r) \), необходимо, чтобы \( W \) всегда было положительным. Тогда \( F(r) \) будет оставаться положительной для большого \( r \) и с уменьшением \( r \) будет сама монотонно уменьшаться; для малых \( r \) функция \( F(r) \), очевидно, отрицательна. Таким образом функция \( F(r) \) имеет нулевое место. Движение происходит между малым значением \( r \) и бесконечным его значением.
2 случай. В притягивающем,центральном поле функция \( U(r) \) отрицательна, и \( W \) может принимать значения: положительное, нуль или отрицательное.

Знак для \( F(r) \) для больших \( r \) решает \( W \). Для положительного \( W \) функция \( F(r) \) тоже положительная и существуют движения, распространяющиеся до бесконечности. При отрицательном \( W \) таких траекторий не существует. В случае \( W=0 \) функция \( U(r) \) продолжает существовать, а при некоторых обстоятельствах также сохраняется и величина \( \alpha_{9} \).

Знак \( F(r) \) для малых \( r \) зависит от быстроты, с которой \( |U(r)| \) стремится к бесконечности.

Там, где она увеличивается для малого \( r \) быстрее чем \( \frac{1^{1} \text { ) }}{r^{2}} \), \( F(r) \) – положительна и существуют траектории, подходящие произвольно близко к центру сил; если \( U(r) \) стремится к бесконечности медленнее, чем \( \frac{1}{r^{2}} \), таких траекторий не существует; если \( U(r) \) стремится к бесконечности таким же образом, как \( \frac{1}{r^{2}} \), тогда решающее значение имеет \( \alpha_{3} \).

Далее, существуют такие случаи, где кроме траекторий, идущих к центру и идущих в бесконечность, имеются траектории, проходящие между самым меньшим значением \( r, r_{\min } \), и самым большим значением \( r, r_{\max } \), а именно при условии, если \( r_{\min } \) и \( r_{\max } \) – последовательно идущие нулевые места \( F(r) \), между которыми \( F(r) \) положительна.

Для случая, когда \( |U(r)| \) стремится к бесконечности медленнее, чем \( \frac{1}{r^{2}} \), существует всегда значение \( W \), при котором наступает либрация; для отрицательного \( W \) не существует вообще никаких движений, кроме либрации. Применение в атомной физике распространяется только на движения, остающиеся на конечном расстоянии от центра и являющиеся периодическими. Из этих соображений будем рассматривать в дальнейшем только случаи притяжения и будем придавать \( W \) такие значения, для которых \( F(r) \) положительна между двумя следующими друг за другом нулевыми положениями \( r_{\text {min }} \) и \( r_{\max } \). Применим к этому случаю наш метод исследования периодических движений. Так мы получаем интегралы действия
\[
\begin{aligned}
J_{r} & =\oint \sqrt{2 \mu[W-U(r)]-\frac{\alpha_{\theta}^{2}}{r^{2}} d r} \\
J_{\vartheta} & =\oint \sqrt{\alpha_{\vartheta}^{2}-\frac{\alpha_{\varphi}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta} d \vartheta} \\
J_{\varphi} & =2 \pi \alpha_{\varphi}
\end{aligned}
\]

Посредством подстановки
\[
\cos \vartheta=x \sin i=x \sqrt{1-\frac{\alpha_{\varphi}{ }^{2}}{\alpha_{\vartheta}^{2}}}
\]
1 Математически говоря, это обозначает, что величина \( U(r) \) для малых \( r \) порядка большего, нежели для \( \frac{1}{r^{2}} \). Порндок величины функции \( f(x)(>0) \), для малых \( x \) больший, чем порядок величины функции \( g(x)(>0) \), если только \( \lim _{x=0} \frac{g(x)}{f(x)}=0 ; f(x), g(x) \) одинакового порядка при условии, если предельное значение \( \frac{g(x)}{f(x)} \) – величина постоянная.

второй интеграл принимает форму
\[
J_{\vartheta}=-\frac{\alpha_{\vartheta}^{2}-\alpha_{\varphi}^{2}}{\alpha_{\vartheta}} \oint \frac{\sqrt{1-x^{2}} d x}{1-x^{2} \frac{\alpha_{\vartheta}^{2}-\alpha_{\varphi}^{2}}{\alpha_{\vartheta}^{2}}} .
\]

Вычисление дает (срав. (3) и (8) приложения II)
\[
J_{\vartheta}=2 \pi\left(\alpha_{\theta}-\alpha_{\varphi}\right) .
\]

После этого можно \( \alpha_{\vartheta} \) и \( \alpha_{\varphi} \) выразить через переменные действия
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{\vartheta}=\frac{J_{\vartheta}+J_{\varphi}}{2 \pi} \\
\alpha_{\varphi}=\frac{J_{\varphi}}{2 \pi} .
\end{array}
\]

Чтобы отыскать энергию, как функцию \( J \), нужно уравнение
\[
J_{r}=\oint \sqrt{2 \mu[W-U(r)]-\frac{\left(J_{\vartheta}+J_{\varphi}\right)^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}} d r
\]

решить относительно \( W \).
Это невозможно произвести без приближенного определения \( U(r) \).

Легко видно уже из уравнения, что решение относительно \( W \) зависит только от \( J_{r} \) и члена \( J_{\vartheta}+J_{\varphi} \). Из этого следует, что частоты равны:
\[

u_{\vartheta}=\frac{\partial W}{\partial J_{\vartheta}}, \quad
u_{\varphi}=\frac{\partial W}{\partial J_{\varphi}}
\]

и система является вырожденной.
Руководствуясь основными функциями, приведенными в \( \$ 15 \), введем новые переменные \( w_{1}, w_{2}, w_{3} \) и; \( J_{1}, J_{2}, J_{3} \) таким образом, чтобы \( w_{3} \) было постоянно. При этом расположим их так, чтобы в случае кулоновского поля сил, где \(
u_{r}=
u_{\vartheta}=
u_{\varphi} \), переменная \( w_{2} \) также была постоянна. Опираясь на (8) § 7 , положим
\[
\begin{array}{ll}
w_{1}=w_{r} & J_{1}=J_{r}+J_{\vartheta}+J_{\varphi} \\
w_{2}=w_{\vartheta}-w_{r} & J_{2}=J_{\vartheta}+J_{\varphi} \\
w_{8}=w_{\varphi}-w_{\vartheta} & J_{3}=J_{\varphi}
\end{array}
\]

Тогда уравнение (6) кроме \( W \) будет содержать в себе только \( J_{1} \) и \( J_{2} \) и мы отыщем \( W \) в форме
(8)
\[
W=W_{4}\left(J_{1}, J_{2}\right) .
\]

Для стационарных движений при отсутствии вырождения сохраняются два квантовых условия, напр. отсутствие кулоновского поля
\[
\begin{array}{l}
J_{1}=n h \\
J_{2}=k h,
\end{array}
\]

где \( n \) называется главным квантовым числом, и \( k \)-второстепенным квантовым числом ‘.

Переменные действия имеют следующее физическое значение: \( J_{2} \) – общий импульс вращения, определенный с точностью до множителя \( \frac{1}{2 \pi} \), затем \( J_{3} \) – его компонент по направлению полярной оси. Само собой понятно, что \( J_{1} \) не может равняться нулю, что касается \( J_{2}^{\prime} \), то \( J_{2}=0 \) означало бы движение по прямой, проходящей через центр – путь маятника“. В физическом применении, где силовой центр представляет атомное ядро, этот случай, конечно, исключается. С целью выяснения физического смысла угловых переменных, вычислим их посредством уравнений преобразования
\[
w_{\kappa}=\frac{\partial S}{\partial J_{k}} .
\]

Вводя \( J_{k} \) в уравнения (3), мы будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
p_{r}=\sqrt{2 \mu\left[W\left(J_{1} J_{2}\right)-U(r)\right]-\frac{J_{2}^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}} \\
p_{\vartheta}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{J_{2}^{2}-\frac{J_{3}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}} \\
p_{\varphi}=\frac{1}{2 \pi} J_{3}
\end{array}
\]

и для угловых переменных:
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=\frac{\partial S}{\partial J_{1}}=\int \frac{\partial p_{r}}{\partial J_{1}} d r=\int \frac{\mu
u_{1}}{\sqrt{2 \mu(W-U)-\frac{J_{2}^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}}} d r \\
\text { (10) } w_{2}=\frac{\partial S}{\partial J_{2}}=\int \frac{\partial p_{r}}{\partial J_{2}} d r+\int \frac{\partial p_{\theta}}{\partial J_{2}} d \vartheta=\int \frac{\mu
u_{2}-\frac{J_{2}}{4 \pi^{2}} \overline{r^{2}}}{\sqrt{2 \mu(W-U)-\frac{J_{2}^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}}} d r+ \\
+\frac{1}{2 \pi} \int \frac{J_{2} d \vartheta}{\sqrt{J_{2}^{2}-\frac{J_{3}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}}} ; \\
w_{3}=\frac{\partial S}{\partial J_{3}}=\int \frac{\partial p_{\vartheta}}{\partial J_{3}} d \vartheta+\int \frac{\partial p_{\varphi}}{\partial J_{3}} d \varphi=\frac{1}{2 \pi}\left[\varphi-\int \frac{J_{3} d \vartheta}{J_{2} \sin ^{2} \vartheta \sqrt{1-\frac{J_{3}^{2}}{J_{2}^{2} \sin \vartheta}}}\right] \text {. } \\
\end{array}
\]

I \( k \) – называется также азимутным квантовым числом. Это название происходит от того, что \( k \) можно представить в форме \( \frac{1}{h} \int p_{\psi} d_{\psi} \), где \( \psi \)-азимут движущейся точки в плоскости траектории.

Интегралы по \( d \vartheta \) можно вычислить, а именно:
\[
\int \frac{J_{2} d \vartheta}{\sqrt{J_{2}^{2}-\frac{J_{3}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}}}=\int \frac{d \vartheta}{\sqrt{1-\frac{\cos ^{2} i}{\sin ^{2} \vartheta}}}=\arcsin \frac{\cos \vartheta}{\sin i}+\text { const }
\]

и
\[
\begin{array}{c}
\int \frac{J_{3} d \vartheta}{J_{2} \sin ^{2} \vartheta \sqrt{1-\frac{J^{2}}{J_{2}^{2} \sin ^{2} \vartheta}}}=\int \frac{\cos i d \vartheta}{\sin ^{2} \vartheta \sqrt{1-\frac{\cos ^{2} i}{\sin ^{2} \vartheta}}}= \\
=\arcsin (\operatorname{ctg} i \operatorname{ctg} \vartheta)+\text { const. }
\end{array}
\]

На рисунке 11 мы видим, что первый интеграл представляет с точностью до постояннои интеграции угловое расстоя-
Рис. 11. ние \( \psi \), измеренное на плоскости траектории движушейся точки от узла, а второй интеграл есть проекция этого расстояния на плоскость \( (r, \varphi) \). Заменяя эти проекции \( \varphi \), получаем узловую длину. Третье наше уравнение (10) с точностью до произвольной ‘аддитивной постоянной \( 2 \pi w_{3} \) дает длину узла. Из уравнений (10) \( 2 \pi w_{3} \) равно измеренному на плоскости траектории расстоянию \( \Varangle \) от узла плюс некоторая функция от \( r \) :
\[
2 \pi w_{2}=\psi_{1}+F_{2}\left(r, J_{1}, J_{2}\right) .
\]

Функция \( F_{2} \) однозначна, так как за время одной либрации \( r \) \( \int p_{r} d r \) увеличивается на \( J_{1} \) и, следовательно, частная производная по \( J_{2} \) принимает вновь свое прежнее значение. Вследствие этого, \( 2 \pi w_{2} \) представляет с точностью до аддитивной постоянной измеренное на плоскости траектории расстояние какой-либо точки траектории заданного радиуса \( r \) от узла, – следовательно, представляет с точностью до постоянной расстояние перигелия \( \left(r_{\text {min }}\right) \) от узла. Наконец, \( 2 \pi w_{1} \) обозначает с точностью до постоянной так называемую астрономами „среднюю аномалию\”, именно угловое расстояние некоторой воображаемой точки от перигелия, которая равномерно вращается и каждый раз вместе с действительно движущейся точкой достигает перигелия. По той причине, что мы имеем здесь систему, подверженную воздействию только внутренних сил, и движение происходит в плоскости, в ряде Фурье (как было показано в §17) электрического момента появляется угловая переменная \( { }_{2} \) с множителем \( \pm 1 \), соответствующая общему импульсу вращения. Это отражается известным образом в формулах для угловых переменных. Так скажем .
\[
\begin{array}{l}
w_{1}=\quad f_{1}\left(r, J_{1}, J_{2}\right) \\
w_{2}=\frac{1}{2 \pi} \psi+f_{2}\left(r, J_{1}, J_{2}\right) \\
w_{2}=\text { const }
\end{array}
\]

или решая относительно \( r \), \( \psi \),
\[
\begin{array}{l}
r=\quad \varphi_{1}\left(w_{1}, J_{1}, J_{2}\right) \\
\psi=2 \pi w_{2}+\varphi_{2}\left(w_{1}, J_{1}, J_{2}\right) .
\end{array}
\]

Приводя к прямоугольным координатам \( \xi, \eta, \zeta \), где \( \zeta \) должна быть перпендикулярной к плоскости траектории, мы получаем выражение в форме:
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{p}_{\xi}+i \mathfrak{p}_{\eta}=e^{2 \kappa i w_{2}} \sum_{\tilde{\tau}_{1}} D_{\tau_{1}} e^{2 \pi i \tau_{1} w_{1}} \\
\mathfrak{p}_{\zeta}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом следует, что по принципу соответственности квантовые числа, введенные по (9) \( k \) и \( n \), могут изменяться – первое на \( \pm 1 \), а второе, вообще говоря, мо. жет испытывать любые изменения. Траекторию движения удобнее

Рис. 12. всего выразить с помощью координат \( r \) и \( \psi \). Из первого уравнения (10) мы получим
\[
d t=\frac{\mu}{\sqrt{2 \mu(W-U)-\frac{J_{2}^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}}} d r .
\]

Пользуясь этим соотношением совместно с теоремой сохранения площадей
\[
\mu r^{2} d \Phi=\frac{J_{2}}{2 \pi} d t .
\]

исключаем \( d t \) и получаем диференциальное уравнение траектории:
\[
\frac{d \psi}{d r}=\frac{\frac{J_{2}}{2 \pi}}{r^{2} \sqrt{2 \mu[W-U(r)]-\frac{J_{2}^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}}}} .
\]

В виду того, что движение заключается в некоторой либрации \( r \) совместно с равномерньм вращением перигелия, вид траектории движения напоминает розетку.