Оба исследованные случаи вырождения обладают той общей особенностью, ч го траектория заполняла собой некоторую область в пространстве координат, а именно область менее \( f \) измерений. Для многопериодических систем имеет место третий случай вырождения, играющий большую роль в атомных проблемах и (при применении исчислений возмущений) приводящий к типичным затруднениям. Вследствие этого необходимо обобщить понятие вырождения и многопериодическое движение считать тогда вырожденным, когда траектория заполняет область числа измерений низшего порядка, чем число степеней свободы.

Число измерений области, заполняющейся траекторией, мы будем называть степенью периодичности наблюдаемого движения. Таким образом, движение всегда будет считаться вырожденным, если степень его периодичности будет меньше \( f \). В качестве невозмущенных систем мы будем всегда рассматривать такие движения, которые можно описать введением разделяющихся переменных.

Как мы видели выше ( \( \S 14 \) ) в случае разделимых систем, траектория ограничивается рядом поверхностных слоев. В некоторых частных случаях эти поверхности могут сливаться. Тогда число измерений покрывающейся траекторией области уменьшается на 1. Это слияние двух пределов либрации означает третью \( и \), как оказывается, последнюю возможность вырождения. Для ясности разберем пример.

Рассмотрим относительное кеплеровское движение, т. е. движение по эллипсу с вращением перигелия. Траектория здесь обыкновенно плотно заполняет круговое кольцо, представляющее двухмерную область.

Если эксцентрицитет исходного пути исчезает, то ограничивающие круги все более и более сходятся к одному кругу до тех пор, пока не сольются и траектория не превратится в одномерную круговую траекторию. В этом случае вырождение, как это мы понимали до сих пор, не имеет места. Но угловая переменная вследствие геометричёского ее определения будет неопределенной, а одна из переменных действия прияимает из условия реальности предельное значение. Например, при наличии относительных кеплеровских эллипсов в общем случае \( J_{2} \leqq I_{1}, J_{2}=J_{1} \).

Этот факт мы будем называть кратко предельным вырождением.

Дальнейшими примерами могут служить нам исследования перпендикулярного к направлению поля пути при эффекте Зеемана, проходящего полностью по поверхности эллипсоида вращения проблемы дзух центров и т. д.

Для наглядности мы будем заняматься также исследованием круговых траекторий, эксцентрицитетов и т. д., хотя наши сообпажения имеют более общий характер.

Предельно вырождаемая степень свободы будет характеризоваться приводящей к разделению координатой \( q_{f} \), пределы либрации которой совпадают. Соответствующая ей переменная действия
\[
f_{f}^{0}=\oint p_{f} d q_{f}
\]

всегда равна нулю.
Если допустить, что на такое движ ‘ние, где \( J_{f}^{0}=0 \), действуют возмущающие силы, то (не учитывая квантовой теории) в общем случае возбуждается степень свободы \( q_{f} \) (в нашем примере траектория не остается уже кругөм), и фазовый интеграл \( J_{t} \) должен быть отличен от нуля. По принципам квантовой теории \( J_{f} \)-кратное целое число \( h \); так как оно для исчезающего возмущения должно переходить в \( f_{f}^{0} \), то, следовательно, оно всегда может иметь только значение, равное нулю. Ниже мы увидим, что единственным решением, удовлетворяющим этому требованию, является такое решение, при котором \( J_{f}^{0} \) также и в случае возмущенного движения остается продолжительно равным нулю.

Таким образом, возмущенное движение имеет (как при случайном вырождении) степень периодичности, равную степени невозмущенного движения. Задача отыскания такого решения связана с чисто математическими затруднениями.

Рассматривая наш пример, мы замечаем, что функция возмущения содержит линейные члены относительно эксцентрицитета, следовательно, термы с \( \sqrt{\text { J }_{f}^{1}} \) ). Это, вообще говоря, может иметь место при вырождающейся в пределе исходной системе. Тогда в выражение
\[
\frac{d w_{f}^{0}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial J_{f}^{0}}
\]

входят члены с \( \frac{1}{\sqrt{J_{f}^{0}}} \), т. е. при переходе к пределу невозмущенного движения координата \( { }_{f}^{0} \) делается очень подвижной и не имеет предельного значения. Тогда развертки \( \$ 41 \) не применимы.

Переменные \( J_{f}^{0} w_{f}^{0} \) обладают свойством полярных координат; для \( J_{f}^{0}=0 w_{f}^{0} \) не определено. Заменяя их \”прямоугольными“ каноническими координатами Пуанкаре \( { }^{2} \) )
\[
\xi^{0}=\sqrt{\frac{J^{0}}{\pi}} \sin 2 \pi w_{f}^{0}, \quad \eta^{0}=\sqrt{\frac{J^{0}}{\pi}} \cos 2 \pi w_{f}^{0}
\]
(производящая функция \( \frac{\eta^{0^{2}}}{2 t} \operatorname{tg} 2 \pi w_{f}^{0} \) ), мы действительно сможем преодолеть выше упомянутое затруднение.

Теперь вблизи \( J_{f}^{0}=0 \), \( w_{f}^{0} \) может изменяться без того, чтобы \( \xi^{0} \) и \( \eta^{0} \) испытывали быстрое изменение.

Вследствие того, что при возмущенном движении \( J_{f}^{0} \) отличаются незначительно от соответствующих им переменных действия \( J_{f}=0 \), мы можем \( \xi^{\theta} \) и \( \eta^{0} \) рассматривать, как малые величины.
1 При пользовании ‘прежними обозначениями эксцентрицитет \( \varepsilon \sqrt{1-\frac{J_{2}^{2}}{J_{1}^{2}}} \) соответствует радиальному интегралу действия \( J_{r}=J_{1}-J_{2} \).
Для малых \( J_{r} \) эксцентрицитет очевидно пропорционален \( \sqrt{J_{r}} \)
\( { }^{2} \) Cp. H. Poincaré, Mèthode notvelles, Bd. II, Kap. XII.

Подставив новые переменные в выражение функции Гамильтона, мы можем ее разложить в ряд по \( \xi^{0}, \eta^{0} \) таким образом, что коэфициенты степеней \( \lambda \) расположатся по возрастающим степеням относительно \( \xi^{0}, \eta^{0} \). При этом ряд для \( H_{0} \) – энергетической функции невозмущенного движения – в силу (1) развертывается только по степени \( \xi^{0^{2}} \) и \( \eta^{0^{2}} \), так как она зависит только от \( J_{f}^{0} \), но не от \( w_{f}^{0} \). Напротив, в функции возмущения выступают также линейные члены. После всех этих рассуждений упомянутое выше затруднение можно формулировать аналитически. Для невозмущенной системы в силу
\[
\frac{d \xi^{0}}{d t}=\left.\frac{\partial H_{0}}{\partial r^{0}}\right|_{\xi^{0}=0, r^{0}=0}=0, \frac{d \eta^{0}}{d t}=-\left.\frac{\partial H_{0}}{\partial \xi^{0}}\right|_{\xi^{0}=0, \eta^{n}=0,}=0
\]

круговая траектория \( \xi^{0}=0, r_{i}^{0}=0 \) представляет строгое решение уравнений движения. Однако это не может быть решением возмущенного движения по той причине, что в общем случае функция возмущения содержит также и линейные члены относительно \( \xi^{0}, \eta^{0} \). С помощью высказанных нами соображений мы легко находим путь решения уравнений. Если нам удастся с помощью подходящего преобразования ввести такие переменные \( \xi, \eta \), чтобы выпали все линейные члены в развертке функций Гамильтона, то \( \xi=0, \quad \eta=0 \) также для возмущенной системы представляют строгое-решение уравнений движения. Такое преобразование находится рекурсионным способом, причем производится одновременно интегрирование остальных уравнений движения.

Итак, пусть мы имеем механическую проблему с функцией Гамильтона
\[
\begin{array}{l}
H=H_{0}+\lambda H_{1}+\lambda^{2} H_{2}+\ldots \\
H_{0}=H_{00}\left(J_{\alpha}^{0}\right)+c_{0} \xi^{0^{2}}+d_{0} \eta^{0^{2}}+\ldots \\
H_{1}=H_{10}\left(J_{\alpha}^{0}, w_{q}^{0}\right)+a_{1} \xi^{0}+b_{1} \eta^{0}+c_{1} \xi^{2}+d_{1} \eta^{0}+e_{1} \xi^{0} \eta^{0}+\cdots \\
H_{2}=H_{20}\left(J_{\alpha}^{0}, w_{\alpha}^{0}\right)+a_{2} \xi^{0}+b_{2} \eta^{0}+c_{2}^{\xi^{2}}+d^{2} \eta^{0^{2}}+e_{2} \xi^{0} \eta^{0}+\ldots,
\end{array}
\]

где \( H_{n 0}, a_{n}, b_{n} \cdots(n=1,2 \cdots) \) периодические функции \( w_{a}^{0} \) (периоды 1).
Искомое преобразование приводит (2) к форме
\[
H=W_{0}+\lambda W_{1}+\lambda^{2} W_{2}+\ldots
\]

причем
\[
W_{n}=V_{n}\left(J_{\alpha}\right)+R_{n}
\]

и \( R_{n} \) обозначает степенной ряд относительно \( \xi \), \( \eta \), начинающийся квадратичными членами.

Для функции преобразования полагаем
\[
S=\sum_{1}^{t-1} J_{\alpha} w_{\alpha}^{0}+T+\xi^{0} \eta+B \xi^{0}-A \eta
\]

где
\[
\begin{array}{l}
T=\lambda T_{1}+\lambda^{2} T_{2}+\ldots \\
A=\lambda A_{1}+\lambda^{2} A_{2}+\ldots \\
B=\lambda B_{1}+\lambda^{2} B_{2}+\ldots
\end{array}
\]

будут степенными рядами относительно \( \lambda \), коэфициенты которых \( T_{n}, A_{n}, B_{n} \) – периодические функции \( w_{1}^{0} \cdots w_{f-1}^{0} \).
Итак, мы получаем формулы преобразования во и \( \eta^{0} \).
\[
\begin{array}{l}
\xi=\frac{\partial S}{\partial \eta}=\xi^{0}-A ; \quad \xi^{0}=\xi+\lambda A_{1}+\lambda^{2} A_{2}+\cdots \\
\eta^{0}=\frac{\partial S}{\partial \xi^{0}}=\eta+\lambda B_{1}+\lambda^{2} B_{2}+\cdots ; \quad \eta=\eta^{0}-B .
\end{array}
\]

После этого для \( J_{\alpha}^{0} \) имеем
\[
\begin{array}{l}
J_{\alpha}^{0}=\frac{\partial S}{\partial w_{\alpha}}=J_{\alpha}+\lambda\left(\frac{\partial T_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+\xi \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}-\eta \frac{\partial A_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}\right)+ \\
+\lambda^{2}\left(\frac{\partial T_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+\xi \frac{\partial B_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}-\eta \frac{\partial A_{2}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+A_{1} \frac{\partial B_{1}^{+}}{\partial w_{\alpha}^{0}}\right)+\ldots
\end{array}
\]

Таким образом, новые переменные отличаются от старых только членами величины порядка \( \lambda \), так что для \( \lambda=0 \) мы получаем невозмущенную круговую і \( р \) аекторию \( \xi^{0}=\eta^{0}=0 \).

Произведя преобразования и развертывая все в ряд по \( \lambda \), получаем для любого приближения три свободных функшии \( T_{n} \), \( A_{n}, B_{n} \), которые нужно определить так, чтобы удовлетворялись наши требования.
Сравнивая коэфициенты при \( \lambda \) из (2) и (3), получаем:
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{00}}{\partial J_{\alpha}}\left(\frac{\partial T_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+\xi \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}-\eta \frac{\partial A_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}\right)+2 c_{0} A_{1} \xi+2 d_{0} B_{1} \eta+ \\
+H_{10}+a_{1} \xi+b_{1} \eta+\ldots=V_{1}+R_{1} .
\end{array}
\]

Полагая множители при \( \xi \) и \( \eta \) равными нулю, находим уравнения для определения \( A_{1} \) и \( B_{1} \)
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{c 0}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+2 c_{0} A_{1}+a_{1}=0 \\
-\sum_{\alpha} \frac{\partial H_{00}}{\partial J_{\alpha}} \frac{\partial A_{1}}{\partial w_{\alpha}^{0}}+2 d_{0} B_{1}+b_{1}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения принадлежат к типу, который мы обыкновенно имеем в теории возмущения. При их интегрировании, \( A \) и \( B \) разлагаются на постоянную, зависящую только от \( J \) и чисто периодическую часть:
\[
A_{1}=\bar{A}_{1}+\widetilde{A}_{1}, \quad B_{1}=\bar{B}_{1}+\widetilde{B_{1}} .
\]

Первая определяется уравнениями, полученными посредством усреднения (10)
\[
\bar{A}_{1}=-\frac{\bar{a}_{1}}{2 c_{0}}, \quad \bar{B}_{1}=-\frac{\bar{b}_{1}}{2 \bar{d}_{0}},
\]

а последняя находится непосредственно из (10), как в уравнении (11) § 41. Из членов, не содержащих है и \( \eta_{\text {в }} \) (9), как обыкновенно, можно вычислить \( V_{1} \) и \( T_{1} \), как функции \( J_{\alpha} \) и \( w_{\alpha}^{0} \).

Точно таким же образом мы производим операции с высшими степенями приближений.

Ввиду того, что уже во втором приближении формулы делаются совершенно неудобными для рассмотрения, мы их не станем писать. Необходимо заметить, что в первом приближении в выражение энергии не входят новые термы, но уже во втором приближении появляются целые ряды новых членов.

Конечный результат-функция Гамильтона- представлена в следующем виде:
\[
H=V\left(J_{\alpha}\right)+c\left(J_{\alpha}\right) \xi^{2}+d\left(J_{\alpha}\right) \eta^{2}+e\left(J_{\alpha}\right) \xi \eta+\ldots
\]

Это гамильтоновская функция системы, где все координаты являются циклическими координатами.

Движение находится обычным путем, а именно решением диференциального уравнения Гамильтона – Якоби для одной степени свободы.

По той причине, что \( \xi \) и \( \eta \) (как \( \xi^{0} \) и \( \eta^{0} \) ) исчезают вместе с \( \lambda \), мы будем рассматривать только малые движения, а именно движения системы с функцией Гамильтона
\[
c \xi^{2}+d \eta^{2}+e^{*} \eta
\]

С помощью подходящего однородного линейного преобразования \( \xi, \eta \) в новые переменные \( \Xi \), Н она получает форму
\[
C \Xi^{2}+D H^{2} \text {. }
\]

В случае, когда квадратическая форма (13) определена, т. е. \( C \) и \( D \) в (14) имеют равные знаки, движения вблизи \( \Xi=\mathbf{H}=\mathbf{0} \) или \( \xi=\eta=0 \) представляют собой малые колебания \( \Xi \) и \( \mathbf{H} \) вокруг этих точек. Единственное движение, \”соответствующее квантовому условию
\[
J_{f}=\oint \Xi \mathbf{H}=0
\]

есть такое движение, при котором \( \xi \) и \( \eta \) равны нулю.

Энергия такого состояния иинимальна при условии, если квадратическая форма определена, как положительная величина; если она отрицательна – энергия будет максимальна. В случае неопределенной квадратической формы (13), существуют для любой близости от \( \xi=\eta=0 \) движения, при которых \( \xi \) и \( \eta \) не остаются малыми. Единственными значениями, которые удовлетворяют уравнениям движения и квантовому условию, здесь также являются значения \( \xi=\eta=0 \), но движение неустойчиво. Во всех случаях возмущенное движение всегда имеет степень периодичности \( f-1 \); его энергия равна
\[
W=V\left(J_{\alpha}\right) .
\]

Наши соображения и вычисления распространяются на предельное вырождение любой кратности.
Для производящей функции пользуются выражением
\[
S=\sum_{\alpha=1}^{s} w_{\alpha}^{0} J_{\alpha}+T+\sum_{p=s+1}^{f}\left(\xi_{p}^{0} \eta_{p}+B^{p} \xi_{p}^{0}-A^{p} \eta_{\rho}\right) .
\]
– Результат преобразования есть представленная в следующем виде функция Гамильтона:
\[
H=V\left(I_{\alpha}\right)+\sum_{\rho, \sigma} c_{\rho \sigma} \xi_{\rho} \xi_{\sigma}+\sum_{\rho, \sigma} d_{\rho . \sigma} \eta_{\rho} \eta_{\sigma}+\sum_{\rho, \sigma} e_{\rho \sigma} \xi_{\rho} \eta_{\sigma}+\ldots
\]

причем добавляются еще члены третьего и высших порядков относительно \( \xi_{p}, \eta_{p} \). Однако уравнение Гамильтона-Якоби, к которому приводит эта функция для конечных \( \varepsilon_{p}, \eta_{p} \), в общем случае не разделимо. Мы рассмотрим движения при малых \( \xi_{p} \) и \( \eta_{p} \).

С пбмощью соответствующего линейного однородного преобразования квадратическую форму (17) можно записать следующим образом:
\[
H=V\left(J_{\alpha}\right)+\sum_{\rho}\left(C_{\rho} \Xi_{\rho}^{2}+D_{\rho} \mathbf{H}_{\rho}{ }^{2}\right) .
\]

Теперь \( H \) допускает разделение переменных.
Единственные движения, соответствующие квантовым условиям, будут движения, при которых \( \Xi_{\rho}, \mathbf{H}_{\rho} \) и, следовательно, \( \varepsilon_{p}, \eta_{p} \) остаются продолжительно равными нулю.

В отношении устойчивости можно сказать то же, что и в: случае одной степени свободы. Движение \( \xi_{p}=\eta_{p}=0 \) только тогда устойчиво, когда квадратическая форма (17) определена. Энергия минимальна, если она определена со знаком плюс. Итак при предельно вырожденном исходном движении носящее квантовый характер возмущенное движение имеет степень периодичности, равную таковой невозмущенного движения. Его энергия. равна
\[
W=V\left(J_{\alpha}\right) .
\]