Прежде чем перейти к исследованию возбужденных состояний атома гелия, скажем несколько слов о наблюдаемом спектре гелия. Система термов состоит из двух частичных систем, некомбинирующихся друг с другом. Оба в значительной степени водородоподобны: одна система, дающая так называемый парагелий-спектр, состоит из простых термов; она соответствует нормальному состоянию. Другая частичная система, дающая ортогелий – спектр, состоит (не учитывая простых \( s \)-термов) из плотных дублетов. Наиболее глубокий терм ортогелия (судя по его эффективному квантовому числу) есть терм \( 2_{1} \).

Так как соответствующее состояние не может вследствие излучения перейти в нормальное состояние, то оно обладает особенно большой продолжительностью жизни; его называют, по \( \Phi \) ранку, метастабильным.

Нормальное состояние посредством ударов электронов удалось привести в это метастабильное состояние 1.

Займемся теперь (на основании теории возмущения) вычислением высоковозбужденных путей атома гелия, т. е. путей, которые возникают при присоединении ионом гелия нового электрона, остающегося на внешней орбите. Будем предполагать, что путь первого электрона в ионе представляет круговую

1 J. Franck u. F. Reiche, Zeitschr. f. Physik, Bd 1, S. 154, 1920.
По измерениям H. S ch ül e r, спектр Li+ обладает тоже двумя соответствующими системами термов. Naturwissenschaften, Bd. 12, S. :79, 1924. Далее M. Morand нашел новый спектр нейтрального Li, которому он приписывает метастабильное состояние \( \mathrm{Li}+ \). (Comptes Rendus, Séance du 20 juin 1924).

траекторию; следовательно в дальнейшем мы будем рассматривать такие типы траекторий, при которых невозмущенное движение внутреннего электрона происходит по одному одноквантовому кругу. В качестве, „параметра“ исчисления возмущений в нашей проблеме можно использовать обратную величину радиуса внешнего электрона или другую какую-либо величину, связанную с ним: чем далее на периферии находится „внешний“ электрон, тем движение внутреннего электрона бо„ее похоже на „невозмущенное“ движение. Будем учитывать изменение массы по теории относительности. Если обозначить через \( r, \vartheta, \varphi \) полярные координаты внешнего электрона, координаты внутреннего – через \( r^{\prime}, \vartheta^{\prime}, \varphi^{\prime} \) и сопряженные импульсы через \( p_{r} \cdots p_{\varphi^{\prime}} \), то функция Гамильтона для проблемы трех тел гилиевого типа выразится:
\[
\begin{array}{c}
H=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\vartheta^{2}}{ }^{2}}{r^{2}}+\frac{p_{\varphi}{ }^{2}}{r^{2} \sin ^{2} \vartheta}\right)+\frac{1}{2 m}\left(p_{r^{\prime}}^{2}+\frac{p^{2} \vartheta^{\prime}}{r^{2}}+\frac{p_{\phi^{\prime}}^{2}}{r^{\prime 2} \sin ^{2} \vartheta^{\prime}}\right)- \\
-\frac{e^{2} Z}{r^{\prime}}-\frac{e^{2} Z}{r^{\prime}}+
\end{array}
\]
\[
+\frac{e^{2}}{\sqrt{r^{2}+r^{\prime 2}-2 r r^{\prime}\left[\cos \theta \cos \theta^{\prime}+\sin \vartheta \sin \vartheta^{\prime} \cos \left(\varphi-\varphi^{\prime}\right)\right]}}+
\]
†члены теории относительности.
Разложим функцию на \( H_{0} \) и \( H_{1} \), понимая под \( H_{0} \) функцию Гамильтона (неотносительного) кеплеровского движения внутреннего электрона, а в \( H_{1} \) совмещено все остальное. После вычисления невозмущенного движения внутреннего электрона, рассматривая среднее значение \( H_{1} \) по невозмущенно му движению внутреннего электрона, как новую функцию Гамильтона, мы находим вековые движения оставшихся переменных. Интегрирование соответствующего уравнения Гамильтона-Якоби производится опять таки методами теории возмущений. При этом можно, использовав теорему об импульсе вращения, уменьшить число степеней свободы нашей задачи (исключение линии узлов). Совмещая полярную ось с направлением общего импульса вращения \( P=\frac{\mathfrak{F}_{3}}{2 \pi} \), замечаем, что угловое расстояние линии узла от неизменных прямых в неизменно постоянной плоскости есть циклическая переменная, сопряженная к \( P \). В качестве координат используем также радиус-вектор \( r \) внешнего электрона и сопряженный импульс \( p_{r} \), затем угловое расстояние \( \psi \) внешнего электрона от углов и сопряженный импульс
\[
p_{\psi}=\sqrt{\frac{p_{\psi}^{2}}{\sin ^{2} \vartheta}+p^{2}}=\frac{J_{2}}{2 \pi} ;
\]

Наконец, нам еще необходимо иметь переменные \( w_{1}^{\prime}, w_{2}^{\prime}, J_{1}^{\prime} J_{2}^{\prime} \) внутреннего электрона, из которых (как и прежде) \( w_{1}^{\prime} J_{1}^{\prime} \) должны соответствовать главному квантовому числу и \( w_{2}^{\prime}, J_{2}^{\prime}- \) побочному квантовому числу.

Так как исходное движение внутреннего электрона предельно вырожденное, нам целесообразно переменные \( w^{\prime}{ }_{1}, w^{\prime}{ }_{2}, J^{\prime}{ }_{1}, J^{\prime}{ }_{2} \) заменить новыми переменными. Для этого произведем каноническое преобразование
\[
\begin{array}{c}
J_{1}^{\prime}=J_{1}^{\prime} \quad \overline{w_{1}^{\prime}}=w_{1}^{\prime}+w_{2}^{\prime} \\
\xi=-\sqrt{\frac{J_{1}^{\prime}-\bar{J}_{2}^{\prime}}{\pi}} \sin 2 \pi w_{2}^{\prime} \\
\eta=\sqrt{\frac{J_{1}^{\prime}-J_{2}^{\prime}}{\pi}} \cos 2 \pi w_{2}^{\prime}
\end{array}
\]

и затем снова опустим черточки. Вычислим теперь в этих новых переменных среднее значение \( H_{1} \) по \( w^{\prime} \).

Развернем одновременно \( H_{1} \) по сферическим функциям, т. е. по степеням \( \frac{1}{r} \) и по степеням \( \xi \) и \( \eta \). Ограничиваясь членом \( \frac{1}{r^{3}} \), мы видим, что эта степень приближения соответствует учету линейных членов относительно : и \( \eta \).
Итак, теперь
\[
W_{0}=-\frac{R h^{3} Z^{2}}{J_{1}^{2}}
\]

и
\[
\begin{array}{l}
W_{1}=\bar{H}_{1}=\frac{1}{2 m}\left(p_{t}^{2}+\frac{p_{\psi}^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{e^{2}(Z-1)}{r}+ \\
+\Delta_{1} \frac{e^{2} a_{\mathrm{H}}}{r^{2}}+\Delta_{2} \frac{e^{2} a_{\mathrm{H}}^{2}}{r^{3}}+ \\
+ \text { члены теории относительности, } \\
\end{array}
\]

где \( a_{\mathrm{H}} \) обозначает радиус водорода.
Вычисления для \( \Delta_{1} \) и \( \Delta_{2} \) дают:
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{1}=-\frac{3}{2 Z} \frac{J_{1}^{\prime}}{h^{2}} \sqrt{2 \pi J_{1}^{\prime}}\left\{\eta \cos \psi-\xi \sin \psi \frac{\mathfrak{I}_{3}^{2}-J_{2}^{2}-J_{1}^{\prime 2}}{2 J_{2} J_{1}^{\prime}}\right\} \\
\Delta_{2}=\frac{1}{4 Z^{2}} \frac{J_{1}^{\prime 4}}{h^{4}}\left\{1-3 \sin ^{2} \psi\left[1-\left(\frac{\mathfrak{\Im}_{3}^{2}-J_{2}^{2}-J_{1}^{\prime 2}}{2 J_{2}}\right)^{2}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Здесь мы опустили все члены, содержащие \& и п выше, чем в первой степени.

Диференциальное уравнение в частных производных \( \bar{H}_{1}= \) const не разделимо, но в силу того, что оно распадается на члены, имеющие различный порядок Ееличин, его можно решать методами теории возмущения.
Мы полагаем, что
(6)
\[
\bar{H}_{1}=\mathfrak{W}_{0}+\tilde{\mathfrak{E}}_{1}+\mathfrak{\mathcal { H }}_{2},
\]

где
\[
\mathfrak{E}_{0}=\frac{1}{2 m}\left(p_{r}^{2}+\frac{p_{\psi}^{2}}{r^{2}}\right)-\frac{e^{2}(Z-1)}{r}
\]
\[
\begin{array}{l}
\mathfrak{\mathfrak { H }}_{1}=\Delta_{1} \frac{e^{2} a_{\mathrm{H}}}{r^{2}} \\
\mathfrak{W}_{2}=\Delta_{2} \frac{e^{2} a_{\mathrm{H}}^{2}}{r^{2}}+\text { член относит. }
\end{array}
\]

Теперь введем в \( \bar{H}_{1} \) угловые переменные и переменные действия \( w_{1}, w_{2}, J_{1}, J_{2} \) обозначенного через. \( \mathfrak{Y}_{0} \) невозмущенного кеплеровского движения внешнего электрона. Далее, заменим \( w_{1} \) через истинную аномалию \( \varphi_{1} \), связанную с \( w_{1} \), следующим уравнением (ср. (18) и ( \( \left.7^{\prime}\right) \S 22 \) )
\[
d\left(2 \pi w_{1}\right)=\frac{J_{2}^{3}}{J_{1}^{3}} \frac{d \varphi_{1}}{\left(1-\varepsilon \cos \varphi_{1}\right)^{2}}, \varepsilon=\sqrt{1-\frac{J_{2}^{2}}{J_{1}^{2}}} .
\]

Затем положим \( \varphi_{2}=2 \pi w_{2} \) и, подставляя \( J_{1}^{\prime}=h \), мы приходим к следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{W}_{0}=-\frac{R h^{3}(Z-1)^{2}}{J_{1}^{2}}, \\
\mathfrak{W}_{1}=-\frac{3 \sqrt{2 \pi}(Z-1)^{2}}{Z} \cdot \frac{R h^{4} \sqrt{\cdot h}}{J_{2}^{4}}\left(1-\varepsilon \cos \varphi_{1}\right)^{2} \times \\
\cdot\left\{\eta \cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)-\xi \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right) \frac{\mathfrak{I}_{3}^{2}-J_{2}^{3}-h^{2}}{2} J_{2}\right\}+\cdots \\
\mathfrak{W}_{2}=\frac{(Z-1)^{3}}{2 Z^{2}} \cdot R h \cdot \frac{h^{6}}{J_{2}^{6}}\left(1-\varepsilon \cos \varphi_{1}\right)^{3} \cdot \\
\left.\cdot 1-3 \sin ^{2}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right)\left[1-\left(\frac{\mathfrak{I}_{3}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 J_{2}}\right)^{2}\right]\right\}- \\
-a^{2}\left[\frac{Z^{4} R h}{4}+\frac{(Z-1)^{4} R h^{5}}{4} \cdot \frac{4 \frac{J_{1}}{J_{2}}-3}{J_{1}^{4}}\right]+\cdots
\end{array}
\]

Здесь \( \alpha \) обозначает постоянную Зоммерфельда тонкой структуры \( \alpha=\frac{2 \pi e^{2}}{h c} \) (ср. §33).

Члены, пропорциональные \( \alpha^{2} \), содержат для внешнего и внутреннего электрона поправки на относительность. Для решения нашей задачи применим метод, данный нами в § 46 .
Итак, мы ищем некоторую функцию
\[
S=w_{1} \mathfrak{J}_{1}+\xi \mathbf{H}+B_{1} \xi-A_{1} \mathbf{H},
\]

вводящую переменные \( \mathfrak{w}_{1}, \Im_{1}, \Xi, Н \), благодаря которы м \( \bar{H}_{1} \) делается линейно независимым относительно \( \Xi \) и \( \mathbf{H} \) и вообще независимым от \( \mathfrak{w}_{1} \). Члены \( T_{1}, T_{2} \ldots ; A_{2}, A_{3} \ldots ; B_{2}, B_{3} \) в (10) все опущены, так как в этом приближении они просто нам не нужны.
Производйщая функция (10) дает следующие преобразования:
\[
\begin{array}{c}
J_{1}=\mathfrak{I}_{1}+\xi \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{1}}-\mathbf{H} \frac{\partial A_{1}}{\partial w_{1}} \\
\mathfrak{w}_{1}=w_{1}+\xi \frac{\partial B_{1}}{\partial \mathfrak{\Im}_{1}}-\mathbf{H} \frac{\partial A_{1}}{\partial \mathfrak{J}_{1}} \\
\eta=\mathbf{H}+B_{1} \\
\Xi=\xi-A_{1} .
\end{array}
\]

Отсутствие необходимости в функции \( T_{1} \) объясняется тем, что
\( \mathfrak{H}_{1} \) не имеет ни одного свободного члена от \& и \( \eta \).
Полагая для сокращения
\[
\mathfrak{b}_{1}=a_{1} \xi+b_{1} \eta
\]

мы можем написать следующие уравнения:
\[
\mathfrak{Y}_{0}=\mathfrak{W}_{0}
\]
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial \mathfrak{W}_{0}}{\partial \mathfrak{W}_{1}}\left(-\eta \frac{\partial A_{1}}{\partial w_{1}}+\xi \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{1}}\right)+a_{1} \xi+b_{1} \eta=\mathfrak{W}_{1}=0 \\
\frac{\partial \mathfrak{W}_{0}}{\partial \mathfrak{F}_{1}} A_{1} \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{1}}+a_{1} A_{1}+b_{1} B_{1}+\mathfrak{W}_{2}=\mathfrak{W}_{2} .
\end{array}
\]

При этом в (14) мы опустили члены с \( \xi \) и \( \eta \).
Из (13) следует:
\[
\frac{\partial \mathfrak{E}_{0}}{\partial \mathfrak{Y}_{1}} \frac{\partial A_{1}}{\partial w_{1}}=b_{1} ; \quad \frac{\partial \mathfrak{F}_{0}}{\partial \mathfrak{W}_{1}} \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{1}}=-a_{1} .
\]

Далее, из этого и из (14) посредством образования среднего по \( w_{1} \) для \( \xi=\eta=0 \) имеем:
\[
\bar{b}_{1} B_{1}+\overline{\mathfrak{b}}_{2}=\mathfrak{W}_{2} .
\]

Таким образом нам нет надобности вычислять \( A_{1} \). Средние значения легко находятся с помощью (8) (ср. § 22). Из (9) и (15) мы получаем:
\[
\begin{array}{c}
-\frac{2 k h^{4}(Z-1)^{2}}{\Im_{1}{ }^{3}} \frac{\partial B_{1}}{\partial w_{1}}= \\
=\frac{3 V^{\prime} \overline{2 \pi} R h^{5} \sqrt{h}(Z-1)^{2}}{Z J_{2}{ }^{4}}\left(1-\varepsilon \cos \varphi_{1}\right)^{2} \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right) \frac{\Im_{3}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 h J_{2}} .
\end{array}
\]

Следовательно
\[
B_{1}=-\int d w_{1} \frac{3}{2} \frac{\sqrt{2 \pi} h \sqrt{h} \Im_{1}^{3}}{Z I_{2}^{4}}\left(1-\varepsilon \cos \varphi_{1}\right)^{2} \sin \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right) \frac{\Im_{3}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 h J_{2}}
\]

и
\[
B_{1}=\frac{3 h \sqrt{h}}{2 \sqrt{2 \pi} Z J_{2}} \cos \left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right) \frac{\Im_{3}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 h J^{2}} .
\]

Из этого следует:
\[
b_{1} B_{1}=-\frac{9 \cdot R h^{6}(Z-1)^{2}}{2 Z^{2} J_{2}^{5}}\left(1-\varepsilon \cos \varphi_{1}\right)^{2} \cos ^{2}\left(\varphi_{1}+\varphi_{2}\right) \frac{\Im_{3}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 h J_{2}}
\]

и, наконец
\[
\begin{array}{c}
\mathfrak{W}_{2}=-\frac{R h^{4}(Z-1)^{2}}{4 Z^{2}}\left\{\frac{9 h^{2}}{\mathfrak{\Im}_{1}^{3}} \frac{\mathfrak{\Im}_{2}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 J_{2} h}+\right. \\
\left.+\frac{(Z-1)}{J_{2}^{3}} h^{n}\left[1-3\left(\frac{\mathfrak{\Im}_{3}^{2}-J_{2}^{2}-h^{2}}{2 J_{2} h}\right)^{2}\right]\right\}- \\
-\alpha^{2} \frac{R h}{4}\left[Z^{4}+\frac{(Z-1)^{4} h^{4}}{\mathfrak{J}_{1}^{4}}\left(4 \frac{\mathfrak{J}_{1}}{J_{2}}-3\right)\right] .
\end{array}
\]

Мы видим, что при образовании среднего по \( w_{1} \) в \( \mathfrak{W}_{2} \) и \( \mathfrak{W}_{2} \) исчезает зависимость от \( { }_{2} \) : в этом приближении \( w_{2} \)-циклическая переменная и \( J_{2} \) остается переменной действия.
Следовательно, квантовые условия будут:
\[
\mathfrak{J}_{1}=n h, \quad J_{2}=\mathfrak{J}_{2}=k h, \quad \mathfrak{J}_{3}=j h .
\]

Члены, возникшие вследствие учета релятивности, практичеки не играют никакой роли, и мы их приводили только для того, чтобы показать, что учитывать их не представляет никакой трудности. Отбрасывая их, замечаем, что энергия \( W_{1}=\bar{H}_{1} \) автоматически входит в серийную формулу Ридберга. Итак имеем
\[
W_{1}=-\frac{R h(Z-1)^{2}}{(n+\delta)^{2}}
\]

где
\[
\delta=-\frac{9}{8 Z^{2} k^{2}}-\frac{j^{2}-k^{2}-1}{2 k}-\frac{Z-1}{8 Z^{2} k^{3}}\left[1-3\left(\frac{j^{2}-k^{2}-1}{2 k}\right)^{2}\right] .
\]

Подставляя сюда \( j=k+p \) и развертывая по стененям \( \frac{1}{k} \), мы получаем
\[
\delta=\frac{9}{8 Z^{2} k^{2}}\left(-p+\frac{1-p^{2}}{2 k}\right)+\frac{Z-1}{8 Z^{2} k^{3}}\left(3 p^{2}-1\right) .
\]

Общая энергия возбужденнсго атома гелия будет:
\[
W=-R h Z^{2}-\frac{R h(Z-1)^{2}}{(n+\partial)^{2}},
\]

где \( Z=2 \). Этим окончательно решается поставленная задача \( { }^{1} \). Формула (20) должна изображать спектр гелия. Вследствие того, что \( p \) может принимать значения \( 1,0,-1 \), можно установить три системы серий.
Их ридберговские поправки (для \( Z=2 \) ) были бы
\[
p=1: \quad \delta=-\frac{1}{32 k^{2}}\left(9-\frac{2}{k}\right)
\]
\[
\begin{array}{l}
p=0: \quad \delta=\frac{7}{64 k^{3}} \\
p=-1: \quad \delta=\frac{1}{32 k^{2}}\left(9+\frac{2}{k}\right) .
\end{array}
\]

На следующей таблице приведены значения \( \delta \) для \( k=2,3,4 \) и значения, найденные экспериментальным путем:
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline & \( k=2 \) & \( k=3 \) & \( k=4 \) \\
\hline Теоретич. \( \left\{\begin{array}{l}p=1 \\
p=0 \\
p=-1\end{array}\right. \) & \begin{tabular}{l}
\( -0,063 \) \\
+0.014 \\
\( +0,078 \)
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\( -0,029 \) \\
\( +0,004 \) \\
\( +0,034 \)
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\( -0,017 \) \\
\( +0,002 \) \\
\( +0,019 \)
\end{tabular} \\
\hline & \begin{tabular}{l}
\( -0,069 \) \\
\( +0,011 \)
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\( -0,003 \) \\
\( -0,002 \)
\end{tabular} & \begin{tabular}{l}
\( -0,001 \) \\
\( -0,001 \)
\end{tabular} \\
\hline
\end{tabular}

Сравнение ясно указывает нам, что теоретические значения не совпадают с найденными экспериментально.

Прежде чем закончить книгу, необходимо указать на следующие моменты:
1 Общее решение этой проблемы без ограничений относительно круговых путей для внутреннего электрона можно найти у М. Борна и В. Гайзен6е рга, Zeitschr. f. Physik. Bd 16, S. 229, 1923.

Последовательное применение принципов квантовой теории, установленных во второй главе, а именно-вычисление движений по законам классической механики и выбор из числа их стационарных состояний посредством определения переменных действия, как целых чисел кратных планковской постоянной, приводит к правильным подтверждающимся опытом результатам в тех случаях, где речь идет только о движении одного электрона; оно – это применение – делается непригодным уже при исследовании движения двух электронов атома гелия. Здесь нет ничего удивительного, так как в основном использование таких принципов ни в коем случае не является последовательным. В то время, как при описаңии взаимодействия атома с излучением в Боровском частотном условии, вместо классического диференциального закона, выступает закон разностей, при исследовании взаимодействия многих электронов до сих пор всегда оперируют с классическими законами диференцирования. Систематическое превращение классической механики в дискретнопрерывную атомную механику является целью, к которой стремится квантовая теория.