Прежде чем рассматривать системы со многим числом степеней свободы, введем понятие многопериодических функций и исследуем некоторые их свойства.

Определение 1. Функция \( F\left(x_{1} \ldots x_{f}, y_{1} \ldots\right) \) имеет относительно \( x_{1} \ldots x_{f} \) период ю с компонентами
\[
\tilde{\boldsymbol{\omega}}_{1}, \tilde{\boldsymbol{\omega}}_{2} \ldots \tilde{\boldsymbol{\omega}}_{f}
\]

при условии, если существует тождество
\[F\left(x_{1}+\tilde{\omega}_{1}, x_{2}+\tilde{\omega}_{2} \ldots x_{f}+\tilde{\omega}_{f}\right)=F\left(x_{1}, x_{2} \ldots x_{f}\right) .
\]

Если \( x_{1} \ldots x_{f} \) обозначают координаты \( f \)-измерительного пространства, то каждому периоду соответствует в этом пространстве один вектор.

Заменив в (1) \( \left(x_{1}, x_{2} \ldots x_{f}\right) \) через ( \( \left.x_{1} \pm \tilde{\omega}_{1}, x_{2} \pm \tilde{\omega}_{2}, \ldots x_{f} \pm \tilde{\omega}_{f}\right) \) и повторяя эту операцию произвольное число раз, легко убедиться в справедливости следующих теорем:

Теорема 1. Функция, имеющая период о, имеет также вольное целое число.

Если функция \( F \) параллельно \( \tilde{\omega} \) имеет еще и период \( \tilde{\omega}^{\prime} \), то, делая замену в (1) \( \left(x_{1}, x_{2} \ldots x_{f}\right) \) с помощью \( \left(x_{1}+\tilde{\omega}_{1}^{\prime}, x_{2}+\tilde{\omega}_{2}^{\prime} \ldots x_{f}+\right. \) \( +\bar{\omega}_{f}^{\prime} \) ), можно установить следующую теорему; m. е. вектор с компонентами
\[
\tilde{\omega}_{1}{ }^{\prime}+\tilde{\omega}_{1}{ }^{\prime}, \tilde{\omega}_{2}+\tilde{\omega}_{2}^{\prime} \cdots \hat{\omega}_{f}+\hat{\theta}^{\prime}{ }_{f}
\]

точно также представляет период.
Соединяя теоремы 1 и 2 , получаем теорему 3.
Теорема 3. Если функция имеет множество периодов
\[
\begin{array}{c}
\tilde{\omega}^{(1)}=\left(\tilde{\omega}_{1}^{(1)}, \tilde{\omega}_{2}^{(1)} \ldots \cdot \tilde{\omega}_{f}^{(1)}\right) \\
\tilde{\omega}^{(2)}=\left(\tilde{\omega}_{1}^{(2)}, \dot{\omega}_{2}^{(2)} \cdots \cdot \tilde{\omega}_{f}^{(2)}\right) \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \tilde{\omega}_{1}^{(g)}, \tilde{\omega}_{2}^{(g)} \cdots \cdot \tilde{\omega}_{f}^{(g)}\right),
\end{array}
\]
\( { }^{1} \) См. М. Воrn и Е. Вrody, Physikal. Ztschr., Bd. 6, S. 132, 1921. Более подробно см. М. В orn: Atomtheorie des festen Zustandes, Leipzig, 1923, S, 698.

то любые линейные комбинации, представляющие целые числа; суть также периоды:
\[
\sum_{k} \tau_{k} \tilde{\omega}^{(k)}=\left(\sum_{k} \tau_{k} \tilde{\omega}_{1}^{(k)}, \sum_{k} \tau_{k} \tilde{\omega}_{2}^{(k)} \cdots \sum_{k} \tau_{k} \tilde{\omega}_{f}^{(k)}\right) .
\]

Определение 2. Две точки ( \( \left.x_{1} \cdots x_{f}\right) u\left(x_{1}{ }^{\prime} \cdots x_{f}{ }^{\prime}\right) \) называются эквивалентными, если соединяющий их вектор имеет орорму \( \sum_{k} \tau_{k} \tilde{0}^{(k)} \).

С целью исключения несущественных особенных случаев, установим следующее требование:

Функция \( F \) не должна содержать бесконечно малый период, т. е. такой период, для которого длина изображающего вектора была бы меньше любого малого числа.

Рассмотрим теперь два периода \( \hat{0} \) и \( \lambda \hat{\omega} \), изображенные двумя параллельными векторами. \( \lambda \) должно обязательно являться рациональным числом, в противном случае можно всегда с помощью соответствующего выбора \( \tau \) и \( \tau^{\prime} \) период ( \( \left.\tau+\tau^{\prime} \lambda\right) \) б сделать произвольно малым числом!.

Если \( q \) самый меньший знаменатель, с помощью которого можно \( \lambda \) представить в форме \( \frac{p}{q} \), то \( \frac{1}{q} \tilde{\omega} \) точно также не что иное, как период.

С помощью известной теоремы можно всегда ‘представить два целых числа \( \tau \) и \( \tau^{\prime} \) таким образом, что

и, следовательно,
\[
q \tau+p \tau^{\prime}=1
\]
\[
\tau+\tau^{\prime} \frac{p}{q}=\frac{1}{q} .
\]

Теперь мы видим, что каждый период, вектор которого имеет определенное направление, можно представить, как кратное целое число некоторого самого меньшего периода. Из этой теоремы можно непосредственно вывести обобщение для всех периодов функции \( F \), расположив все периоды по значениям их векторов
(3)
\[
|\tilde{\omega}| \leqq\left|\tilde{\omega}^{\prime}\right| \leqq\left|\tilde{\omega}^{\prime \prime}\right| \leqq \cdots
\]

Возьмем из этого ряда первый период и первый следующий за ним, вектор которого имеет некоторое другое направление. Тогда эти два периода, скажем \( \tilde{0}^{(1)} \) и \( \tilde{0}^{(2)} \), определяют параллелограмную сеть в плоскости соответствующих векторов.

Свойство ее заключается в том, что каждый вектор, соединяющий два угла этой сети, точно также представляет собой период. Этим исчерпываются все периоды, векторы которых лежат в этой плоскости.

Если, например, окажется вектор \( \tilde{\omega} \), конец которого не совпадает с точкой сетки, то существует, во всяком случае, точка
1 См. приложение 1.

сети, находящаяся от каждого конца на расстоянии, меньше чем \( \left(\tilde{\omega}^{(2)}\right) \).

Если бы б. представляло собой период, то вектору этого расстояния также соответствовал бы период, но он имел бы период ряда (3) \( \tilde{\omega}^{(3)} \), вектор которого не лежит в плоскости, определяющейся \( \hat{\omega}^{(1)} \) и \( \hat{\omega}^{(3)} \). Тогда эти три периода будут определять плоско-параллельную (трех измерений) решетку, обладающую теми свойствами, что́ каждому вектору, соединяющему две точки решетки, соответствует один период, и этим самым исчерпываются все периоды, лежащие в трехизмерительном пространстве, определяемом посредством
\[
\tilde{\omega}^{(1)}, \tilde{\omega}^{(2)}, \hat{\omega}^{(3)} \text {. }
\]

Продолжая таким образом процесс до тех пор, пока не исчерпаются все периоды, что имеет место при переходе к \( f \)-из-
Рис. 6 . мерительному пространству, можно констатировать следующее:
Теорема 4. Каждой периодической бункции \( F \) \( \left(x_{1} \ldots x_{f}, y_{1}\right) \) om \( x_{1} \ldots x_{f} \) coответствует система периодов \( \left.\tilde{\omega}^{(1)} \tilde{\boldsymbol{\omega}}^{(2)}, \ldots . \tilde{\omega}^{g}\right), о б- \) ладающая тем свойством, что любой из периодов \( \tilde{\text { б. }} \) бункции \( F \) может быть. представлен в форме
\[
\tilde{\omega}=\sum_{k} \tau_{k} \hat{\boldsymbol{\omega}}^{(k)} .
\]

При этом число периодов \( g \) не может превышать (максимум): числа \( f \) переменных.

Определение 3. Система, имеющая упомянутое в теореме 4 свойство, называется периодной си стемой.

Мы изобразили все периоды \( F \) с помощью \( g \) – измерительной решетки. Само собой разумеется, при этом для нас были существенны точки решетки, но не соединяющие их вектора. Вообще говоря, систему \( \tilde{\omega}^{(1)}, \hat{\omega}^{(2)} \ldots \tilde{\hat{\omega}}^{(g)} \) можно заменить другой системой с одинаковым числом \( g \) периодов, дающей равные. вершины. Именно:
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\boldsymbol{\omega}}^{(1)^{\prime}}=\sum_{k} \tau_{1 k} \tilde{\boldsymbol{\omega}}^{(k)} \\
\tilde{\boldsymbol{\omega}}^{(2)^{\prime}}=\sum_{k} \tau_{2 k} \tilde{\hat{\omega}}^{(k)} \\
\ldots \ldots \ldots \ldots \\
\tilde{\omega}^{(g)^{\prime}}=\sum_{k} \tau_{g k} \tilde{\boldsymbol{\omega}}^{(k)}
\end{array}
\]

Этот случай имеет место, очевидно, лишь тогда, если детерминант для \( \tau_{i k} \) имеет значение \( \pm 1 \); он представляет отношения между ячейками объемов решеток.

Теорема 5. Все простые периодные системы некоторой функции связываются с детерминантом \( \pm 1 \) линейным целочисленным преобразованием: В дальнейшем мы будем рассматривать только такие функции, у которых число периодов простой системы равно числу \( f \) периодических переменных.

Таким образом, будем рассматривать лишь \( f \)-кратно периодические функции.

Если в нашем \( f \)-измерительном пространстве вместо координатнов системы \( x_{1} \ldots x_{f} \) ввести равную координатную систему \( w_{1} \ldots w_{f} \), оси которой параллельны векторам, соответствующим простой периодной системе, и для которой эти векторы образуют единицы, то функция \( F \), как функция \( w \), имеет простую периодную систему
\[
\begin{array}{l}
(1,0,0 \text {. . } 0) \\
(0,1,0 \ldots 0) \\
(00,1 \text {. . } 0) \\
(0, \dot{0}, \dot{0} \cdot .1) \\
\end{array}
\]

В таком случае говорят, что \( F \) „имеет простой период 1\”. Таким образом мы приходим к

Теореме 6. Линейным преобразованием переменных, относительно которых функция является периодической, можно достигнуть того, что она получит простой период 1 .

Рассмотрим теперь, в какой степени координатная система \( w_{1} w_{2} \ldots \). произвольна. Первым долгом мы замечаем, что преобразование
\[
\begin{array}{l}
\left.w_{1}=\bar{w}_{1}+\psi_{1} \bar{w}_{1} \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1}, y_{2} \ldots\right) \\
w_{2}=\bar{w}_{2}+\psi_{2}\left(\bar{w}_{1} \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} y_{2} \ldots\right) \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . } \\
w_{f}=\bar{w}_{f}+\psi_{f}\left(\bar{w}_{1} \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} y_{2} \ldots\right) \text {, } \\
\end{array}
\]

при котором \( \psi \)-периодическая относительно \( \bar{w}_{k} \) спериодом 1 (он не должен быть обязательно простым) не изменяет ничего в свойствах периодичности функции \( F\left(x_{1} \ldots x_{f}, y_{1} \ldots\right) \); просто точки решетки координатной системы \( w \) переходят, благодаря смещению, в точки решетки \( w \)-координатной системы. Далее мы видим, что приведенное преобразование является единственным, при котором этот переход представляет простое смещение, а именно-если переходить от одной точки \( w \)-пространства к эквивалентной ей точке, то каждое из \( w_{k} \) увеличивается на целое число. На эти же равные целые числа должны увеличиваться и \( \bar{w}_{k} \), если произвести такой же переход в пространстве \( \bar{w}_{k} \).

Таким образом разницы \( w_{k}-\bar{w}_{k} \) должны иметь во всех эквивалентных точках то же значение, т. е. они являются периодическими по отношению \( \bar{w}_{k} \) и \( w_{k} \).

Существуют еще и такие преобразования, при которых, хотя и меняется расположение точек решетки, но точки решетки при этом отображаются на точках решетки.

Каждой простой системе, упомянутой в теореме 5, соответствует следующее прєобразование: это – линейные однородные преобразования целых чисел с детерминантом \( \pm 1 \).

Если самое общее преобразование раздожить на такое и на некоторое другое преобразование, то это второе должно иметь форму (6). Итак, самое общее преобразование имеет вид
\[
\begin{array}{c}
w_{1}=\sum \tau_{1 k} \bar{w}_{k}+\psi_{1}\left(\bar{w}_{1} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right) \\
w_{2}=\sum \tau_{2 k} \bar{w}_{k}+\psi_{2}\left(\bar{w}_{1} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right) \\
\left.\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right) .
\end{array}
\]

Теорема 7. Все систелы переменных, где \( f \)-кратно периодическая функция имеет простой период 1, связываются \( c \) помощью преоэразований формы (7), причем \( \tau_{f k} \) суть целые числа, система которых имеет детерминант \( \pm 1, u \) џ.-периодическая относительчо \( { }_{k} \) ш с периодом 1.

C помощью переменных \( w_{1} \ldots w_{f} \) функцию \( F \) можно записать очень легко, именно ее можно представить рядом Фурье
\[
F\left(w_{1} \ldots w_{f}\right)=\sum_{\tau_{1} \ldots \tau_{f}=-\infty}^{\infty} C_{\tau, \tau_{2}} \ldots \tau_{f} e^{2 \pi i\left(\tau_{2} w_{1}+\tau_{-} w_{2} \ldots+\tau_{f} t_{f}\right)}
\]

Или короче
\[
F(w)=\sum_{\tau} C_{\tau} e^{2 \pi i(\tau w)} .
\]

Умножая функцию \( F \) на \( e^{-2 \pi i\left(\tau^{\prime} w\right)} \) и проинтегрировав по единичному кубу пространства \( w \), получае м
\[
\int F(w) e^{-2 \pi i\left(\tau^{\prime} w\right)} d w=\sum_{\tau} C_{\tau} \cdot \int e^{2 \pi i\left[(\tau w)-\left(\tau^{\prime} w\right)\right]} d w=C_{\tau^{\prime}}
\]

Коэфициенты развертки Фурье можно вычислить таким образом из функции \( F \)
\[
C_{\tau}=\int F(w) e^{-2 \pi i(\tau w)} d w .
\]

Если функция \( F(w) \) реальна, то \( C_{\tau_{1}} \ldots \)… и \( C_{-\tau_{1}} \ldots-\tau f \) – сопряженные комплексные величины.

Примечание. Эту теорему можно доказать аналитическим путем. Найдем преобразование
\[
w_{k}=f_{k}\left(\bar{w}_{1} \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right)
\]

при котором относительно \( f \) первых переменных сохраняется периодичность функций

Если положить
\[
F\left(w_{1}, w_{2} \ldots w_{f}, y_{1} \ldots\right)=\bar{F}\left(\bar{w}_{1} \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, \bar{y}_{1}, \ldots\right) .
\]

то можно записать:
\[
f_{k}\left(\bar{w}_{1}+1, \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right)=w_{k}{ }^{\prime},
\]
\[
\begin{array}{c}
F\left(w_{1}^{\prime}, w_{2}^{\prime} \ldots w_{f}^{\prime} ; y_{1}\right)=\bar{F}\left(\overline{w_{1}}+1, \bar{w}_{2} \ldots \overline{w_{f}}, \overline{y_{1}} \ldots\right)=\bar{F}\left(\bar{w}_{1}, \bar{w}_{2}, \overline{w_{t}}, \bar{y}_{1} \ldots\right)= \\
\quad F\left(w_{1} w_{2} \ldots w_{f}, y_{1} \ldots\right) .
\end{array}
\]

Но это означает, что \( w_{k}^{\prime} \) и \( w_{k} \) отличаются лишь на целое число
\[
f_{k}\left(\bar{w}_{1}+1 ; \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right)=f_{k}\left(\overline{w_{1}}, \bar{w}_{2}, . \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right)+\tau_{k 1}
\]

Соответственно можно заключить, что
\[
f_{k}\left(\bar{w}_{1} \ldots w_{l}+1 \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right)=f_{k}\left(\bar{w}_{1}, \bar{w}_{2} \ldots \bar{w}_{f}, y_{1} \ldots\right)+\tau_{k} l .
\]

А это возможно при условии, если \( f_{k} \) имеет форму:
\[
\left.f_{k} \bar{w} \ldots \overline{w_{f}}, y_{1} \ldots\right)=\sum \tau_{k l} \widetilde{w}_{l}+\psi_{k}\left(\overline{w_{1}} \ldots \overline{w_{f}} y_{1} \ldots\right),
\]

где \( \psi_{k} \) – периодическая функция относительно \( \bar{w} \) с периодом в 1 .