В случае только одной степени свободы можно всегда найти решение уравнений движения с помощью квадратуры (ср. §9); но часто это достигается простым методом приближенного вычисления, рассмотренным в \( \$ 41 \).
Возьмем в качестве примера исследованный уже нами элементарным способом агармонический линейный осциллятор при условии малого отклонения от гармоничности. Его функция Гамильтона имеет форму:
\[
H=H_{0}+\lambda H_{1}+\lambda^{2} H_{2}+\cdots,
\]
1 H. Poin c a ré, Méthodes nouvelles de la mècanique cél este, Paris, 1892-99, Bd, I, Kap. V.
где
\[
H_{0}=\frac{1}{2 m} p^{2}+\frac{m}{2} \omega^{0^{2}} q^{2}
\]
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=a q^{3} \\
H_{2}=b q^{4} .
\end{array}
\]
Угловые переменные и переменные действия гармонического осциллятора невозмущенного движения мы получаем (ср. §7) с помощью канонических преобразований при наличии производящей функции
\[
V\left(q, \omega^{0}\right)=\frac{m}{2} \omega^{0} q^{2} \operatorname{ctg} 2 \pi \omega^{0}
\]
посредством уравнений
\[
q=\sqrt{\frac{J_{0}}{\pi \omega^{0} m}} \sin 2 \pi \omega^{0} ; p=\sqrt{\frac{\omega^{0} m^{\prime 0}}{\pi}} \cos 2 \pi w^{0} .
\]
Выражая \( H \) через \( w^{0} \) и \( J^{0} \), имеем:
\[
H_{0}=
u^{0} J^{0} \text {. . . . . . . . . . . . }\left(2 \pi
u^{0}=\omega^{0}\right)
\]
\[
\begin{array}{l}
H_{1}=a \sqrt{\frac{J^{0}}{\pi \omega^{0} m}} \sin ^{3} 2 \pi w^{0} \\
H_{2}=b\left(\frac{J^{0}}{\pi \omega^{0} m}\right)^{2} \sin ^{4} 2 \pi w^{0} .
\end{array}
\]
Теперь определим \( W_{1}(J) \) и \( \frac{\partial S_{1}}{\partial \omega^{0}} \) из уравнения (9) \( \S 41 \), а именно:
\[
W_{1}=H_{1}=0
\]
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial w^{0}}=-\frac{a}{
u^{0}} \sqrt{\frac{J}{\pi \omega^{0} m} \sin ^{3} 2 \pi w^{0} .}
\]
Отклонение от гармонической связи по виду энергии установить нельзя, но зато движение получает дополнительный член, обусльвленный наличием \( S_{1} \)
Чтобы получить дополнительную энергию, продолжаем наши вычисления.
Из уравнения (17) \( \S 41 \) мы находим
\[
\begin{array}{c}
u^{0} \frac{\partial S_{2}}{\partial w^{0}}+\frac{\partial H_{1}}{\partial J} \frac{\partial S_{1}}{\partial w^{0}}+H_{2}=W, \\
W_{2}=\frac{\overline{\partial H_{1}}}{\partial J} \frac{\partial S_{1}}{\partial w^{0}}=\bar{H}_{2} .
\end{array}
\]
Вычисления дают
\[
W_{2}=-\frac{15}{4} a^{2} \frac{J^{2}}{(2 \pi)^{6}
u^{0^{4}} m^{3}}+\frac{3}{2} b \frac{J^{2}}{(2 \pi)^{4}
u^{2} m^{2}} .
\]
Член пропорциональности \( a^{2} \) вполне отвечает нашим прежним результатам (9) \( \S 12 \).
Из (5) мы можем также вычислить отклонения влияния от гармонической связи. Получаем
\[
S_{1}=\frac{a \sqrt{2} J^{3}}{(2 \pi)^{4} \sqrt{v^{5}} v^{-}}\left[\frac{1}{3} \sin ^{2} 2 \pi w^{0} \cos 2 \pi w^{0}+\frac{2}{3} \cos 2 \pi w^{0}\right]
\]
и.
Решая первое уравнение относительно \( w^{0} \) и делая подстанөвку значений \( w^{0}, J^{0} \) в уравнение
\[
q=\sqrt{\frac{J^{0}}{2 \pi^{2}
u^{0} m}} \sin 2 \pi w^{0}
\]
получаем посредсгвом элементарных вычислений результат (11) \( \S 12 \) :
\[
q=\sqrt{\frac{J}{2 \pi^{2}
u^{0} m}} \sin 2 \pi w-h a \frac{J}{(2 \pi)^{4}
u^{0^{3} m^{2}}}(3+\cos 4 \pi w) .
\]
В качестве более сложного примера приведем еще вычисления пространственного гармонического осциллятора или любой системы связанных осцилляторов \( { }^{1} \). Функция Гамильтона для него запишется:
\[
\begin{array}{l}
H=H_{0}+\lambda H_{1}+\lambda^{2} H_{2}+\ldots, \\
H_{0}=\sum_{k=1}^{f}\left(\frac{1}{2 m} p_{k}^{2}+\frac{m}{2} \omega_{k}^{0^{2}} q_{k}^{2}\right)
\end{array}
\]
где
\[
H_{1} \propto \sum_{k} a_{k} q_{k}^{3}+\sum_{k j} a_{k j} q_{k}^{2} q_{j}+\sum_{k j l} a_{k j l} q_{k} q_{j} q_{l}
\]
1 M. Born u. E. Brody, Zeltschr. f. Physik, Bd. 6, S. 140, 1921.
\[
\begin{array}{c}
H_{2}=\sum_{k} b_{k} q_{k}^{4}+\sum_{k j}\left(b_{k j} q_{k}^{2} q_{j}^{2}+b_{k j}^{\prime} q_{k}^{3} q_{j}\right)+ \\
+\sum_{k j l} b_{k j l} q_{k}^{2} q_{j} q_{l}+\sum_{k j l m} b_{k j l m} q_{k} q_{j} q_{l} q_{m} .
\end{array}
\]
При этом необходимо сделать оговорку, что различные индексы обозначают различные числа \( 1,2 . ., f \).
Само собой разумеется, коэфициенты обладают теми же свойствами симметрии, что и произведения \( q \).
Будем считать, что \(
u_{\boldsymbol{k}}^{0} \) несоизмеримы.
Введем первым долгом угловые переменные и переменные действия \( w^{0}, J^{0} \); тогда
\[
H_{0}=\sum_{k=1}
u_{k}^{0} J_{k}^{0}
\]
и для \( H_{1}, H_{2} \) полагается
\[
q_{k}=Q_{k} \sin \varphi_{k} \quad\left(Q_{k}=\sqrt{\frac{J_{k}^{0}}{\pi \omega_{k}^{0} m}}, \quad \varphi_{k}=2 \pi \omega_{k}^{0}\right) .
\]
В виду того, что \( H_{1} \) полином нечетного порядка \( q_{k} \), имеем
\[
W_{1}=\bar{H}_{1}=0 .
\]
Чтобы вычислить \( W_{2} \), необходимо отыскать коэфициент ряда Фурье \( A_{\tau} \) от \( H_{1} \).
Пользуясь тождеством
\[
\begin{array}{c}
4 \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma=-\sin (\alpha+\beta+\gamma)+\sin (-\alpha+\beta+\gamma)+\sin (\alpha-\beta+\gamma)+ \\
+\sin (\alpha+\beta-\gamma),
\end{array}
\]
преобразуем \( H_{1} \) в ряд Фурье. Итак получаем
\[
\begin{array}{c}
H_{1}=\frac{1}{4} \sum_{k} a_{k} Q_{k}^{8}\left(-\sin 3 \varphi_{k}+3 \sin \varphi_{k}\right)+ \\
+\frac{1}{4} \sum_{k j} a_{k j} Q_{k}^{2} Q_{j}\left[-\sin \left(2 \varphi_{k}+\varphi_{j}\right)+2 \sin \varphi_{j}+\sin \left(2 \varphi_{k}-\varphi_{j}\right)\right]+ \\
+\frac{1}{4} \sum_{k j l} a_{k j l} Q_{k} Q_{j} Q_{l}\left[-\sin \left(\varphi_{k}+\varphi_{j}+\varphi_{l}\right)+3 \sin \left(\varphi_{k}+\varphi_{j}-\varphi_{l}\right)\right] .
\end{array}
\]
Располагая затем это выражёние рядом Фурье, получаем
\[
H_{1}=\sum B_{\tau} \sin (\tau \varphi)=\sum A_{\tau} e^{i(\tau \varphi)},
\]
где
\[
A_{\tau}=\frac{1}{2 i}\left(B_{\tau}-B_{-\uparrow}\right)
\]
Окончательно для коэфициентов получаем
\[
B_{\tau}=\left\{\begin{array}{c}
\frac{3}{4} a_{k} Q_{k}{ }_{k}+\frac{1}{2} \sum_{j} \\
-\frac{1}{4} a_{k} Q_{k}{ }^{3} \\
-\frac{1}{4} a_{k j} Q_{k}{ }^{2} Q_{j} \\
\frac{1}{4} a_{k j} Q_{k}{ }^{2} Q_{j} \\
-\frac{3}{2} a_{k j l} Q_{k} Q_{j} Q_{l} \\
\frac{3}{2} a_{k j l} Q_{k} Q_{j} Q_{t} \\
0
\end{array}\right.
\]
\[
\begin{array}{l}
\left(\tau_{k}=3,\right. \\
\text { остальные } \tau \text { равны } 0) \\
\left(\tau_{k}=2, \tau_{l}=1,\right.
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
\text { остальные } \tau \text { равны } 0) \\
\left(\tau_{k}=2, \tau_{j}=-1,\right. \\
\text { остальные } \tau \text { равны } 0 \text { ) } \\
\left(\tau_{k}=\tau_{j}=\tau_{l}=1\right. \text {, } \\
\text { остальные } \tau \text { равны } 0 \text { ), } \\
\left(\tau_{k}=\tau=1, \tau_{l}=-1,\right. \\
\text { остальные } \tau \text { равны } 0 \text { ) } \\
\text { (во всех остальных случаях). }
\end{array}
\]
По (23) \( \S 41 \) получаем:
\[
\begin{array}{l}
W_{2}=\frac{3}{8} \sum_{k} \dot{b}_{k} Q_{k}^{4}+\frac{1}{4} \sum_{k j} b_{k j} Q_{k}^{2} Q_{j}^{2}-\sum_{k} \frac{1}{v_{k}^{0}}\left(\frac{\partial \mathbf{A}_{k}}{\partial J_{k}}+\frac{\partial \mathbf{A}_{k}{ }^{\prime}}{\partial J_{k}}\right)- \\
-\sum_{k j} \frac{2}{4
u_{k}^{0^{3}}-
u_{j}^{0-}}\left(4
u_{k}^{0} \frac{\partial \mathbf{A}_{k}}{\partial J_{k}}-
u_{j}^{0} \frac{\partial \mathbf{A}_{k j}}{\partial J_{j}}\right)- \\
-\sum_{k j l}\left[\frac{1}{
u_{k}^{0}+
u_{j}^{0}+
u_{l}^{0}} \frac{\partial \mathbf{A}_{k j \cdot}}{\partial J_{k}}+\frac{1}{
u_{k}^{0}+
u_{j}^{0}-
u_{l}^{0}}\left(\frac{\partial \mathbf{A} J_{k j \cdot}}{\partial J_{k}}+\frac{\partial \mathbf{A}_{k, j}}{\partial J_{j}}-\frac{\partial \mathbf{A}_{k j l \cdot}}{\partial J_{l}}\right)\right] . \\
\end{array}
\]
Величины \( Q_{k}^{2} \) – первого порядка относительно \( J \), величины \( A \) третьего и, следовательно, \( W_{2} \)-квадратичная форма \( J_{k} \).
Вследствие этого общую энергию можно записать следующим образом:
\[
W=\sum_{k}
u_{k}^{0} J_{k}+\frac{1}{2} \sum_{k j}
u_{k j}^{0} J_{k} J_{j} .
\]
\(
u_{k j}^{0} \) вичисляются из (16).
Легко видеть, что наши вычисления делаются непригодными даже в этом приближении в том случае, когда имеет место хотя бы одно из следующих соизмерений:
\[
2
u_{k}^{0}=
u_{j}^{0}, \quad
u_{k}^{0}+
u_{j}^{0}=
u_{l}^{0},
\]
т. е. если частота невозмущенной системы равна удвоенной другой частоте или сумме двух других частот.
Формула (17) находит применение в теории термического расширения твердых тел \( { }^{1} \). и в теории полосатых спектров многоатомных молекул \( { }^{2} \).
