В предыдущих параграфах мы рассматривали атомы, как изолированные системы; теперь перейдем к исследованию воздействия внешнего постоянного влияния, а именно начнем с действия внешнего постоянного магнитного поля, т. е. эффекта Зеемана.

Будем исходить из самой общей модели атома, представляющей покоящееся ядро с движущимися вокруг него электронами. Пусть, энергия не возбужденной системы (без магнитного поля) будет заданной функцией определенных переменных действия \( J_{1}, J_{2} \ldots \)
\[
W_{0}\left(J_{1}, J_{2} \ldots\right) \text {. }
\]

Если теперь наложить магнитное поле, то потенциальная энергия системы остается инвариантной относительно вращения вокруг направления поля. Следовательно, в силу доказанного в § 6 и § 17 азимут ч какой-либо точки системы является циклической переменной, и соответственный сопряженный импульс \( p_{\varphi} \) представляет импульс вращения системы вокруг направления поля. Функция действия
\[
S= \pm \frac{1}{2 \pi} \varphi \cdot J_{\varphi}+S^{(1)}\left(q_{1} q_{2} \ldots J_{4} J_{2} \ldots J_{\varphi}\right)
\]

определяет угловые переменные \( w_{1} w_{2} \ldots w_{\varphi} \); \( w_{\varphi} \) представляет средний азимут относительно направления поля.

При отсутствии магнитного поля, \( J_{\varrho} \) не входит в функцию Гамильтоиа, движение – вырожденное и \( w_{\varphi} \) – постоянная. Исследуя влияние магнитного поля на энергию, мы встречаемся с упомянутым в \( \$ 4 \) случаем, что силы, действующие на точки системы, зависят от скоростей. В магнитном поле \( \mathfrak{2} \) (предварительно произвольно зависящего от \( x, y, z \) ) сила, действующая
1 В упомянутом докладе Л а у получется так, что измерения Пашена и для Не также приводят к меньшим значениям, чем это требуется по теории. Это объясняется тем, что Л а у ссылается только на измерения Па ш е а с постоянными токами, в то время как Пашен исследовал также и явления с переменными токами.
2 A. Sommerfeld, Ann. d. Physik, Bd. 51, S. 125, 1916. A. L a n dé (Zeitschr. f. Physik, Bd. 25, S. 46,1924 ) показал, что дублеты получаются даже и не в водороднообразных термах, если пользоваться релятивистскими формулами.
Этот интерестный результат покамест остается не объясненным.

на,электрон с зарядом – \( e \), так называемая Лоренцова сила’, равна.
\[
\boldsymbol{\Omega}=-\frac{e}{c}[\mathfrak{v} \mathfrak{G}]
\]

Пользуясь § 4, мы можем теперь определить некоторую функцию так, чтобы имело место равенство:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial M}{d \dot{x}}-\frac{\partial M}{d x}=\Omega_{x} .
\]

Ему удовлетворяет функция
\[
M=\frac{e}{c} \mathfrak{A} \mathfrak{v}=\frac{e}{c}\left(\mathfrak{A}_{x} \dot{x}+\mathfrak{A}_{y} \dot{y}+\mathfrak{A}_{z} \dot{z}\right) .
\]

Зддесь \( \mathfrak{A} \) – вектор – потенциал магнитного поля, определяющийся как:
Итак можно написать:
\[
\mathfrak{Y}=\operatorname{rot} \mathfrak{A} \text {. }
\]
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial M}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial x}=\frac{d}{d t}\left(\frac{e}{c} \mathfrak{A}_{x}\right)-\frac{e}{c}\left(\frac{\partial \mathfrak{A}_{x}}{\partial x} \dot{x}+\frac{\partial \mathfrak{A}_{y}}{\partial y} \dot{y}+\frac{\partial \mathfrak{A}_{z}}{\partial z} \dot{z}\right)= \\
=-\frac{e}{c}\left[\dot{y}\left(\frac{\partial \mathfrak{A}_{y}}{\partial x}-\frac{\partial \mathfrak{A}_{x}}{\partial y}\right)-\dot{z}\left(\frac{\partial \mathfrak{N}_{x}}{\partial z}-\frac{\partial \mathfrak{A}_{z}}{\partial x}\right)\right]=-\frac{e}{c}[\mathfrak{v}]_{x}=\mathfrak{R}_{x}
\end{array}
\]

В силу \( \S 4 \) (8) функция Лагранжа будет
\[
L=T-U-\frac{e}{c} \Sigma\left(\mathfrak{U}_{x} \dot{x}+\mathfrak{A}_{y} \dot{y}+\mathfrak{A}_{s} \dot{z}\right),
\]

причем сумма распространяется на все электроны. Далее вычисляем импульсы. Для одного электрона они будут
\[
p_{x}=\frac{d L}{d \dot{x}}=m \dot{x}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}_{x}
\]
\[
\begin{array}{l}
p_{y}=\frac{d L}{d \dot{y}}=m \dot{y}-\frac{e}{c} \mathfrak{N}_{y} \\
p_{z}=\frac{d L}{d \dot{z}}=m \dot{z}-\frac{e}{c} \mathfrak{A}_{z} .
\end{array}
\]

Функция Гамильтона по (3) § 5 запишется:
(4) \( \quad H=\Sigma\left(\dot{x} p_{x}+\dot{y} p_{y}+\dot{z} p_{z}\right)-L=\Sigma \frac{m}{2}\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+U=T+U \).
\( { }^{2} \) См. вапр. М. Abraham, Theorie der Elektrizität.

Таким образом и здесь она равна полной энергии. Как видим, в энергию не входит ни один дополнительный член, выражающий действие магнитного поля, так как магнитные силы не производят работы; сила – \( \frac{e}{c}[\mathfrak{v} \mathfrak{g}] \) всегда перпендикулярна к \( \mathfrak{v} \).
Выражая компоненты скорости через импульс, получаем:
\[
\begin{array}{c}
H=\sum\left[\frac{1}{2 m}\left(p_{x}{ }^{2}+p_{y}{ }^{2}+p_{z}{ }^{2}\right)+\frac{e}{c m}\left(\mathfrak{A}_{x} p_{x}+\mathfrak{A}_{y} p_{y}+\mathfrak{A}_{z} p_{z}\right)+\right. \\
\left.+\frac{e^{2}}{2 m c^{2}}\left(\mathfrak{A}_{x}{ }^{2}+\mathfrak{H}_{y}{ }^{2}+\mathfrak{A}_{z}{ }^{2}\right)\right]+U .
\end{array}
\]

Ограничимся в дальнейшем случаем, когда вследствие слабости поля квадратными членами \( \mathfrak{A}_{x}, \mathfrak{A}_{y} \cdot \mathfrak{A}_{z} \) можно будет пренебречь. Тогда мы можем также написать:
\[
H=\sum\left[\frac{1}{2 m}\left(p_{x}{ }^{2}+p_{y}{ }^{2}+p_{z}{ }^{2}\right)+\frac{e}{c} \mathfrak{A} \cdot \mathfrak{v}\right]+U .
\]

Следовательно, функция Гамильтона отличается от движения без присутствия поля только на один член
\[
\sum \frac{e}{c} \mathfrak{U} \mathfrak{v}
\]

Исследуем теперь влияние однородного магнитного поля \( \mathfrak{W} \) на движение электронов. Положим
\[
\mathfrak{A}=\frac{1}{2}[\mathfrak{F} x],
\]

где \( \mathfrak{x} \)-радиус-вектор электрона. Дополнительный член, следовательно, будет
\[
\sum \mathfrak{A} \mathfrak{v}+\sum_{2}^{1}[\mathfrak{W} \mathfrak{x}] \mathfrak{v}=\sum_{\frac{1}{2}}^{1} \mathfrak{W}[\mathfrak{x} \mathfrak{v}]=\frac{1}{2 m} \cdot \mathfrak{S} \cdot \mathfrak{p}=\frac{1}{2 m}|\mathfrak{W}| p_{\varphi},
\]

где \( \mathfrak{p} \)-общий импульс вращения системы электронов и \( p_{\varphi} \)-компонент импульса по направлению поля. Компонент импульса \( p_{\varphi} \) является сопряженным абсолютному азимуту. Если теперь перейти к угловым переменным и переменным действия \( w_{1}, w_{2} \ldots w_{\varphi}, J \), \( I_{2} \ldots J_{\varphi} \) для движения без присутствия поля, то (5) преобразуется в форму \( { }^{1} \)
\[
H=W_{0}\left(J, J_{2} \ldots\right) \pm \frac{e|\mathfrak{W}|}{2 m c} \cdot \frac{J_{\varphi}}{2 \pi} .
\]

1 Двойной знак объясняется тем, что \( p_{\varphi} \) может быть как положительным, так и отрицательным, в то время как \( \mathrm{J}_{\varphi} \) по определению только положительным.

Теперь вполне ясна картина влияния магнитного поля \( \mathfrak{Y} \) на движение электронов. Угловые переменные и переменные действия без магнитного поля остаются также угловыми переменными и переменными действия при наложении этого поля, так как энергия зависит только от \( I_{k} \). Теперь угловая переменная \( w_{\varphi} \) не является постоянной, а имеет частоту \( v_{\varphi}= \pm
u_{m} \), где
\[

u_{m}=\frac{|\partial H|}{\left|\partial J_{\varphi}\right|}=\frac{1}{2 \pi} \frac{e|\mathfrak{W}|}{2 m c}=4,70 \cdot 10^{-5}|\mathfrak{W}| \mathrm{cm}^{-1},
\]

в то время как частоты всех остальных угловых переменных выражаются через \( J_{k} \) безразлично, присутствует ли поле или нет. Таким образом, влияние магнитного поля заключается исключительно в том, что совместно с движением электронов, если бы оно было вне магнитного поля, появляется равномерная прецессия всей системы с частотой \(
u_{m} \) (прецессия Лар мор). Вследствие этого движение электрона можно разложить на колебание вдоль поля с частотами при отсутствии поля ( \(
u \) ) \( =
u_{1} \tau_{1}+ \) \( +v_{2} \tau_{2}+\ldots \) и на колебания перпендикулярно к полю с частотами \( (
u \tau)+
u_{m} \) и \( (
u \tau)-
u_{m} \).

Классическая теория из этого делает заключение об излучении с частотами ( \( \tau
u \) ), поляризованном параллельно направлению поля, и об излучении с частотами ( \( \tau \) ) \( \pm
u_{m} \), обладающем круговой поляризацией относительно направления поля.

Далее мы увидим, что квавтовая теория дает одинаковое расщепление. В силу того, что \( J_{1} J_{2} \ldots \) адиабатически инвариантны (ср. § 16), при медленном включении магнитного поля они остаются постоянными. Таким образом движение электронов при включении поля переходит в такое движение, которое отличается от прежнего движения только на налагаемую равномерную прецессию с частотой \( \gamma_{\varphi} \).
Кроме квантовых условий невозмущенной системы
\[
J_{k}=n_{k} h
\]

прибавляется еще новое условие
\[
J_{\varphi}=m h \text {. }
\]

Оно говорит о том, что импульс вращения системы электронов по направлению магнитного поля может принимать только определенные значения. Здесь мы имеем при слабом магнитном поле случай пространственного квантования, рассмотренного нами в общей форме в \( \S 17 \). Если импульсу вращения \( \frac{J}{2 \pi} \) (где \( J \)-одна из величин \( J_{1} J_{2} \ldots \) ) соответствует квантовое число \( j \)
\[
J=j h,
\]

то для угла \( \alpha \) между направлениями импульса вращения и магнитного поля получаем
\[
\cos \alpha=\frac{m}{j} \text {. }
\]

Следовательно, ось импульса вращения может располагаться только по \( 2 j+1 \) направлениям ( \( m=j, j-1 \ldots-j \) ) по сравнению с осью поля.
Магнитная дополнительная энергия по (6), (7) и (8) равна
\[
W_{m}= \pm h v_{\text {ss }} \cdot m
\]

поэтому каждый терм на расстоянии \(
u_{m} \) расщепляется на \( 2 j+1 \) эквидистанционных термов.

По принципу соответственности квантовое число \( m \) изменяется только на \( 1,0,-1 \), причем при переходе \( m \rightarrow m \) излучающийся свет поляризуется параллельно направлению поля, а при
Рис. 21.
Итак, мы получаем, как и в классической теории при продольном наблюдении, дублет поляризованного по кругу линейного спектра, симметричного относительно \(
u_{0} \). При этом линия максимальной частоты соответствует переходу \( m+1 \rightarrow m \); она, следовательно, поляризуется по кругу положительно.

При поперечном наблюдении получается триплет, средняя линия которого лежит вблизи \(
u_{0} \) и поляризована параллельно силовым линиям, а внешние линии отдалены от \(
u_{0} \) на \( \pm
u_{m} \) и поляризованы перпендикулярно (рис. 21). Эти результаты отличаются от результатов классической теории Г. А. Лоренца. Экспериментальное исследование простых линий других элементов подтвердило эти результаты. Но дать с помощью этой простой теории объяснение сложному эффекту Зеемана так, как он выглядит в мультиплетах (возникшей на основании классической теории Лоренца), не представляется возможным. Теория „аномального эффекта Зеемана “ выходит из рамок нашего изложения\” \( { }^{1} \).
\( { }^{1} \) Cp. E. Backu, A. Landé, Zeemanneffekt und Multiplettstruktur der Spektrallinien, Bd. 1.
212
переходе \( m \pm 1 \rightarrow m \) поляризуется по кругу относительно направления поля.

В классической теории уменьшение \( m \) на 1 соответствует прецессии Лармора в положительном смысле, т. е. положительной круговой поляризации излучения. Увеличению \( m \)

При переходе \( m \rightarrow m \) излучается частота, равная частоте \(
u_{0} \), излучаемой при таком же изменении кванного поля. Частота, излучаемая при переходе \( m \pm 1 \rightarrow m \), равна
\[

u=v_{0} \pm v_{m} .
\]