Подобно тому, как это было в случае одной степени свободы (см. \( \S 10 \) ), однозначность \( J_{\alpha} \) является лишь необходимым условием того, чтобы квантовые условия
\[
J_{\alpha}=n_{a} h
\]

имели некоторый смысл.
Вторым условием будет служить требование постоянства всех \( J_{\alpha} \) по классической механике, не только для изолированной системы, но и для сисгемы, находящейся под медленно изменяющимися внешними воздействиями.

В действительности здесь тоже имеет место наше утверждение о том, что переменные действия \( J_{a} \) адиабатически инвариантны до тех пор, пока они остаются в области свободной от вырождений.

Докажем это точно таким путем, как в случае одной степени свободы.

Произведем с этой целью для переменных \( q_{k}, p_{k} \), удовлетворяющих каноническим уравнениям
\[
\dot{q}_{k}=\frac{\partial H}{\partial p_{k}}, \dot{p}_{h}=-\frac{\partial H}{\partial q_{k}}
\]

такие канонические преобразования
\[
p_{k}=\frac{\partial S^{*}}{\partial q_{k}}, J_{k}=-\frac{\partial S^{*}}{\partial w_{k}},
\]

при которых, считая \( a \) постоянным, переменные \( q_{k}, p_{k} \) переходят в угловые переменные, а \( { }_{k} \) и \( J_{k} \) – переменные действия.
При этом по (1) \( \S 7 H \) переходит в
\[
\bar{H}=H+\frac{\partial S^{*}}{\partial t} .
\]

Таким образом, канонические преобразования уравнения запишутся
\[
\begin{array}{c}
\dot{w}_{k}=\frac{\partial H}{\partial J_{k}}+\frac{\partial}{\partial J_{k}}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial t}\right) \\
\dot{J}_{k}=-\frac{\partial H}{\partial w_{k}}-\frac{\partial}{\partial w_{k}}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial t}\right) .
\end{array}
\]

Поскольку \( H \) зависит только от \( J_{k} \) следует:
\[
\dot{J}_{k}=\frac{\partial}{\partial w_{k}}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial t}\right)=-\frac{\partial}{\partial w_{k}}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial a}\right) \dot{a} .
\]

При диференцировании по \( t \) и \( a, S^{\circ} \) мы рассматриваем, как функцию \( q_{k}, w_{k} \) и \( t \) или \( a \); при диференцировании же по \( w_{k} \) рассматриваем, как функцию \( w_{k} \), \( J_{k} \) и \( a \). Изменение \( J_{k} \) в интервале времени \( \left(t_{1}, t_{2}\right) \) составляет
\[
J_{k}^{(2)}-J_{k}^{(1)}=-\int_{t_{1}}^{i_{3}} \dot{a} \frac{\partial}{\partial w_{k}}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial a}\right) d t,
\]

Предполагая медленное, несвязанное с периодом системы изменение \( a \), можно \( \dot{a} \) вынести за знак интеграла.
Далее покажем, что
\[
\frac{J_{k}^{(2)}}{\dot{a}}=J_{k}^{(1)}=-\int_{t_{1}}^{t_{2}} \frac{\partial}{\partial w_{k}}\left(\frac{\partial S^{*}}{\partial a}\right) d t
\]

имеет величину порядка \( \dot{a}\left(t_{2}-t_{1}\right) \) (срав. \( \S 10 \) ). \( \frac{\partial S^{*}}{\partial a} \) одновременно с \( S^{*} \) также представляет периодическую функцию \( w_{n} \), и подинтегральное выражение (1) есть не что иное, как ряд Фурье без постоянного члена
\[
\sum_{i}^{\prime} A_{\tau}(J, a) e^{2 \pi i(\tau \omega)},
\]

так что оцененный интеграл получает форму
\[
\int_{i_{1}}^{t_{2}} \Sigma^{\prime} A_{\tau} e^{2 \pi i[(\tau v) t+\tau \delta)]} d t
\]

Развернем подинтегральные выражения относительно определенной точки \( t \), равной 0 :
\[
\begin{array}{c}
\sum_{\tau}^{\prime}\left(A_{\tau}^{0}+A_{\tau}^{1} \dot{a} t+\ldots\right) e^{\left.2 \pi i\left\{\left(\tau v^{0}\right) t+(\tau \bar{\tau})+\dot{a}_{i}\left(\tau v^{2}\right) t^{2}+\left(\tau \delta^{2}\right) t^{\prime}\right]+\cdots\right\}} \\
=\sum_{\tau}^{\prime} A_{\tau}^{0} e^{2 \pi i\left[\left(\tau v^{0}\right) t+(\tau \delta)\right]}+ \\
+\dot{a} \sum_{\tau}^{\prime}\left\{2 \pi i A_{\tau}^{0}\left[\left(\tau
u^{1}\right) t^{2}+\left(\tau \delta^{1}\right) t\right]+A_{\tau}^{1} t\right\} e^{2 \pi i\left[\left(\tau v^{\prime \prime}\right) t+\left(\tau \delta^{0}\right)\right\}}+\ldots
\end{array}
\]

Пусть это разложение пронзводилось в начале интервала \( \left(t_{1}, t_{2}\right) \) и пусть интеграл распространяется от \( t_{1} \) до тех пор, пока

не исчезнет интеграл первого члена. Этого можно достигнуть всегда, так как неопределенньй интеграл первого члена представляет многопериодическую функцию, проходящую всегда через 0 на расстоянии величины лорядка \( \left(\frac{1}{\tau
u^{0}}\right) \). Интегралвторого члена имеет величину порядка \( \dot{a} T \) или \( \dot{a} T^{2} \). Пусть, далее, параллельно этому еще существует некоторое разложение в ряд (2), произведенное в начале оставшейся части интервала, и опять интеграл распространяется вплоть до того, где исчезает первый член. Будем развивать этот процесс до тех пор, пока не останется один интервал, в котором интеграл первого члена имеет конечное значение.

Легко видеть, что, если на пути интегрирования не исчезает ни одно из произведений ( \(
u) \), то общий интеграл имеет величину порядка \( \dot{a}\left(t_{2}-t_{1}\right) \).

В случае, если для определенного значения а может иметь место тождественное (для всех \( J \) ) соотношение ( \( \tau \gamma=0 \) ), – представляется возможность выбрать \( w \) и \( J \) таким образом, что \(
u_{a} \) будут все несоизмеримы и \(
u_{\rho} \) – равны нулю.

Тогда появляется при \( S^{*} \) постоянные показатели степени \( [(\tau
u)=0] \), содержащие только \( w_{;} \); таким образом, при диференцировании по \( w_{a} \) соответствующие члены уничтожатся. Таким образом \( J_{a} \) останутся инвариантными и в этих местах вырождения, что для \( J_{\rho} \), вообще говоря, утверждать нельзя.

Кроме этих мест тождественных исчезновений (vг) могут существовать еще такие места, где как раз для рассматриваемых значений \( J_{k}(
u \tau) \) равно нулю. Тогда мы говорим о случайных вырождениях. Также и здесь \( J \) не должно быть инвариантнюм при условии, что существует при \( S \) член с соответствующими показателями степени ( \( \tau \) ) и конечной амплитудой.

Если мь желаем сохранить адиабатическую, инвариантносіть \( J_{k} \), необходимо исключить места, где между частотами, появляющимися в ряде Фурье, для \( S^{*} \) существует случайная (т. е. она имеет место только при рассматриваемых значениях) соизмеримость.

Как пример адиабатической инвариантности переменных действия, рассмотрим случай, где механическая система инвариантна относительно оси вращения.

Пользуясь цилиндрическими координатами \( (r, \varphi, z) \) можно, вместо отдельных \( \varphi \) ввести в качестве координат угол вращения \( \varphi_{1} \) и разности \( \varphi_{k} \) – \( \varphi_{1} \). Тогда \( \varphi_{1} \) – циклическая переменная (см. §6) и сопряженный ей импульс есть импульс вращения системы \( z \). Он будет сохраняться только тогда, когда потенциальная энергия явно содержит время и до тех пор, пока инвариантность относительно вращения вокруг оси будет тождественна во времени. При усилении или ослаблении вращательно-симметричного силового поля, импульс вращения вокруг оси \( z \) остается инвариантным, и мы имеем частный случай нашей формулы адиабатичесвой инвариантности переменных действия.

С целью исследования изменений, возникающих при прохождении системой некоторого вырожденного состояния, рассмотрим еще раз пространственный осциллятор. Пусть направления главных осей потенциальной энергии суть три частоты, являющиеся функциями одного параметра \( a \), произвольно изменяющегося во времени. Если между частотами для определенного \( a \) нет никакой соизмеримости, то в таком случае \( J \) будут адиабатическими инвариантами. Если для определенного значения \( a \) существует вырождение, например, \(
u_{x}=
u_{J} \), это свойство нсчезает, хотя имеются специальные изменения, при которых \( J \) остается инвариантным. Если, например, не пзменяя направления главных осей, варьировать частоты, то координаты будут относиться между собою, как независимые линейные осцилляторы, и \( J \) будут адиабатически инвариантны для каждой такой координаты. Как пример адиабатического изменения, где в случае вырождения \( J \) не остается инвариантным, рассмотрим следующее. Преобразуем первоначально трехосный эллипсоид потенциальной энергии, сохраняя оси, в эллипсоид вращения; затем, сохраняя только ось вращения, преобразуем эллипсоид вновь в трехосный, две другие оси которого относительно прежних повернуты на конечный угол. В момент вырождения, проекция движения на плоскость, перпендикулярную к оси вращения, представляет эллипс. Пределы значения \( J \), ограничиваюшиеся значениями \( J \) до и после вырождения, определяются ампли тудами этого эллиптического движения в направлениях главных осей потенциальной энергии: Без дальнейших объяснений видны различные значения для различных направлений осей.

Однозначность \( J_{a} \) (в смысле параграфа 15) и их адиабатическую инвариантность можно легко обобщить следующим образом: (сравн. § 10 установленное квантовое условие для одной степени свободы).

В случае механической системы, удовлетворяющей условиям (A), (B) и (C) \( \S 15 \), ш \( _{k} \) и \( J_{k} \) можно выбрать так, что \( v_{\alpha}(\alpha=1,2 \ldots s) \) будут несоизмеримы и \(
u_{\rho}(\rho=s+1 \ldots f) \) обратятся в нули (также может \( s=f \) ).

Стационарные движения этой системы определяются \( { }^{1} \) условиями
\[
J_{\alpha}=n_{\alpha} h \quad(\alpha=1,2 \ldots s)
\]

И так как функция Гамильтона зависит только от \( J_{\alpha} \), то она определяется вполне однозначно квантовыми числами \( n_{\alpha} \).

К этому следует еще прибавить второй квантовый закон условие частот Бора
\[
h \tilde{
u}=W^{(1)}-W^{(2)} .
\]

Подведем еще раз итог основным соображениям квантовой механики, рассмотренным нами выше.

Совокупность движениџ модели вычисляется по законам классической механики (затуханием излучения пренебрегаем).

Из этого континуума движений выбирается, с помощью квантовых условий, дискретное количество.

Энергии этих отобранных движений должны составлять действительную энергию системы, значение которой можно измерить ударами электронов, и разности энергии должны по условию частот Бора зависеть от действительных световых частот, наблюдающихся в спектрах. Высылаемый свет, кроме

1 Обобщение квантовых условий для систем со многими степенями свободы. было приведено впервые M. Пл ан к о м (Verh. d. 5 Dtsch. Phys. Ges., Bd 17, S. 407, 1915 , и A. S o m m e f eld (Sitzungsber d. K. Bay. Akad. 1915 S. 425). Обоими авторами интегралы действия разделяющихся систем приравниваются целым кратным \( h \) числам.

частот, обладает еще интенсивностью, фазой, находясь в некотором состоянии поляризации.

Об этих наблюдаемых свойствах теория дает лишь приближенные понятия ( \( \$ 17 \) ). Этим исчерпіваются наблюдаемые свойства движения атомной системы, но наше исчисление приписывает ему еше некоторые свойства, а именно: циклические частоты и расстояния, короче говоря, процесс движения во времени. Казалось бы, что эти величины принципиально поддаются наблюдению \( ^{1} \), но это приводит к заключению, что наш метод исследования пока еще является формальной счетной схемой, позволяющей в известных случаях путем вычислений, основывающихся на классических положениях, заменить пока еще неизвестные истинные квантовые законы.

От этих истинных законов мы должны требовать, чтобы они давали нам зависимость между величинами, поддающимися наблюдению, как то: энергия, частоты света, интенсивности и фазы. До тех пор, пока эти законы остаются неизвестными, необходимо всегда помнить, что наши предварительные квантовые правила не совсем пригодны; поэтому главной нашей задачей будет являться установление границ пригодности этих правил путем сравнения их с опытными данными.